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( 多元函数微分法及其应用 ). 第八章 多元函数微分法及其应用. 本章主要讨论二元函数的微分法及其应用. 第一节 多元函数的基本概念. 一 . 平面点集 n 维空间. 1. 平面点集. 当在平面上引入一个直角坐标系后 , 平面上的点 P 与有序二元. 实数组 (x,y) 之间建立一一对应 . 这样我们把有序实数组和平面. 上的点等同起来 . 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 , 称为平面点集 ,. 记作 E = {(x,y)|(x,y) 具有性质 P}. 邻域:. 与点. 的距离小于 δ 的.

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(多元函数微分法及其应用)


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第八章 多元函数微分法及其应用

本章主要讨论二元函数的微分法及其应用.

第一节 多元函数的基本概念

一. 平面点集 n维空间

1.平面点集

当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元

实数组(x,y)之间建立一一对应.这样我们把有序实数组和平面

上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.


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坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,

记作

E = {(x,y)|(x,y)具有性质P}.

邻域:

与点

的距离小于δ的

p(x,y)的全体,

的δ邻域,记作

称为点


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y

δ

p0(x0,y0)

x

E

p

从几何图形看, U(p0,δ)表示以点

为中心,δ>0为半径的圆的内

部所有的点如果不强调邻域半径δ,

的邻域

用U(p)表示点.


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内点 外点 边界点 聚点

设E是平面上的一个点集,p是平面上的一个点

如果存在点p的某一个邻域U(p),使U(p)∈E,则

.

是E的内点.

称p为E的内点.(如图).显然,E的内点属于E,但E的点不一定

E

p


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外点 如果存在点P的任一邻域U(p),使U(p)∩E=φ,则称P

为E的外点.

若点集E的点都是E的内点,则称E为开集, 例如,点集

E1={(x,y)|4<

<9}中每个点都是E1的内点,因而E1为

开集.

若点p的任一邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点(点p

本身可以属于E也可以不属于E).则称p为E的边界点.E的边

界点的全体称为E的边界.

上面E1的边界是圆周

=4和

=9


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如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p为E

的聚点.显然E的内点一定是E的聚点,E的边界点也可能是E

的聚点.例如,设

={(x,y)|0<x+y≤1}那么,直线x+y=0上的任

的聚点.并且它们不属于

一点既是

的边界点又是

因此,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.


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区域

若对于集合D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线

连接起来,则称集合D为连通集.连通的开集称为开区域.简称

区域.

例,

={(x,y)|4<

<9}是开区域;

={(x,y)|0<x+y≤1 }

不是开区域.因为它不是开集.区域连同它的边界一起,称为

闭区域.例如{(x,y)|0≤x+y≤1}

既不是

不是闭区域,(因为它有一边不包含边界)因而

开区域,(它又有一边包含边界)又不是闭区域


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若存在正实数r,使点集

,其中O为坐标点,

表示E内的一切点到原点的距离不超过r.则称点集E为有界

点集;否则(表示找不到r)称为无界点集.例如

是有界开区域

{(x,y)|x+y>0}是无界点集.


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  • n 维空间

1.定义 设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序

的全体所构成的集合,即

实数组

|xi∈R,i=1,2,..n}

Rn=R× R×... × R={

Rn中的元素,

也用x表示,即x=

当所有的xi=0(i=1,2…n)时,称这样的元素为零元,记为0或O.


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在解析几何中通过直角坐标系,

(或

)中的元素分别与

平面或空间中的点或向量建立一一对应,这样在

中的元素

也称为

中的一个点或一个n维向量,而称

X

中的零元0

称为坐标原点或n维零向量.

为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量,在


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2.在Rn中定义线性运算.设x=

为Rn中任意两个元素,λ∈R

y=

规定 x+y=

λx=

之间的距离

3. Rn中点x =

和点y =

ρ(x,y),规定


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显然,n=1,2,3时,上述的规定与数轴上,直角坐标系下平面及空间

中两点之间距离一致.

Rn中元素x=

与零元0之间的距离ρ(x,0),记

为‖x‖,即

结合向量的线性运算,我们得到


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4. Rn中变元的极限

a=

∈Rn 如果

设x=

‖x-a‖→0,则称变元x在Rn中趋于固定元a,

记作x→a

由于线性运算和距离的引入,前面研究的邻域,内点,开集,

闭集等一系列概念都可定义.


