Tr gonometr
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 100

TRİGONOMETRİ PowerPoint PPT Presentation


  • 184 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

TRİGONOMETRİ. BİRİM ÇEMBER. Analitik düzlemde, merkezi başlangıç noktasında ve yarıçapı 1 birim uzunlukta olan çembere, birim çember denir ve denklemi. biçiminde yazılır.

Download Presentation

TRİGONOMETRİ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Tr gonometr

TRGONOMETR


B r m ember

BRM EMBER


Tr gonometr

Analitik dzlemde, merkezi balang noktasnda ve yarap 1 birim uzunlukta olan embere, birim ember denir ve denklemi

biiminde yazlr.

AOP as pozitif ynl bir adr. AP yay pozitif ynl bir yaydr. POA as negatif ynl bir adr. PA yay negatif ynl bir yaydr.


A lar l mede kullanaca m z l birimleri derece radyan ve grad olarak isimlendirilir

Alar lmede kullanacamz l birimleri derece, radyan ve grad olarak isimlendirilir.

  • Derece: Bir emberin evresini 360 e paraya blelim. Birbirine e olan bu 360 yay parasndan herhangi birini gren merkez ann lsne bir derece denir ve () ile gsterilir.

    1 nin 60da birine 1 dakika denir ve () simgesi ile gsterilir.

    1 nin 60da birine 1 saniye denir ve () simgesi ile gsterilir.


Tr gonometr

  • Grad: Bir tam ember yayn 400 e paraya bldmzde her bir paray gren merkez ann lsne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gsterilir.

  • Radyan: Bir emberde, yarap uzunluundaki bir yay gren merkez ann lsne 1 radyan denir. yleyse, bir ember yaynn ls

radyandr.


A l birimlerinin birbirine d n t r lmesi

A l Birimlerinin Birbirine Dntrlmesi

Bir ember yaynn ls 360 derece veya 400 grad veya radyandr. O halde;

yazlabilir. Bu eitlik

sadeletirilirse;

elde edilir.


Rnek l s olan a y radyan ve grad t r nden yaz n z

rnek:ls olan ay, radyan ve grad trnden yaznz.

zm:


Rnek l s radyan olan a y derece ve grad t r nden yaz n z

rnek:ls radyan olan ay, derece ve grad trnden yaznz.

zm:


Tan m bir a n n l s 1 derece olarak verilmi se

Tanm: Bir ann ls;1) Derece olarak verilmise,

aralndaki deere;

2) Radyan olarak verilmise,

aralndaki deere;

aralndaki deere;

3) Grad olarak verilmise,

o ann esas ls denir.


Rnek l s 3826 olan a n n esas l s n bulunuz

rnek: ls 3826 olan ann esas lsn bulunuz.

zm:

3826 = 226 + 10.360 olur.

O halde 3826 nin esas ls 226 dir.


Rnek l s 1324 olan a n n esas l s n bulunuz

rnek: ls -1324 olan ann esas lsn bulunuz.

zm:

-1324 = 116 + (-4).360 olur.

O halde -1324 nin esas ls 116 dir.


Rnek l s olan a n n esas l s n radyan cinsinden bulunuz

rnek: ls olan ann esas lsn radyan cinsinden bulunuz.

zm:

O halde in esas ls dir.


Rnek l s olan a n n esas l s n radyan cinsinden bulunuz1

rnek: ls olan ann esas lsn radyan cinsinden bulunuz.

zm:

O halde nn esas ls dr.


Rnek l s 500 grad olan a n n esas l s n grad cinsinden bulunuz

rnek: ls 500 grad olan ann esas lsn grad cinsinden bulunuz.

zm:

O halde 500G n esas ls 100G dr.


Tr gonometr

TRGONOMETRK FONKSYONLAR


D k gende tr gonometr k oranlar

DK GENDE TRGONOMETRK ORANLAR


Tr gonometr

Verilen bir birim ember zerinde alnan P(x,y) noktas balang noktas ile birletirildiinde pozitif x ekseni ile oluan as iin aadakiler sylenebilir:


Buna g re

Buna gre,

[OP] dorusu uzatlarak

birim embere A

noktasndan izilen teet

ile R(1,t) noktasnda

kesiiyor.

tan =t dir.

biiminde tanmlanr.


Olu an dik gen emberin d na ta nd nda

Oluan dik gen, emberin dna tandnda;

oranlar elde edilir.


Bu oranlar incelendi inde

Bu oranlar incelendiinde,

sonular elde edilir.


30 45 ve 60 nin trigonometrik oranlar

30, 45 ve 60nin trigonometrik oranlar

sonular elde edilir.


Tr gonometr

rnek:

Verilen ekilde AB

deeri katr?


Tr gonometr

zm:

Trigonometrik oranlar kullanmak iin dik gen oluturulduunda

olur.


Bir trigonometrik oran verildi inde di erlerini bulmak

Bir trigonometrik oran verildiinde dierlerini bulmak

Bir trigonometrik oran verildiinde dik gen yardm ile dier trigonometrik oranlar bulunur.


Rnek 1

rnek 1

olduuna gre dier trigonometrik oranlar bulunuz.


