ZADATAK 1
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 59

Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koristeći metodu funkcije zaokreta PowerPoint PPT Presentation


  • 72 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

ZADATAK 1. Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koristeći metodu funkcije zaokreta za prizmatični štap pravokutnog poprečnog presjeka prema crtežu. Koristi se osamčvorni konačni element. REALNE KOORDINATE ČVOROVA:. DETERMINANTA JAKOBIJANE. ČLANOVI MATRICE KRUTOSTI.

Download Presentation

Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koristeći metodu funkcije zaokreta

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

ZADATAK 1

Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koristeći metodu funkcije zaokreta

za prizmatični štap pravokutnog poprečnog presjeka prema crtežu.

Koristi se osamčvorni konačni element.

REALNE KOORDINATE ČVOROVA:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

DETERMINANTA JAKOBIJANE


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

ČLANOVI MATRICE KRUTOSTI


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

MATRICA KRUTOSTI


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

VEKTOR DESNE STRANE


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

MATRIČNA JEDNADŽBA RAVNOTEŽE PRAVOKUTNOG KONAČNOG ELEMENTA

matrica konačnog elementa

vektor rješenja

vektor opterećenja

(vektor aktivnog opterećenja

i reakcija u točkama sa zadanim

kinematičkim rubnim uvjetom).


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

ZADATAK 2

Za štap kvadratnog poprečnog presjeka stranice duljine 2a opterećenog momentom torzije Mt (tako da je zasukan za kut ) potrebno je odrediti funkciju vitoperenja (x, y), komponente posmičnih naprezanja te torzijsku krutost presjeka.

Materijal je izotropan s modulom posmika G.

- nepoznati samo pomaci čvorova 4, 5 i 6;

ostali čvorovi nemaju pomaka


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

REALNE KOORDINATE ČVOROVA:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

FUNKCIJA VITOPERENJA NA K.E.

PRIBLIŽNO RJEŠENJE


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

REAKCIJE


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

5

6

4

7

ξ

8

3

2

1

ZADATAK 3

Varijacijska metoda minimuma potencijalne energije koristeći osi

simetrije i izoparametrički osmočvorni konačni element.


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

5

6

4

7

ξ

8

3

2

1

Rješenje tražimo u obliku linearne kombinacije baznih funkcija:

Bazne funkcije na osmočvornom izoparametričkom konačnom elementu u punom obliku su:

NE ZADOVOLJAVAJU RUBNE UVJETE

SPREGNEMO U JEDNU BAZNU FUNKCIJU


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Naše bazne funkcije:

Bazna funkcija Nina rupi

=1

=2Ak

Član koji se dodaje bilo kojem čvoru (ali samo jednom) na rubu rupe.

U našem slučaju imamo samo jednu baznu funkciju pa ćemo ovaj član dodati pripadajućem i-tomindeksu koji ima i ta bazna funkcija.

Negativno zbog smjera integracije!


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Analogni izraz za mješovite umnoške ima oblik:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Moment torzije:

Posmična naprezanja:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Štap poprečnog presjeka u obliku istostraničnog trokuta opterećen je momentom torzije . Koristeći metodu naprezanja, potrebno je odrediti polje naprezanja.

y

x

ZADATAK 4

SAINT – VENANTOV PROBLEM

Primjer:

Stranice:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

y

4

+1

-1

x

1

3

ξ

+1

-1

2

Geometrija područja:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

y

x

.

.

7

6

8

2

1

5

1

2

2

4

ξ

3

Rješenje će se odrediti pomoću istih baznih funkcija kao i za kvadratno područje.


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Rješenje tražimo u obliku linearne kombinacije baznih funkcija:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Pogreška iznosi

Za

Točno rješenje je:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Pogreška iznosi

.

Usporedba točnosti momenta torzije dobivenog analitičkim i numeričkim postupkom:

Točno rješenje:

Granice područja:

po “x”

po “y”

Za:

Numerički:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Pogreška iznosi

NAPREZANJE:

Za

Točno:

Za:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

y

x

1. ZADATAK:

Zadan je prizmatični štap opterećen momentom torzije Mt (zasukan za kut ). Poprečni presjek štapa prikazan je na crtežu. Modul posmika iznosi .

