Cadenas de markov
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CADENAS DE MARKOV. El conjunto de todos los posibles estados que un proceso puede ocupar en los distintos movimientos se llama espacio de estados. Un espacio de estados puede ser finito, numerable no numerable.

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CADENAS DE MARKOV

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Presentation Transcript


Cadenas de markov

CADENAS DE MARKOV


Espacio de estados de un proceso

El conjunto de todos los posibles estados que un proceso puede ocupar en los distintos movimientos se llama espacio de estados. Un espacio de estados puede ser

finito,

numerable

no numerable.

Usaremos a1,a2,.....an para representar los (n) estados de un estado

ai ‑‑‑‑‑‑> aj para representar que el proceso se mueve del estado (i) al estado (j).

Espacio de estados de un proceso:


Probabilidades de transici n de un solo paso

P(ai ‑‑‑‑‑> aj) es la probabilidad condicional para que el proceso que se encuentra en el estado ai se mueva al estado aj en un sólo paso, y se designa por Pij . Esto recibe el nombre de probabilidad de transición de un sólo paso. Si todas estas probabilidades son conocidas para todos los pares de estados se ordenan en una matriz cuadrada que recibe el nombre de matriz de transición.

P = [pij]

Ejemplo:

Sea una persona sentada en el asiento de en medio de una fila de cinco asientos [marcados con A,B,C,D,E] de izquierda a derecha. Esta persona se mueve por seis veces de una silla a la otra, estando sus movimientos controlados por una moneda que se tira al aire.

a) Si no está al final de una fila de asientos se mueve hacia la derecha si sale CARA y hacia la izquierda si sale CRUZ.

b) Si está al final se quedará donde está salga lo que salga.

Probabilidades de transición de un solo paso


Espacio de estados a b c d e

P[A ‑‑‑> A] = P[E ‑‑‑> E] = 1 ya que se queda donde está.

P[B ‑‑‑> A] = 1/2 puesto que la probabilidad de que salga CR es 1/2.

P[C ‑‑‑> C] = 0 ya que aquí no se puede quedar.

La ∑pij = 1

Las matrices que tienen elementos no negativos y a suma de los elementos de sus filas valen la unidad se llaman matrices estocásticas

Espacio de Estados: [ A, B, C, D, E ]


Vector probabilidad inicial

Existe un vector probabilidad inicial tal que:

a = (a1, a2,....an) en la que los elementos ai son las probabilidades de que el estado inicial del proceso sea Si.

En el ejemplo anterior

El vector probabilidad inicial sería

a = (0, 0,.1, 0, 0) puesto que el proceso comienza en la silla C.

Vector probabilidad inicial


Propiedad de markov

Considerar una secuencia Si,Sj,Sk de un experimento cuyo vector y matriz inicial son conocidos. Entonces la secuencia de probabilidad será:

P( Si,Sj,Sk ) = P( Si) P( Si‑‑‑>Sj) P( Sj‑‑‑>Sk) P( Si)

Podríamos ampliar la regla para cubrir secuencias de cualquier número de pasos. A los procesos a los cuales podemos aplicar esta regla se dicen que tienen la propiedad de Markov.

Para tales procesos la probabilidad de la siguiente dirección depende del estado presente del proceso y no depende del estado precedente.

Ejemplo:

En el problema anterior calcular la probabilidad de la secuencia.

P[C,D,C,B,A,A,A] = P[C] P[C ‑‑>D] P[D ‑‑>C] P[C ‑‑>B]. P[B ‑‑>A] P[A ‑‑>A] P[A ‑‑>A] =1.1/2.1/2.1/2.1/2.1.1 =1/16

Propiedad de Markov


Cadena de markov finita y estacionara

Cadena de Markov finita y estacionara.

  • Una cadena de Markov estacionara y finita queda completamente definida cuando se conoce:

  • a) Espacio de estados finito.

  • b) Una matriz [Pij] de probabilidades de transición de un sólo paso estacionara.

  • c) El vector de probabilidad inicial.


Cadena erg dica transici n de n pasos

. Cadena ergódica: transición de n pasos

  • El diagrama es un gráfico de una secuencia de una muestra de una cadena de Markov de cinco estados A ‑‑‑‑> E .En los doce pasos se recorren todos los estados y se sale. Evidentemente el proceso no puede quedarse nunca atrapado. A los estados que pueden atrapar un proceso se les llaman estados absorventes.