Z m oran ndan yola k larak bir dik gen izilir pisagor ba nt s kullan larak nc kenar bulunur

zm: oranndan yola klarak bir dik gen izilir. Pisagor bants kullanlarak nc kenar bulunur.


Tr gonometr k fonks yonlarin temel zell kler

TRGONOMETRK FONKSYONLARIN TEMEL ZELLKLER


Tr gonometr

olur.

  • Bir say birim ember zerindeki bir P noktasna eletirildiinde tanma gre

    P=(cos, sin)

    olduu biliniyor.

  • emberin yarap 1 olduuna gre,

    Pnin apsis ya da ordinatnn mutlak deeri en fazla 1dir.

    O halde;


Tr gonometr

Birim ember zerindeki P(x,y) noktasnn

apsisi cos ,

ordinat sin olduuna gre,

I, II, III, IV numaral blgelerde trigonometrik fonksiyonlarn iaretleri,


Olur rne in cos 310 0 sin 310 0 tan 310 0 d r

olur.rnein cos 310 > 0, sin 310 < 0, tan 310 < 0 dr.


Esas l leri 180 180 360 olan a lar

Esas lleri , 180-, 180+, 360-Olan Alar


Esas l leri 90 90 270 270 olan a lar

Esas lleri , 90-, 90+, 270-, 270+Olan Alar

genlerin eitliinden K, L, M, N, noktalarnn ordinatlar (sinsleri) P noktasnn apsisine (kosinsne), apsisleri (kosinsleri) ise P noktasnn ordinatna (sinsne) mutlak deerce eittir.


Bu bilgiden yola k larak

sin (90-)=cos

cos (90-)=sin

tan (90-)=cot

sin (270-)=-cos

cos (270-)=-sin

tan (270-)=cot

sin (90+)=cos

cos (90+)=-sin

tan (90+)=-cot

sin (270+)=-cos

cos (270+)=sin

tan (270+)=-cot

Bu bilgiden yola klarak,


L ler negat f olan a ilar

LLER NEGATF OLAN AILAR

sin (-)=-sin

cos (-)=cos

tan (-)=-tan


Rnek 1 sin 150

RNEK 1: sin 150=?

ZM:

sin150= sin (180-30)=sin30=

veya

sin 150=sin (90+60)=cos60=


Rnek 2 cos 240

RNEK 2: cos 240 = ?

ZM:

cos 240 = cos (180 +60 )=-cos60 =-

veya

cos240 =cos(270 -30 )=-sin30 =-


Rnek 3 tan 315

RNEK 3: tan 315 = ?

ZM:

tan 315 = tan (360 -45 ) = -tan45 = -1

veya

tan 315 = tan (270 +45 ) = -cot 45 = -1


Rnek 4 sin 10 a ise cos 190 yi a cinsinden bulun

RNEK 4: sin 10 = a ise cos 190yi a cinsinden bulun.

ZM:

cos 190=cos(180+10)=-cos10

10 iin dik gen izilirse;

-cos10 =-


Rnek 5 sin 840

RNEK 5: sin(-840)=?

ZM:

nce - 840nin esas ls bulunur.

-840=-3.360+240

Esas l= 240

Sin(240)=sin (180+60)

=-sin60

=


Rnek 6 sin 150

RNEK 6:sin(-150)=?

ZM:

sin(-150)=-sin 150

-sin(180-30)

=-sin30

=-


Herhang b r gende tr gonometr k ba intilar

HERHANG BR GENDETRGONOMETRK BAINTILAR


I s n s teorem

I) SNS TEOREM

Herhangi bir ABC geninde genin evrel emberinin yarap R olsun.

dir.


Rnek 11

RNEK 1:

Yanda verilen gende c kenarnn uzunluunu ve bu genin evrel emberinin yarapn bulun.

ZM:


Ii kos n s teorem

II) KOSNS TEOREM

Herhangi bir ABC geninin kenar uzunluklar arasnda,

bantlar vardr.


Rnek 12

RNEK 1:

Bir ABC geninde a=4 b=3 c=6 ise katr?

ZM:

16=9+36-2.3.6

=


Rnek 2

RNEK 2:

ZM:

Kenarlar arasnda bants olan

genin asnn ls nedir?

Verilen bant dr. Kosins teoremine gre dir.

O halde, olur.


Rnek 3

RNEK 3:

ZM:

ABD geninde

DBC geninde

Verilen ekilde x deerini bulun.


Iii herhangi bir gende alan form lleri

III) Herhangi Bir gende Alan Formlleri


Rnek 13

RNEK 1:

Verilen ekilde

olduuna gre

ZM:


Rnek 21

RNEK 2:

ekilde verilen llere gre

ka birim karedir?

ZM:

dir. DEC geninde;


Tr gonometr k zde l kler

TRGONOMETRK ZDELKLER


I toplam ve fark form ller

I)TOPLAM VE FARK FORMLLER


Ii yarim a i form ller

II) YARIM AI FORMLLER


Rnek 1 sin 105

RNEK 1:sin 105=?