Koristeći jedan 8.-čvorni izoparametarski konačni element treba odrediti funkcije rješenja i , komponente naprezanja i torzijsku krutost, te međusobno usporediti dobivene rezultate.


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

1.1.METODA FUNKCIJE ZAOKRETA

Funkcional potencijalne energije u ovom slučaju glasi:

Funkcija se može izraziti kao linearna kombinacija:

VEKTOR POMAKA ČVOROVA NA KRAJEVIMA KE

VEKTOR BAZNIH FUNKCIJA DEFINIRANIH NA POMOĆNOM KOORDINATNOM SUSTAVU


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

0

0

0

0

0

0

KAKO NAM IZGLEDAJU NAŠE BAZNE FUNKCIJE?

0

0

0

0

0

0

0

0


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Deriviranjem izraza za funkciju  po koordinatnim smjerovima x,y, uvrštenjem u funkcional te njegovim minimiziranjem dobije se sustav jednadžbi:

j=1,2...,8

odnosno matrično zapisan:

=?

=?

KAKO BI VI ODREDILI ?

=?

=?

SLIJEDE IZ J-1


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

MATRICA KRUTOSTI U REALNIM KOORDINATAMA

PRELAZI U


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

y

8

4

x

3

1

2

7

6

5

EKVIVALENTNE ČVORNE SILE:

...


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

IDEMO SADA RIJEŠITI NAŠ ZADATAK!

y

8

+

4

x

3

1

2

7

6

5

PRVO ĆEMO DEFINIRATI ČVOROVE KE!


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

y

8

+

(-1,1)

(0,1)

(1,1)

4

(-1,0)

(1,0)

(0,0)

x

3

1

2

7

6

5

(-1,-1)

(1,-1)

(0,-1)


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

y

+

x

1


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

REALNE KOORDINATE ČVOROVA:

y

8

8

1

1

2

2

4

4

x

3

3

3

1

3

1

2

2

7

6

7

5

6

5

4

4

Koordinate točaka (x,y) izražene preko koordinata (,) su:

5

5

6

6

7

7

8

8


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Jacobijan je :

a njegova determinanta

Sada se mogu izračunati potrebne derivacije:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

(VEKTOR AKTIVNOG OPTEREĆENJA I REAKCIJA U TOČKAMA

SA ZADANIM KINEMATIČKIM RUBNIM UVJETOM).

POZNATI POMACI

RUBNI UVJETI:

y

8

8

Koji članovi matrice množe poznate pomake?

Koji članovi matrice ‘ostaju’?

Koji članovi matrice koji odgovaraju poznatim ‘reakcijama’?

4

4

x

3

1

3

1

2

2

7

6

7

5

6

5


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Sada se mogu odrediti reakcije u pridržanim čvorovima


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Suma svih reakcija je jednaka nuli što znači da je u smjeru osi štapa uspostavljena ravnoteža.


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Funkcija vitoperenja ima oblik:

Torzijska krutost poprečnog presjeka računa se po izrazu:

Za cijeli poprečni presjek se dobije:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Funkcija zaokreta:

=?


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

METODA FUNKCIJE NAPREZANJA

Funkcional potencijalne energije preko funkcije naprezanja:

Minimiziranjem funkcionala:

sustav jednadžbi:

vektor nepoznatih

vrijednosti funkcije

naprezanja u čvorovima KE:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Preslikavanje realnog područja na virtualno

vrši se na isti način kao i kod funkcije zaokreta:

Funkcija naprezanja na rubu rupe ima konstantnu vrijednost, pa se sve bazne funkcije koje se nalaze na rubu rupe mogu spregnuti u jednu.

Vektor baznih funkcija:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

1

2, 3, 6

4

5

7

8

Sprezanje matrice krutosti:

1

2, 3, 6

4

5

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

1

2

345

6

7

8

1

2

345

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

1

2

345

6

7

8

1

2

345

6

7

8


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Članovi vektora opterećenja:


Izvesti matricu elementa i vektor desne strane koriste i metodu funkcije zaokreta

Funkcija naprezanja:

Krutost poprečnog presjeka na torziju:


  • Login