Probabilidades de transici n superiores

La probabilidad de que el proceso pase del estado Si al Sj en (n) pasos se llama probabilidad de transición en n pasos y se simboliza por :

P(n)ij

La matriz formada por todos los P(n)ijes una matriz cuadrada y se denomina matriz de transición de un (n) pasos.

TEOREMA:

Si P es la matriz de transición de un paso en una cadena finita de Markov, entonces Pn es la matriz de transición de (n) pasos.

Probabilidades de transición superiores


Cadenas de markov

La probabilidad P(n)ij es la probabilidad de pasar de Si a Sj en dos pasos.

Suponiendo (m) estados en S.

Existen m caminos mutuamente excluyentes

Si‑‑‑‑>S1‑‑‑‑>Sj Si‑‑‑‑>S2‑‑‑‑>Sj.......

Las probabilidades de esos caminos son:

pi1▬►p1j

pi2▬► p2j

........

Por lo que por la regla de la cadena la probabilidad del suceso Si‑‑‑‑>Sj en dos pasos será la suma de estas dos probabilidades.

Así

Pij(n) = ∑ Pir Prj

Pero por definición de la multiplicación de matrices, la sumatoria es el elemento ij‑ésimo de la matriz P2. Luego

P2 = Pij

Por inducción se puede demostrar que

Pn = Pij(n)


Cadenas de markov

MATRIZ DE UN SOLO PASO

MATRIZ DE DOS PASOS


Cadenas de markov absorventes

Estados transitorios:

Sea T un subespacio de S y T' su complementario. Si cada estado de T se puede alcanzar desde otro estado de T y es posible moverse de un estado de T a otro T', entonces T es un conjunto transitorio. Un estado transitorio es un elemento de un conjunto transitorio.

Estados ergódicos:

Sea E un subconjunto de S y E' el complementario de E en S. Si cada estado de E se puede alcanzar desde cualquier otro estado de E, pero ningún estado de E' se puede alcanzar desde E, entonces E recibe el nombre de conjunto ergódico. Un estado ergódico es un elemento de un conjunto ergódico.

CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES


Cadenas de markov

CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES

Son cadenas en donde todos los estados transitorios son absorventes.

CADENAS ERGODICAS

Cadena que está formada por un conjunto ergódico se llama cadena ergódica. Se distinguen dos tipos de cadenas ergódicas:

a) Cadena ergódica cíclica: en ella sólo se puede entrar en un estado a intervalos periódicos fijos.

b) Cadena ergódica regular: cadena ergódica no‑cíclica.


Ejemplo

EJEMPLO

Está claro que el sistema completo nunca estará completamente "atrapado" en un estado, así que la cadena es regular.


Cadenas de markov

Siempre es posible moverse de un estado a cualquier otro, en cualquier paso siendo los movimientos no‑cíclicos. Así la cadena y la matriz son regulares.


Cadenas de markov

Después de n pasos la cadena entrará (con probabilidad 1 cuando n tiende a ∞) en S2 o en S3. Una vez situada en uno de estos estados nunca podrá pasar a S1. Por lo tanto S1 es un estado transitorio y así la cadena es no regular y por lo tanto no‑ergódica, aunque el conjunto [ S2, S3 ] sea un conjunto ergódico.


Cadenas de markov

La cadena se mueve con período 3 a través de los conjunto cíclicos [ S1 ] [ S2 ] y [ S3 ]. Es por lo tanto una cadena cíclica ergódica y no una cadena regular.


Fuentes de markov

Fuentes de Markov

  • Fuentes de MarkovHasta este momento se ha considerado las fuentes de memoria nula, pero en la mayoría de los casos reales los símbolos del alfabeto no tienen probabilidades fijas, sino que dichas probabilidades dependerán en general de los símbolos emitidos. A este tipo de fuentes se les denomina fuentes de Markov.


Fuentes de markov1

Fuentes de Markov

  • Supongamos que un sistema evoluciona con el tiempo. En cada instante t cada parámetro tendrá unos valores determinados. Cada colección de esos valores define lo que llamamos estado del sistema. La evolución es tal que en unos instantes determinados el estado cambia o permanece fijo. Es decir que en cada instante el sistema evoluciona con una transición de un estado a otro, o bien permanece en el anterior.


Estados de un sistema

En cada instante t ( t1 <t< t2) el sistema se encuentra en el estado E1. En t2 existe una transición a E2 y en t3 permanece en este estado. Para conocer el estado del sistema es preciso conocer la probabilidad de transición P(E1‑‑‑>E2).

