METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARITMETICA

1. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetica

3. Sunt probleme care se rezolva cu ajutorul unui exercitiu format din datele problemei. Exercitiile de tipul celor degajate din enuntul problemei sunt de fapt ecuatii de gradul I cu o necunoscuta dar care se rezolva prin rationament aritmetic cu ajutorul relatiilor ce exista intre rezultatele operatiilor si termenii cu care se opereaza.

4. Exemplul 1 : Se considera un numar X la care se aduga 7, rezultatul obtinut se inmulteste cu 6, din produsul obtinut se scade 10, rezultatul se imparte la 4 apoi se aduna 5 obtinandu-se 25. Care este numarul X ?

5. REZOLVARE : � Enuntul se scrie prescurtat astfel : � ((X + 7) � 6 � 10) : 4 + 5 = 25� In rezolvarea acestui exercitiu urmarim rationamentul de la sfarsit spre inceput, adica invers, de unde denumirea de metoda mersului invers. Ultima operatie facuta pentru a obtine 25 este adunarea cu termenul necunoscut 5. � T + 5 = 25 adica T = 25 � 5 = 20 T = (X + 7) � 6 � 10) : 4 = 20

6. In acest exercitiu,ultima operatie este impartirea cu rezultatul 20 si impartitorul 4. Trebuie aflat deimpartitul : � D = 20 � 4 = 80 D = (X + 7) � 6 � 10 = 80

7. Rezultatul exercitiului provine dintr-o scadere in care se cunoaste scazatorul si diferenta, deci vom afla descazutul prin adunarea lor : � D = 80 + 10 = 90 D = (X + 7) � 6 = 90 � 90 este rezultatul inmultirii dintre X + 7 si 6. Deci vom afla factorul necunoscut X + 7 impartind produsul 90 la factorul cunoscut 6 : � 90 : 6 = 15 X + 7 = 15 adica X = 15 � 7 = 8 ; X = 8

8. Problemele �rest din rest� au un enunt care le evidentiaza denumirea. Sunt numeroase probleme de acest gen care in general se formuleaza astfel : Cineva are de parcurs un drum. In prima zi a parcurs o anumita fractie din el. A doua zi o parte din rest. A treia zi o parte din noul rest. Si asa mai departe, a n-a zi parcurge ultimii �a� km. Care este lungimea drumului ? Rezolvarea unei asemenea probleme incepe cu ultima etapa, cu cei �a� km, observand ce fractie reprezinta ei din ultimul rest. Gasim astfel ultimul rest. Mergand in continuare in sens invers observam cat reprezinta acest ultim rest din restul precedent. Gasim penultimul rest. Continuand in acelasi fel calculam al doilea rest, apoi primul rest si in fine intregul drum.

9. Exemplul 2 : � Un calator are de facut un drum. In prima zi merge o distanta de 4 ori mai mica decat drumul, a doua zi merge o distanta de 3 ori mai mica decat mai avea de mers, a treia zi jumatate din ce-i mai ramasese iar a 4-a zi 50 km. Care este lungimea drumului ? �

10. REZOLVARE : aflam cat merge calatorul in ziua a treia : 50 km aflam cat merge calatorul in ziua a treia si a patra : 50 km + 50 km = 100 km aflam cat merge calatorul in ziua a doua : 100 km reprezinta 2/3 (partial) 1/3 reprezinta 50 km aflam cat merge calatorul in ultimele 3 zile : 50 km + 100 km = 150 km aflam cat merge calatorul in prima zi : 150 km reprezinta 3/4 1/4 reprezinta 50 km aflam lungimea drumului: 150 km + 50 km = 200 km

12. Exemplul 3 : Un sfert din numarul elevilor unei scoli joaca sah, jumatate din cei ramasi joaca fotbal, iar un sfert din noul rest volei. Restul, adica 36 joaca tenis. Cati elevi sunt in acea scoala?

14. Exemplul 4 : � Intr-o cutie sunt bile astfel : - albe-a cincea parte din numarul total si inca 41 - negre-a treia parte din rest si inca 28 - rosii- restul de 198 Aflati numarul total al bilelor.

16. 198+28=226(reprezinta 2/3) 226:2 � 3=339(bile negre) 339+41=380(4/5 din numarul total al bilelor) 380 : 4 � 5=95 � 5=475(bile)

17. Metoda comparatiei 

18. Problemele de acest tip se recunosc dupa cum este redactat enuntul, care este alcatuit din doua situatii distincte. Se scriu datele din enunt in mod corespunzator unele sub altele. Se incearca sa se egaleze datele privitoare la o marime in cele doua siruri prin multiplicarea datelor din cele doua siruri(prin aflarea celui mai mic multiplu comun al lor si amplificand convenabil cele doua siruri date).

19. Exemplul 1 : 7 caiete si 3 stilouri costa 33,5 lei iar 2 caiete si 6 stilouri costa 61 lei. Cat costa un caiet si cat costa un stilou ?

20. REZOLVARE : � a) notam datele problemei pe doua siruri corespunzatoare celor doua situatii : � 7 caiete����3stilouri����.33,5 lei 2 caiete����6 stilouri����.61 lei � b) observam ca cel mai usor este sa egalam datele in privinta stilourilor . Deci inmultim datele din primul sir cu 2 si obtinem urmatoarele : 14 caiete����6 stilouri��..67 lei 2 caiete����6 stilouri��..61 lei

21. c) prin scadere, eliminam stilourile si obtinem � 14 -2 = 12 caiete 67-61= 6 lei � d) stiind ca 12 caiete costa 6 lei aflam cat costa un caiet: 6: 12 = 0,50 lei

22. e) 2 caiete costa : 0,50 � 2=1 lei 6 stilouri costa : 61-1=60 lei f) aflam pretul unui stilou: 60:6= 10 lei

23. Exemplul 2 : Cati lei costa 1 kg de mere, daca Bogdan a cumparat 5 kg, platind 9,6 lei si o cincime din pretul unui kg de mere?

24. REZOLVARE : 1 kg����5 cincimi 5 kg����5 � 5= 25 cincimi => 24 cincimi de kg mere costa 9,6 lei 1/5 kg costa 9,6 :24 = 0,4 lei => 1 kg costa 5 � 0,4 = 2 lei

25. Exemplul 3 : Sa se afle de cate ori este mai mare perimetrul unui dreptunghi decat perimetrul unui patrat, stiind ca latimea dreptunghiului este egala cu latura patratului, iar aceasta din urma reprezinta o treime din lungimea dreptunghiului. Particularizati.

26. REZOLVARE: Pdr = (L+l)�2 Ppatrat = 4 � l � L = 3�l => Pdreptunghi = (3�l+l)�2=8�l 8�l : 4�l =2 (ori e mai mare Pdreptunghi)

27. Particularizare Fie L = 9m (un numar divizibil cu 3) � Pdreptunghi = (9+9:3)�2=24 Ppatrat = 12 m (l=9:3=3 => 4�3=12) 24 m : 12 m=2 (ori e mai mare Pdreptunghi)