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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO. MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA. CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA 2007. Gilberto Weissmueller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS. INTRODUÇÃO.

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M todos matem ticos em biologia

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO

MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA

CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA

2007

Gilberto Weissmueller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch


Fun es de v rias vari veis
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

INTRODUÇÃO

As grandezas físicas, geralmente, dependem de mais de uma variável independente.

Exemplos simples:

A área de um retângulo de lados x e y, depende, tanto de x, quanto de y, pois

O volume de um paralelepípedo de lados x, y e z

O volume V de um gás ideal depende da temperatura T, do número de moles n e da pressão P:


FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Definições

Função de duas variáveis. Se a cada par ordenado (x,y) de valores das variáveis x e y, tomados dentro de um domínio de definição D, corresponde um valor bem definido da variável z, diz-se que z é uma função de duas variáveis independentes x e y, definidas no domínio D.

Designa-se essa função como

Domínio de definição. Chama-se domínio de definição da função z=f(x,y) ao conjunto de pares (x,y) para os quais a função está definida.

Uma função de duas variáveis pode ser representada analiticamente, na forma de uma tabela ou ainda graficamente.

Os valores da função z são determinados numa tabela no cruzamento dos valores de x, indicados na primeira linha, com os de y na primeira coluna.


y

D

x

Z=f(x,y)

z

y

(x2,y2)

(x3,y3)

(x1,y1)

(xi,yi)

y

x

(x,y)

x

Os domínios de definição de uma função de duas variáveis constituem partes do plano xy; delimitadas por algumas curvas, ou podem ser o plano inteiro.

As curvas que delimitam o domínio são chamadas de fronteira.

fronteira

fronteira

y

D

x


y

y

x

x

R=2

z está definida para todos os valores (x,y); D é todo o plano

z está definida para

D é a região delimitada pelo circulo de raio 2


y

x

O domínio de definição D de uma função de duas variáveis pode ser aberto ou fechado.

Os pontos do domínio que não pertencem à fronteira são chamados de pontos interiores. Se o domínio de definição só contem pontos interiores ele é dito aberto; mas se também contem os pontos de fronteira, ele é dito fechado.

Exemplos

z está definida para:

Portanto, para

D é o semi plano acima da reta y=-x : aberto


R=2

y

D

D é a região delimitada pelo circulo de raio 2: fechado

x

A representação geométrica de uma função z=f(x,y) é uma superfície no espaço tridimensional. Isto é, se um ponto P no espaço é representado pelas variaveis x, y e z, ou (x,y,z), o lugar geométrico de todos os pontos P assim definidos é a representação geométrica da função z=f(x,y).

z

Z=f(x,y)

y

x

(x,y)


LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Definição. Diz-se que um valor B é o limite de y=f(x,y), quando o ponto M(x,y) tende ao ponto M0(x0,y0), se para todo >0 existe um r>0 tal que, para todos os pontos M(x,y) verificando a inequação MM0<r, a inequação, a seguir, é satisfeita

Então, escreve-se

Definição. Diz-se que y=f(x,y) é contínua no ponto M0(x0,y0), se

Se esta condição não estiver satisfeita, diz-se que (x0,y0) é um ponto de descontinuidade de f(x,y)


Exemplos

É descontínua em (0,0)


ACRÉSCIMOS DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Uma função de duas ou mais variáveis sofrerá um acréscimo se variamos, de cada vez, cada uma das variáveis, mantendo as demais constantes, ou, se variamos todas as variáveis, ao mesmo tempo. Temos então dois tipos possíveis de acréscimos: parciais e total. Haverá tantos acréscimos parciais, quantas forem as variáveis independentes. Mas apenas um acréscimo total

Uma função de duas variáveis, z=f(x,y), terá dois acréscimos parciais (acréscimo parcial em relação a x e acréscimo parcial em relação a y) e o acréscimo total.


Exemplos

Z=f(x,y +y)

Z=f(x+ x,y +y)

Z=f(x,y)

Z=f(x+x,y)

y

y+y

(x,y)

(x,y +y)

x

x+x

(x+x,y)

Note que, em geral:

(x+ x,y +y)


Derivadas parciais
DERIVADAS PARCIAIS

Definição:

A derivada parcial de uma função z=f(x,y) é definida como o limite da relação entre o acréscimo parcial da função sobre o acréscimo da variável independente acrescida quando este tende a zero.

Exemplos

Haverá tantas derivadas parciais de uma função quantas forem as variáveis independentes.Pela definição, fica claro que valem todas as regras estudadas para a derivada de uma função de uma variável.


z

y

x

x

y

Interpretação das derivadas parciais

Note que a derivada parcial com relação a x é a tangente do ângulo que a tangente à superfície faz com o eixo –x, o ângulo , mantido y constante. Similarmente, a derivada parcial com relação a y é a tangente do ângulo formado pela tangente à superfície e o eixo-y, o angulo , mantido x constante

Derivadas Parciais de ordem superior

As derivadas parciais de ordem superior são obtidas derivando-se as derivadas parciais de primeira ordem.

Exemplos


Difeencial total
DIFEENCIAL TOTAL

Como vimos o acréscimo total da função é aquele que a função sofre quando variamos simultaneamente as variáveis independentes. Para uma função de duas variáveis, temos

Se a função é contínua e suas derivadas parciais existem, podemos tentar exprimir o acréscimo total em termos dessas derivadas. Para tanto, somemos à expressão acima

Note que no primeiro colchete temos a variação da função ao passar do ponto (x,y+ y)(x+x,y+ y),mantendo y constante, e no segundo a variação da função ao passa do ponto (x,y) para (x, y+ y), mantendo x constante. Podemos então aplicar o Teorema de Lagrange a esses dois termos.


Podemos então escrever o acréscimo total como

Note que as derivadas parciais acima não são calculadas no ponto (x,y), mas respectivamente nos pontos


Lembrando que

Usando este fato e o teorema de infinitésimos, podemos então escrever

Substituindo estas expressões na expressão para o acréscimo total, teremos


No limite , quando x e  y tendem a zero, teremos:

Para o caso de uma função de qualquer número de variáveis independentes, teremos

A diferencial total de uma função de várias variáveis pode ser usada, por exemplo, para se calcular o erro cometido numa grandeza que depende de várias variáveis, em função dos erros cometidos nestas variáveis.


y

y

x

x

Exemplo: O erro cometido no cálculo de áreas e de volumes

Para uma área S=xy, teremos

Note que o erro cometido é equivalente ao acréscimo das áreas dos dois retângulos xdy e ydx, como mostrado na figura

Para um volume V=xyz, teremos


Curvas de n vel
CURVAS DE NÍVEL

Vimos que uma função de duas variáveis z=f(x,y) representa uma superfície no espaço.

A curva que se obtém para um mesmo valor de z, ou cota, desta superfície é chamada curva de nível. O conjunto dessas curvas obtidas para sucessivos valores de z corresponde às curvas de nível da superfície. A análise desse conjunto de curvas de uma superfície no espaço fornece informações sobre a própria superfície, ou seja, sobre sua topografia. Em outras palavras, as curvas de nível se uma superfície são os lugares geométricos da superfície que tem a mesma cota, como mostrado na figura abaixo.

As curvas de nível são usadas em mapas para dar informação sobre a topografia (relevo) da região.


ExemploConsideremos a função z=f(x,y) dada por

A superfície no espaço defina por esta função é um parabolóide elíptico

Para achar suas curvas de nível, temos que fazer z constante

Vemos, portanto que as curvas de nível desta superfície são elipses, que são obtidas tomando-se diversos valores de c.


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