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二. 多元函数的概念

1.多元函数的定义

在实际问题及科技活动中,经常遇到多个变量之间的依赖

关系.看下面的两个例子.

例1椭圆的面积S取决于它的长,短半轴长a与b,它们之间有

如下关系

一对数值(a,b)时,面积S的对应值就随之确定了.

S=πab (a>0,b>0) 这里的a,b在一定范围内取定

我们从这里就可以得到二元函数的定义.


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定义1设D是

的一个非空子集,称映射f:D→R为定义在D上

的二元函数,通常记为 Z=f(x,y), (x,y)∈D 或

z=f(p) P∈D

其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量

,数集 f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为该函数的值域.

记 .


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类似地可以定义三元及三元以上的函数.三元函数记

u=f(x,y,z).

点函数z=f(p)(p∈D)是定义在点集D上的一个函数.这

里设D是平面点集,则z=f(p)定义的是一个二元函数.如果D

是数轴上的点集(或空间内的点集),则z=f(p)定义的是一

元(或三元)函数.


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例2圆柱体的体积V和它的底半径R,高h的关系为:V=πR2h

(R>0,h>0).

例3


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z

Z=f(x,y)

M

y

o

y

x

p

x

在上述函数概念中,关键的两点为:

(1)自变量x,y的变化范围,称为定义域;

(2)对应法则,即函数关系.

关于函数概念,我们主要研究三方

面的问题:

(1)求函数的定义域;

(2)建立函数关系;

(3)求函数值.


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2. 二元函数的定义域:

二元函数中自变量x,y的取值范围称为函数的定义域.

围成平面区域的曲线称为该区域的边界,包括边界在内的区

域称为闭区域;不包括边界在内的区域称为开区域;包括部

分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处,

称为无界区域,否则称为有界区域.


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注意:二元函数z=f(x,y)中,自变量在定义域内可以独立地

取值,即x取值与y取值没有必然联系,而且有可能出现x可

以取不同的值,而y的值不变,或y可以取不同的值,而x的值

是不变的情况.

  • 多元函数的定义域

  • 函数的定义域与函数的实际意义有关.我们约定:在没

  • 有明确指出定义域 D时,函数的定义域是使函数有定义的点

  • 的全体.这样的定义域叫做函数的自然定义域.


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y

x+y=1

x

x

例3 求下列函数的定义域:

解:(1)要使根号内的数有意义,

因此函数的定义域为

{(x,y)| x+y-1≤0}图形为右所示

y

(2)要使

有意义,必须x2+y2-1≥0,并且


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此函数的定义域为{(x,y)|1≤x2+y2≤5}

其图形为以原点为中心,半径分别为1和

之间的部

分,包括两个圆

多元函数的定义域的求法:

要先写出构成部分的各简单函数的定义域,再联立不

等式组,即得到所求的定义域.


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4.二元函数的几何意义:

设二元函数z=f(x,y)的定义域

xoy平面上的某一区域D,对于

D上的每一点p(x,y),在空间可以

作出一点M(x,y,F(x,y))与它对应.

当点p(x,y)在D中变动时,点M(x,

y,F(x,y))就在空间作相应地变动

它的轨迹是一个曲面.

z

Z=f(x,y)

M

y

o

y

x

p

x


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例如线性函数z=ax+by+c是一个平面. x2+y2+z2=a2确定的函数

z

点集D={(x,y)|x2+y2≤a2}为闭区域.当p

在D中

y

变动时,它对应的两个函数值,

分别表示两个图形.一个是上

半球面,另一个是下半球面.以后我们

讨论的函数是单值的.

当遇到多值函数时,可分成几个单

值分支来讨论.

x

p

p0(x0,y0)


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三 多元函数的极限

1.多元函数极限的定义

多元函数极限与一元函数存在形式上一致,但确实有着

本质区别.先研究二元函数的极限

(1)二元函数的极限 设z=f(x,y),

∈D

为其一聚点.选择一动点p(x,y).现在讨论当

时的极限

p(x,y)→

.又因为

显然,

时等阶于 ,


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直观定义:和一元函数极限一样,如果在p→p0的过程中,对应

的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A.就说A为当p→p0 ,

或x →x0 ,y →y0

时的极限


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例如

p

p0(x0,y0)

现在我们用ε--δ来定义这个概念:

ε--δ语言定义设函数z=f(x,y)的

定义域为D.p0(x0,y0)是D的聚点.如果

对于任意给定的正数ε,总存在δ>0,

y

p(x,y)

ρ

x

0

使适合不等式

的一切点p(x,y)∈D,都|f(x,y)-A|<ε成立.则称A为函数z=f(x,y).当x→x0,y→y0时的极限.记作


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二元函数的极限称为二重极限.