ESTADOS DE UN SISTEMA

E3

E2

E1

t1

t2

t3

t4


Cadenas de markov

  • La fuente de Markov , o fuentes con memoria, es aquella en que la presencia de un determinado símbolo ai depende de un número finito m de símbolos precedentes. Esta fuente se llama fuente de Markov de orden m y viene definida por su alfabeto

  • A = (a1, a2,....an)

  • y el conjunto de probabilidades

  • P( ai/aj1, aj2,....ajm)

  • Para i = 1,2....n y j = 1, 2....m


Cadenas de markov

  • Esto nos indica que la probabilidad de un símbolo cualquiera viene determinada por la secuencia de los m símbolos que lo preceden . Definiremos el estado de la fuente de Markov de orden m por los m símbolos precedentes y puesto que el alfabeto de la fuente es de n símbolos, entonces una fuente de Markov de orden m admite nm estados posibles. Al emitir la fuente nuevos símbolos el estado de la fuente cambia.


Cadenas de markov

  • Sea una fuente de Markov de n símbolos de alfabeto A = (a1, a2,.aj...an).

  • Se define la probabilidad de aparición del símbolo ai despues de la secuencia (aj1, aj2,....ajm) por

  • P( ai/aj1, aj2,....ajm)


Cadenas de markov

  • Como hay nm sucesiones posibles de m símbolos y cada una de estas sucesiones puede considerarse como un estado del sistema.

  • Xi` = ai2,....aim. ai

  • oP( ai/ai1, ai2,....aim)

  • Xi = ai1, ai2,....aim

  • P( ai/ Xi)


Fuentes de markow erg dicas

Se dice que una fuente de Markov es ergódica, cuando siendo estacionara las probabilidades de estado tienden a estabilizarse y hacerse constantes cuando t ▬►∞. A esta distribución límite de probabilidades se le denomina régimen permanente de la fuente, o sea que cuando una fuente entra en un estado y queda atrapado en él.

La condición necesaria y suficiente para que una fuente sea ergódica es que si Pij es la matriz estocastica de la fuente y p1,p2......pn cantidades desconocidas que representan a las probabilidades de estado, se tiene que cumplir que:

Pj = ∑ Pj Pij

sea compatible y la distribución estacionara.

Fuentes de Markow ergódicas:


Entrop a de una fuente de markov

Sea una fuente de Markov de alfabeto A = (a1, a2,....an). Para hallar la información media por símbolo procedamos de la siguiente manera:

1.- Determinación de la información absoluta por símbolo emitido en una transición de estado fija.

Si nos encontramos en el estado definido por Xj= (aj1, aj2,....ajm), es decir los m símbolos emitidos anteriormente fueron (aj1, aj2,....ajm), la probabilidad condicional de recibir ai es decir de pasar al estado X´j= (aj2, aj3,....ajm, ai) es:

P( ai/aj1, aj2,....ajm).

Entropía de una fuente de Markov:


Cadenas de markov

Indudablemente la probabilidad del estado actual es igual a la probabilidad del estado anterior por la probabilidad de transición de un estado a otro., esto es :

P(X´j) = P(ai/Xi).P(Xi) [I]

Utilizaremos la siguiente notación:

Probabilidad de aparición del símbolo ai después de la secuencia (aj1, aj2,...ajm):

P(ai/aj1,aj2,..ajm).= P(ai/Xj) probabilidad del símbolo emitido en estado anterior.

Probabilidad de la secuencia (aj1, aj2,....ajm):

P( aj1, aj2,....ajm).= P(Xj) = Probabilidad de Estado anterior.


Cadenas de markov

  • Al emitir el símbolo ai y se pasa del estado Xj = (aj1, aj2,....ajm) al Xj´= ( aj2,....ajm ai ) .

