第八章

第八章 多元函数微分法及其应用

 P0 y x o 第一节多元函数的基本概念一、区域 1. 邻域: 设P0(x0, y0)是xOy面上一点, 是某一正数, 与P0(x0, y0)距离小于 的点P(x, y)的全体, 称为 P0的 邻域, 记为U(P0, ). 即: U(P0, ) = {P | |P0P| <  } 或  注: 去心邻域 U(P0, ) = {P |0 < |P0P| <  }

E P y x o y o 1 x 2. 区域 (1) 内点: 设E为一平面点集, P为E的一点, 如果存在点P的某个邻域U(P), 使这个邻域整个包含在E内, U(P) E 则称点P为点集E的内点. 注: 若点集E的点都是内点, 则称E为开集. 例如: 点集 E1= {(x,y)| x2 + y2 < 1}是开集. 点集 E2= {(x,y)| x2 + y2 1}不是开集.

y P1 E x o y x o 1 2 (2) 边界点: 设E为一平面点集, P1为一点, 不论P1点是否属于E, 如果P1的任何邻域内, 既有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称点P1为点集E的边界点. 注: 点集E的全体边界点所成的点集, 称为点集E的边界. 例如: 点集 E= {(x, y)| 1 x2 + y2< 4}的边界点是圆 x2 + y2 = 1和 x2 + y2 = 4 .

P1 x o y P2 y P1 x P2 o 1 2 (3) 区域连通: 点集E内任何两点, 可用E内的一折线连接起来, 则称E是连通的. 开区域（区域）：连通的开集例如: E1 = {(x,y)| x2 + y2> 0} 是区域. E2 = {(x,y)| 1< x2 + y2<4} 也是区域.

E3 = {(x,y)| x2 + y2<1} {(x,y)| (x2)2 + (y2)2<1} 不是区域. y P1 2 1 P2 x o 2 1 注1: 开区域连同其边界点称为闭区域.

E P y x o (4)有界区域对于区域E, 如果存在M > 0. 使得E内任何点到原点的距离都小于M, 即: (x, y)E. x2 + y2< M 2 则称E为有界区域, 否则, 称为无界区域.

3. n 维空间 n个有次序的实数(x1, x2,…, xn)的全体所成的集合称为n维空间. 记成Rn, 将(x1, x2,…, xn )称为n维空间Rn中的点, 数 xi 称为该点的第 i个坐标. 注1: 一维空间R1就是直线. 二维空间R2就是平面. 三维空间R3就是现实空间.

称为两点P、Q的距离, 记作: 注2: 对于Rn中的两个点P(x1、x2、…、xn ), Q(y1、y2、…、yn ).

二、多元函数概念 1. 二元函数 (1)定义: 设D是平面上的一个点集. 如果对于每个点P(x, y)D, 变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应, 则称z是变量x, y的二元函数(或点P的函数), 记为 z= f (x, y) 或 (z= f (P)) 点集D称为该函数的定义域, x, y称为自变量. z称为因变量. 数集: { z| z = f (x, y), (x, y)D} 称为该函数的值域.

类似地: 可以定义三元函数, 即三维空间中的点函数u = f (M ) = f (x, y, z). n元函数是n维空间中的点函数 y = f (M ) = f (x1, x2, …, xn). 注1: 讨论算式表达的函数u = f (x,y)时, 规定其定义域就是使这个算式有确定值u的全体自变量的集合.

y x 0 x+y=0 y x = y2 x 0 例如: 函数 z = ln(x+y)的定义域为{(x, y)| x+y > 0} 例如: 函数的定义域为{(x, y)| x  y2  0}, 即 y2  x.

注2: 二元函数也引入了多值函数, 单值函数的概念. 例如: 由方程 x2 + y2 + z2 = a2, 确定的函数是多值函数, 它有两个单值支:

z = f (x, y) z M y o y x P x D (2) 二元函数的图形. 设函数 z = f (x, y)的定义域为D, 将空间点集 { (x, y, z)| z = f (x, y), (x, y)D} 称为二元函数 z = f (x, y)的图形.

三、二元函数的极限 1. 定义: 设二元函数y =f (x, y)在点P0(x0, y0)附近有定义,若对于任意给定的>0, 总存在  >0. 当都有成立，则称常数A为二元函数f (x, y)当PP0 (或xx0, yy0)时的极限，记作

y P0 x o 注1：二元函数的极限称为二重极限；二重极限存在是指点P(x, y)以任何方式趋于 P0(x0, y0)时， z = f (x, y)都无限接近于A. 注2：二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数.

例1：设 求证：注3：若P(x, y)以某一特殊方式趋于P0(x0, y0)时，f (x, y)能无限接近于某一定值, 还不能判定函数的极限是否存在；反之, 若当P(x, y)以不同方式趋于P0(x0, y0)时，函数趋于不同的值，则可判定函数的极限不存在。

例2. 设 f (x, y) = 0 , 证明：

注4. 二元函数极限有与一元函数极限类似的四则运算法则. 例3. 求例4.

四、二元函数的连续性 1. 定义：设z =f (x, y)在P0(x0, y0)的邻域内有定义. 若或( ) 则称 z =f (x, y)在点P0连续. 若f (x, y)在区域D内每一点连续，则称 f (x, y) 在D内连续. 若f (x, y)在点P0不连续，则点P0称为 f (x, y)的间断点.

例如： 注：二元函数的连续概念可相应地推广到n元函数上去.

2. 有界闭区域上多元连续函数性质 性质1. (最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值. 即:  P1, P2 D , 对于PD. 都有 f (P2)≤ f (P) ≤ f (P1)

性质2. (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果在D上取得两个不同的函数值. 则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特别地：设m, M分别是f (P)在D上的最大值、最小值, m≤≤M , 则 QD, 使 f (Q)= 

3. 多元初等函数 (1) 二元基本初等函数考虑一个变量x或y的基本初等函数，将它们当成二元函数. 如：C, x, y, sinx, siny，…… 称为二元基本初等函数.

(2) 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合所组成的函数，称为二元初等函数. 例如：sin(x2 y), 都是二元初等函数. 注: 类似地定义多元初等函数结论：多元初等函数在其定义区域内连续. (定义区域指包含在定义域内的区域或闭区域)

y P0 D1 x o 例5. 求解：定义域 D ={(x, y) | x 0 或 y 0} 因D不连通，故D不是区域. 但 D1={(x, y)| x >0, y >0}是区域, 且D1 D 故D1是 f (x, y)的一个定义区域, 且P0(1, 2) D1 故

例6. 求 作业：

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