研究二元函数极限定义时,我们注意以下两点:

(1)不研究p0(x0,y0)处的状态,仅研p(x,y)→p0(x0,y0)

的过程中,函数f(x,y)的变化趋势.所以定义中规定,

函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域内有定义,但

不要求函数在点p0(x0,y0)有定义.


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(2)极限值A应是一个确定的常数,它与p(x,y)趋近

p0(x0,y0)的方式无关.也就是说:p(x,y)以任何方式趋

于p0(x0,y0)时,函数都无限接近于A.


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例4求极限

例5设

证明


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证明:

成立

化成一元函数求极限

有界量和无穷小的乘积为无穷小


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的极限

例6考察函数 f(x,y)=

解: (1)当点p(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,

这是一种特殊的趋近方式

(2)当点p(x,y)沿y轴趋近点(0,0)时

这也是一种特殊的趋近方式

(3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时

不存在

随着k的不同,极限值也不同.所以


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例7求:

例8求:


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20. 关于二元函数极限的说明

首先所谓的二重极限存在.是指p以任何方式(或沿任何径)

趋于p0时函数的极限都要存在,且相等于常数A.因此,当p以

某一特殊方式.例如沿某一条(也可能是几条)直线或曲线无

限接近p0时,即使函数无限接近某一确定的常数A,还不能由

此判断该函数存在极限. 这就是说当p沿某一特定方式趋向

p0时,f(x,y)的极限不存在,或p沿某两条特定的方式趋向p0

时,函数极限存在但不相等.则该函数极限不存在.


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而一元函数中p趋向p0的方式只有两种.一是沿x轴某一方向

趋近二是左,右方向

p0

-p

p

四.多元函数的连续性

定义4: 设多元函数f(p)定义在D上,,p0是D的聚点.p∈D,

如果当p→p0时函数f(p) 的极限存在,且等于该函数在点p0处

的函数值,即

就称函数f(p)在点p0处连续.


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如果函数f(p)在点集M的各点处都连续,就称函数f(p)在M

上连续.可以证明:

一切多元初等函数在其定义域内是连续的.

若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则p0称为函数的间断

点.这里指出如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者

沿D内某些曲线,函数f(x,y)没有定义但在D内其余部分,函

数都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数

f(x,y)的不连续点,即间断点.


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例9求

和闭区间上一元函数的性质相似,在有界闭区域上多元

函数也有下列主要性质.

性质1(最值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数,在该

闭区域上必定达到它的最大值与最小值.


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性质2(介值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数,如

果取得两个不同的函数值,则它在该区域上取得介于这两

个值之间的任何值至少一次.

性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域D上的多元连续

函数必定在D上一致 连续.

性质3表示若f(P)在有界闭区域D上连续,则对于任意给定

的正整数ε,总存在正数δ,使对于D上的任意两点

|<δ时都有

只要当|


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|f(P1)-f(P2)|<ε

成立.

这里我们补充三个内容:

(1)求二元函数的表达式. 这方面的问题有二种情况,一

是已知函数f(x,y)的表达式,求复合函f[φ(x,y),ψ(x,y)]

的表达式,这情况比较简单.只需要把φ(x,y),ψ(x,y)分

别替换f(x,y)中的x,y即可.


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另一种是它的反问题,即已知f[φ(x,y),ψ(x,y)]求f(x,y).

其一般的方法是令u= φ(x,y),v= ψ(x,y),从中解出x,y,

代入f[φ(x,y),ψ(x,y)]中,把u,v换成x,y即可,但有时不

能从u,v中解出x,y时,往往需要用凑成φψ的函数.


