数学实验
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数学实验. 李尚志 教授 中国科学技术大学数学系. 实验十:寻优. 10 .1 光的折射定律 光在同一种介质中走最短路线(直线), 聪明! 从一种介质进入另一种介质发生折射, 傻了?. 问题:. 设光在两种介质中的速度比为 u, 两介质分界线为直线。从第一介质的 A 点到第二介质的 B 点,走怎样的路线时间最短?. 求 f(x) 的最小值. 1) 利用Mathematica: 画出 y=f(x) 的图象,观察最小值点的近似位置 x=c.

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Presentation Transcript


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数学实验

李尚志 教授

中国科学技术大学数学系


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实验十:寻优

  • 10.1 光的折射定律

  • 光在同一种介质中走最短路线(直线),聪明!

  • 从一种介质进入另一种介质发生折射,傻了?


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问题:

  • 设光在两种介质中的速度比为 u,两介质分界线为直线。从第一介质的A点到第二介质的B点,走怎样的路线时间最短?


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求 f(x) 的最小值

  • 1)利用Mathematica:

  • 画出 y=f(x) 的图象,观察最小值点的近似位置x=c.

  • 运行语句 FindMinimum[f,{x,c}]


2 0 618 f

2) 0.618 搜索法(求每一点的 f 值需花成本):

  • 确定最初的搜索区间[a,b]

  • 记d=b-a. 插入两分点 x1= a+0.382d (0.382点)x2= a+0.618d (0.618点)

  • 求出 f(x1),f(x2).


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  • 如果f(x1)优于f(x2),用[a,x2] 代替[a,b]。 x1已是0.618点,只须再求0.382点的值。

  • 否则,用[x1,b]代替[a,b]。

  • 不断重复以上过程。


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10.2 奔向最优点

  • 问题:设A,B,C是平面上三点。求点P(x,y)到三点距离之和 s=f(x,y) 最小。

  • Mathematica语句:FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]


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多元搜索:最速下降法

  • 从初始位置P0(x0,y0)出发

  • 求P0点及点(x0+d,y0), (x0,y0+d)的f值s0,s1,s2。

  • u=(s1-s0)/d,v=(s2-s0)/d.

  • 梯度方向G=(u,v).


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  • 最快下降方向 - G=(-u,-v)

  • 选步长 h。从 P0 到 P1(x0-hu,y0-hv)。

  • 从 P1出发再前进。


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10.3最小二乘法

  • 数据点集t={(xi,yi)}.

  • 用直线 y=kx+b 去拟合,使所有 kxi+b-yi 的平方和 s(k,b)最小。

  • Fit[t,{1,x},x]


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实验十一: 最速降线

  • 重力场中高度不同的两点A,B。

  • 在A静止的质点沿怎样的路径下滑到B点,时间最少?


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时间的计算

  • 设A(0,0),B(a,h).

  • 将x区间[0,a]平均分成n段:xi=ia/n,i=0,1,2,…,n.

  • 曲线上的点Pi(xi,yi)将曲线分成n段,逐段计算时间T。


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寻找最速降线

  • 求T=f(y1,y2,…,yn-1 )的最小值点(y1,y2,…,yn-1 ) 。

  • 用光滑曲线连接点Pi

  • 等时曲线


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最速降线的形状


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网上实验室

网址:

  • 202.38.68.76/~mathexp/

  • 或:http://www.ustc.edu.cn 

    院系介绍数学系常用连接

     网上数学实验


The end

The End

  • 再见


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