  • La cantidad de información correspondiente es: I( ai/aj1, aj2,....ajm) = - log P( ai/aj1, aj2,....ajm)

  • utilizando la otra notación

  • I( ai/Xj /) = - log P(ai/Xj)


Cadenas de markov

  • 2.- Si ahora dejamos fijo el estado Xj = (aj1, aj2,....ajm) y recorremos todos los símbolos ai de la fuente y calculamos el promedio obtendremos la información media por símbolo para un estado dado Xj, valor ya independiente de los símbolos. Este valor será:

  • H [ A/aj1, aj2,....ajm] =

  • ∑ P( ai/aj1, aj2,....ajm) I ( ai/aj1, aj2,....ajm)

  • H [ A/aj1, aj2,....ajm] =

  • - ∑ P( ai/aj1, aj2,....ajm) log P( ai/aj1, aj2,....ajm)


Cadenas de markov

  • 3.- Si ahora promediamos el valor anterior recorriendo los nm estados posibles, tendremos la cantidad media de información o entropía de la fuente de Markov de orden m . Será entonces:

  • H[A] = - ∑nm H[ A/aj1, aj2,....ajm] P( aj1, aj2,....ajm)

  • Sustituyendo el valor

  • H[A] = - ∑nm P( aj1, aj2,....ajm) ∑ P( ai/aj1, aj2,....ajm) log P( ai/aj1, aj2,....ajm)


Cadenas de markov

  • Ejemplo:

  • Supongamos una fuente de Markov de cuatro estados cuyo diagrama se presenta en la fig. Demostrar que la fuente es ergódica y calcular la información suministrada por la fuente.


Cadenas de markov

Los estados iniciales son:

E1 = (0,0)

E2 = (0,1)

E3 = (1,0)

E4 = (1,1)

Las probabilidades de transisición son:

P11 = 0.8 P12 = 0.2

P13 = 0 P14 = 0

P21 = 0 P22 = 0

P23 = 0.5 P24 = 0.5

P31 = 0.5 P32 = 0.5

P33 = 0 P34 = 0

P41 = 0 P42 = 0

P43 = 0.2 P44 = 0.8


Cadenas de markov

La matriz de transición sería:

Aplicando la condición necesaria y suficiente de ergocidad

Pi = ∑ Pi Pij


Cadenas de markov

Resolviendo:

p1 = 0.8p1 + 0.5p3

p2 = 0.2p1 + 0.5p3

p3 = 0.5p1 + 0.2p4

p4 = 0.2p3 + 0.8p4

p1 + p2 + p3 + p4 = 1

Compatible y determinado cuya solución es:

p1 = p4 = 5/14

p2 = p3 = 2/14

Entonces las probabilidades de estado son:

p1 = p(0,0) = 5/14

p2 = p(0,1) = 2/14

p3 = p(1,0) = 2/14

p4 = p(1,1) = 5/14

Luego la fuente es ergódica y las probabilidades de estado son las probabilidades son las anteriores independientes de la distribución inicial.


Cadenas de markov

Recuérdese que la probabilidad del estado actual es la probabilidad del estado anterior por la probabilidad de transición del estado anterior al actual.

P(Xj) = P(ai/Xi) P(Xi)


Cadenas de markov

La cantidad de información adquirida cuando se pasa de un estado Xi a un estado Xj es:

I(aj/Xi) = ‑ log P(aj/Xi) = Ij

I(0/00) = ‑ log p(0/00) =‑log 0.8 = I1

I(1/00) = ‑ log p(1/00) =‑log 0.2 = I2

I(0/01) = ‑ log p(0/01) =‑log 0.5 = I3

……………………………………………….

Para obtener la cantidad media de información por símbolo a partir del estado Xi, dejamos fijo el estado Xi = ai1 ,...ain y recorremos todos los símbolos de la fuente.

H[A/Xi] = ∑ p(aj/Xi) Ij

H[A/Xi]= ‑ ∑ p(aj/Xi) log p(aj/Xi)


Cadenas de markov

  • Entonces

  • H[A/00] = - p(0/00) log p(0/00) - p(1/00) log p(1/00)

  • H[A/01] = - p(0/01) log p(0/01) - p(1/00) log p(1/01)

  • H[A/10] = - p(0/10) log p(0/10) - p(1/10) log p(1/10)

  • H[A/11] = - p(0/11) log p(0/11) - p(1/11) log p(1/11)

  • La información media suministrada por la fuente independiente de los estados y de los símbolos lo obtenemos promediando [*] recorriendo los Nn estados posibles.

  • H[A] = ∑i p(Xi) H[A/Xi]

  • Sustituyendo el valor de [*] en la anterior

  • H[A]= -∑i p(Xi) ∑ij p(aj/Xi) log p(aj/Xi)


Cadenas de markov

  • Entonces

  • H[A] = ∑ip(Xi) H[A/Xi]

  • H[A] = p(00) H[A/00] + p(01) H[A/01] + p(10) H[A/10] + p(11) H[A/11]

  • H[A] = 0.8 5/14 log 0.8 + ..........