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(一)求二元函数极限的方法

1.化二元函数为一元函数极限

例3 求


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2.应用二元函数极限的夹逼准则计算

夹逼准则:若g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y),且

limg(x,y)=limh(x,y)=A,则limf(x,y)=A.


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注意:这里不能把

变成

该定义域为x≠0,

该定义域为x,y同时≠0

如果x→0,y→a就可以采用这个方法.

本题采用的是两边夹的方法.


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3.利用连续函数的函数值即是极限值性质.(一切多元初等函

数在其定义域内都是连续函数)

因为分子,分母是多元初等函数, 当x→1,y→0时恰好在它的定

义域内,所以我们用它的函数值表示它的极限值.

(二)证明二元函数极限不存在的方法

证明二元函数极限不存在我们也有几种方法,

(1)证明(x,y)沿某一路线趋于点(x0,y0)时,f(x,y)的极限

不存在.


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(2)证明(x,y)沿不同路线趋于点(x0,y0)时,f(x,y)的极限存

在,但趋于不同的值.

(3)利用二次极限存在,但不相等.


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不存在

例9 证明极限

证明:当(x,y)沿x轴(即y=0)趋向于点(0,0)时,原式=0

当(x,y)沿y=x的直线趋向于点(0,0)时,

由于f(x,y)沿不同的路线趋向于点(0,0)时的极限不相同,故

它极限不存在.


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这里我们举两个例子说明二重极限和二次极限之间区别

例10

的极限

考察函数 f(x,y)=

解: (1)固定y≠0,点p(x,y)沿x轴趋于点(0,y)时,

可见二次极限是存在它为0


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(2)固定x≠0,点p(x,y)沿y轴趋于点(x,0)时,

可见二次极限是存在的它为0

(3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时

不存在

随着k的不同,极限值也不同.所以

这例子说明尽管两个二次极限存在且相等,但二重极限却不

存在


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这说明二重极限与二次极限没有什么必然的联系,即二重极限

的存在不能保证二次极限的存在,而两个二次极限的存在,并且

相等,也不能保证二重极限的存在但当二重极限和二次极限都

存在时,它们必相等,即有

定理 若存在二重极限

与二次极限(之一)

则它们必相等.


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证明:因为二重极限的存在,设

即对任意

ε>0,存在δ>0,使得当

时有|f(x,y)-A|<ε (1)

又由于二次极限的存在,对上述P(x0,y0)的邻域中的任意x,

存在极限

在(1)式中,令y→y0,得到

即证明


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由定理可得到两个推理:当(x,y)→(x0,y0)时

(1)如果函数f(x,y)的二重极限和它的两个二次极限均存在,

则这些极限都相等

(2)如果两个二次极限都存在,但不相等,则二重极限必不存在.

(3)二元函数的连续性

二元函数的连续的概念及性质和一元函数相似.但要注意,若

二元函数f(x,y)在点(x0,y0)关于x或y都连续,但f(x,y)在点

(x0,y0)不一定连续.例如,函数


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f(x,y)=

我们先证明函数f(x,y)关于x轴是连续的

(1)先固定y=b≠0,则在平面y=b上得到x的函数

它是处处有定义的有理函数,因此它是连续的.当y=0时,f(x,0)=0

也是连续的.于是,当变量y固定时,函数f(x,y)对于变量x是连续

的,同理可证明函数f(x,y)对于变量y也是连续的.


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(2)当函数f(x,y)在x,y≠0时是初等函数,且有定义,它

是连续的.但当(x,y)→(0,0)点时,x→0,y=kx→0时

同一元函数的情形相同,对于多元初等函数,在它的定义的

地方都是连续的.在几何上,一元函数连续,它的图象是一根

连绵不断的曲线,而二元函数的图象是一张既没有断层又没

有“细眼”的曲面.因此,关于多元函数的连续性讨论,主要是


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求极限的方法除了上面讲的三点外,其方法可用定义求,

利用运算法则求,可作变量代换,用一元函数中的已知极限求,

可利用连续函数性质求,可进行分母有理化等.

分段函数在分段点处的连续性讨论,方法是根据函数在一

点连续的定义.

同学在学习二元函数的理论时,要多注意它和一元函数的

联系和类比,在学过的一元函数的理论是学习二元函数的基

础,但二元函数毕竟比一元函数复杂,存在一些本质上的差异.

学习时应该时刻注意比较它们的异同.


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