  • = ‑ [4/14 log 0.8 +1/14 log 0.2 +1/14 log 0.5 +1/14 log 0.5 +1/14 log 0.2 +4/14 log 0.8 +1/14 log 0.5 +1/14 log 0.5 = 0.81 Bits


Extensi n de una fuente de markov de orden n

Extensión de una fuente de Markov de orden N

  • Sea una fuente de Markov de orden N y alfabeto A = [a1,a2...an]. La extensión de orden n de la fuente anterior es otra fuente de Markov de alfabeto Nn elementos, estando cada elemento formado por n símbolos de A. La entropía de esta fuente es

  • H[An] = n H[A]


Fuente af n de una fuente de markov

Fuente afín de una fuente de Markov

  • Dada una fuente de Markov de orden de orden n y alfabeto [a1,a2...am] y sean [ p(a1), p(a2)......p(am)] las probabilidades absolutas de los símbolos. Se denomina fuente afín de A y la representamos por A* a la fuente de memoria nula que tiene el mismo alfabeto que A e igual juego de probabilidades.


Cadenas de markov

  • Teorema:

  • Una fuente de Markov proporciona menor cantidad de información que su fuente afín. Vamos a demostrarlo para fuentes de Markov de primer orden y luego lo generalizamos. Las probabilidades de transición son de la forma:

  • p(ai/aj) y cumplen la condición

  • ∑p(ai/aj) = 1

  • Recordando la desigualdad logarítmica

  • log x < x ‑ 1

  • p(ai) p(aj)


Cadenas de markov

Pero

∑ p(ai) log p(ai) = ‑ H[A*]

∑ ∑ p(ai,aj) log p(ai/aj) = ‑ H[A]

Entropía de la fuente de Markov de primer orden

Luego H[A*] ≥H[A]

La igualdad se cumple solamente en el caso de que p(ai, aj) = p(ai) p(aj)


Cadenas de markov

El segundo miembro de la desigualdad vale 0 ya que cada doble sumando es la unidad.

Pero p(ai aj) = p(aj) p(ai/aj)

Luego


Estructura del lenguaje

Un caso particularmente importante de generación de información es la creación de un mensaje compuesto de palabras de la lengua inglesa. Demostraremos en este apartado como podremos aproximarnos a un mensaje de este tipo mediante una secuencia de fuentes de información cada vez mas complicadas

Sea un conjunto de 27 símbolos, las 26 letras del alfabeto inglés, mas un espacio La fuente mas simple de este alfabeto seria aquella de memoria nula, con todos los símbolos igualmente probables. La entropia de esta fuente seria

H (S) = log 27 = 4,75 bits/símbolos

La secuencia siguiente muestra una secuencia típica de símbolos emitidos por la fuente Definiremos esta secuencia como aproximación cero al inglés

ZEWRTZYNSADXESYJRQY_WGECIJJ_oBVI~RBQPOZBYMBUAWVLBTQCNIKFMP T~MVUUGBSAXHLHSIE _ M

Estructura del lenguaje


Cadenas de markov

TABLA 2‑2 PROBABILIDADES DE LOS SIMBOLOS EN INGLES (REZA 1961)

La entropia de una fuente de memoria nula, cuyas probabilidades sean las de esa tabla, tiene el valor

H (S) = -∑ Pilog pi = 4,03 bits/símbolos


Cadenas de markov

La siguiente frase representa una secuencia típica de simbolos emitidos por esta fuente.

.AI_NGAE__TI'F_NNR_ASAEV_OIE_BAINTHA_HYROO_POER_SETRYGAIETRWCO_ _EHDUARU_EU_C_FT_NSREM_DIY_ SE__F_O_SRIS _R _UNNASHOR

Primera aproximación al inglés.

Aun cuando no puede calificarse de buen inglés, esta secuencia presenta la estructura propia del lenguaje (compárese con la aproximación cero):

Las (.palabras de esta aproximación son, en su mayor parte, de longitud apropiada, y la proporción entre vocales y consonantes más real Aun cuando no puede calificarse de buen inglés, esta secuencia presenta la estructura propia del lenguaje (compárese con la aproximación cero): Las (.palabras de esta aproximación son, en su mayor parte, de longitud apropiada, y la proporción entre vocales y consonantes más real


Cadenas de markov

Utilizando una fuente de Markov de primer orden, con símbolos de probabilidades condicionales bien elegidas Estas probabilidades fueron definidas por Pratt (1942)

H (A) = -∑ P(ai/bj) log P(ai/bj) = 3,32 bit/símbolos

URTESEIETHING_AD_E_AT_FOULE_ITHALIORT _ WACT _ D _ STE _ MINTSAN _ OLINS _ TWID _ OULY _ TE _ THIGHE _ CO _ YS _ TH _ HR _ UPAVIDE _ PAD _ CTAVED

Segunda aproximación al inglés

La secuencia obtenida en la segunda aproximación ya deja trascender un regusto a inglés


Cadenas de markov

El método de Shannon puede aplicarse a la construcción de mejores aproximaciones al inglés. En efecto, pueden elegirse las letras precedentes, construyendo así una secuencia típica de una fuente de Markov, aproximación del inglés, de segundo orden.

IANKS_CAN_OU_ANG_RLER_THATTED_OF_TO_SHOR _ OF _ TO _ HAVEMEM _ Al _ MAND _ AND _ BUT _WHISSITABLY _ THERVEREER _ EIGHTS _ TAKILLIS _ TA

Tercera aproximación al inglés

Puede ampliarse el procedimiento anterior, para generar secuencias típicas de probabilidades idénticas Sin embargo, es prácticamente im­posible para m mayor de 2


Cadenas de markov

  • Shannon, utilizó una fuente de información de memoria nula que emite palabras inglesa en lugar de letras Las probabilidades de ocurrencia de las diferentes palabras son aproximadamente las mismas que en un texto inglés Shan­non (1948) obtuvo la aproximación mostrada en la siguiente secuencia.

  • REPRESENTING AND SPEEDILY IS AN GOOD APT

  • OR COME CAN DIFFERENT NATURAL HERE HE

  • THE A IN CAME THE TO OF TO EXPERT

  • GRAY COME TO FURNISHES THE LINE MES‑

  • SAGE HAD BE THESE

  • Cuarta aproximación al ingles


Cadenas de markov

  • haciendo depender de la palabra precedente la probabilidad de que una palabra sea elegida La fuente correspondiente sería una fuente de Markov de primer orden, con palabras inglesa como símbolos Shannon (1948) construyó una secuencia típica a partir de una fuente de este tipo.

  • THE HEAD AND IN FRONTAL ATTACK ON AN ENGLISH WRITER THAT THE CHARACTER OF THIS POINT IS THEREFORE ANOTHER METHOD FOR THE LETTERS THAT TIIE TIME OF WHO EVER TOLD THE PROBLEM FOR AN UNE~ PECTED

  • Quinta aproximación al inglés


Cadenas de markov

R_EPTTFVSIEOISETE_TLTGNSSSNLN_UNST_FSNSTF_E_IONIOILECMPADINMEC_TCEREPTTFLLUMGLR ADBIUVDCMSFUAISRPMLGAVEAI _ MILLUO

a) Primera aproximación al francés

UOALNAO_NEL_D_NIS_ETR_TEGATUEOEC_S_ASUDU_ZELNNTSSCASOSED_T_I_R_EIS_TAMMO_TIIUOEDEO _ UEI _ EOSEELA _ NMSLAANTEC

a) Primera Aproximación al Español


Cadenas de markov

ITEPONT_JENE_IESEMANT _ PAVEZ _ L_BO _ S _ PASE_LQU _ SUIN _ DOTI _ CIS _ NCMOUROUNENT_FUIT_JE_DABREZ oAUIETOUNT_LAGAUVRSOUT_MY

b) Segunda aproximación al francés

CINDEUNECO_PE_CAL_PROS_E_LAS_LABITEJASTE_ONTOMECITRODRESIO_PAY_EN_SPUSEL_LA_ S _ UTAJARETES _ OLONDAMIVE _ ESA _ S _ CLUS _

b) Segunda aproximación al Español.


Cadenas de markov

JOU_MOUPLAS_DE_MONNERNAISSAINS_DEME

US_VREH_BRE_TU_DE_TOUCUEUR_DIMMERE_IL

ES _ MAR _ELAME _ RE _ A _ VER _ IL _ DOUVENTS _ SO

c) Tercera aproximación al francés.

RAMA _ DE T.LA _ EL _ GUIAIMO _ SUS _ CONDIAS_SU _ E _ UNCONDADADO _ DEA _ MARE _ TO_UERBALIA_NUE_Y_HERARSIN_DE_SE_SUS_SUPAROCEDA

C) Tercera aproximación al Español.


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