ZM:


Rnek 22

RNEK 2:

ZM:

olduuna gre


Rnek 31

RNEK 3:

ZM:

olduuna gre


Rnek 4 cos 15

RNEK 4: cos15=?

ZM:

cos2x=2cosx-1 olduuna gre


Rnek 5 sin75 cos75

RNEK 5: sin75.cos75=?

ZM:

sin2x=2sinxcosx olduuna gre

sin75 .cos75

=sin150

=sin(180-30)

=sin30

=.=


Rnek 6 sin15 cos15

RNEK 6: (sin15 -cos15)=?

ZM:

(sin15 -cos15)

= sin 15+cos 15-2sin15cos15

=1-sin30

=1-

=


Rnek 7 cos5 t ise cos40 cos50 t cinsinden nedir

RNEK 7: cos5=t ise cos40.cos50t cinsinden nedir?

ZM:

cos50=sin40 ve sinxcosx= sin2x olduu biliniyor.

cos40sin40= sin80= cos10 olur.

cos10yi hesaplamak iin

cos2x=2cos x-1 zdeliini kullanrsak

cos10=2cos 5-1=2t -1 olur.

cos40.cos50= [2t -1] sonucu elde edilir.


Rnek 8 ise sin2x

RNEK 8: ise sin2x=?

ZM:

sin2x=2sinxcosxdir.

x as iin dik gen oluturulduunda ve

xin 2. blgede yer ald gz nne alndnda (sinx>0, cosx<0)

sonucu elde edilir.


Rnek 9 ifadesinin sadele mi bi imi nedir

RNEK 9: ifadesinin sadelemi biimi nedir?

ZM:


Rnek 10 ise cosx

RNEK 10:ise cosx=?

bulunur.

Dik gen yardm ile,

olur.


D n m form ller

DNM FORMLLER


I arp m bi imindeki ifadeleri toplam bi iminde yazmak

I)arpm biimindeki ifadeleri toplam biiminde yazmak

cosxcosy=[cos(x+y)+cos(x-y)]

sinxsiny=-[cos(x+y)-cos(x-y)]

sinxcosy=[sin(x+y)+sin(x-y)]


Rnek 1 sin75 cos15

RNEK 1: sin75.cos15=?

ZM:


Rnek 23

RNEK 2:

ZM:


Ii toplam bi imindeki ifadeleri arp m bi iminde yazmak

II)Toplam biimindeki ifadeleri arpm biiminde yazmak


Rnek 1 ifadesinin sadele tirilmi bi imini bulun

RNEK 1: ifadesinin sadeletirilmi biimini bulun.

Dnm formlleri uygulandnda


Rnek 2 ise ifadesinin de erini bulun

RNEK 2: ise ifadesinin deerini bulun.

ZM:

olduuna gre

O halde,

O halde,

O halde,


Tr gonometr k denklemler

TRGONOMETRK DENKLEMLER


Tr gonometr

I) sinx=a TRNDEK DENKLEMLER

Bu tr denklemlerin zmleri bir rnekle aklanacak olursa

sinx= rnei ele alndnda,

dr.

Ancak denklemi salayan baka

x deerlerinin var olduu da

dnlecek olursa,

zmleri elde edilir.


O halde z m

O halde zm;

eklindedir.


Genel z m

Genel zm,

biiminde yazlr.


Rnek 1 denkleminin genel z m n bulun

RNEK 1: denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


Rnek 2 sin5x cos2x denkleminin genel z m n bulun

RNEK 2: sin5x=cos2x denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


Ii cosx a t r ndeki denklemler

II) cosx=a trndeki denklemler

Bu tr denklemlerin zmleri bir rnekle aklanacak olursa cosx= rnei ele alndnda


Tr gonometr

Ancak denklemi salayan baka x deerlerinin var olduu dnlecek olursa,

zmleri elde edilir.

O halde zm,

eklindedir.

GENEL ZM:

biiminde yazlr.


Rnek 1 denkleminin genel z m n bulun1

RNEK 1: denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


Rnek 2 denkleminin genel z m n bulun

RNEK 2: denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


Iii tanx a t r ndeki denklemler

III) tanx=a trndeki denklemler

Bu tr denklemlerin genel zmleri

biiminde yazlr.


Rnek 1 tan5x 1 denkleminin genel z m n bulun

RNEK 1: tan5x=-1 denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


Rnek 2 tan7x tan3x 1 denkleminin genel z m n bulun

RNEK 2: tan7x.tan3x=1 denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


Iv di er t rlerde denklemler

IV) Dier trlerde denklemler

RNEK 1: denklemini znz.

ZM:


Rnek 2 2sin x 5cosx 1 0 denkleminin genel z m n bulun

RNEK 2: 2sinx-5cosx+1=0 denkleminin genel zmn bulun.

ZM: nce denklem ayn trigonometrik fonksiyon cinsinden yazlr.

2(1-cosx)-5cosx+1=0

2cosx+5cosx-3=0

(2cosx-1)(cosx+3)

cosx= veya cosx=-3

cosx=-3 iin zm yoktur nk;

cosx = iin

Genel zm:


Rnek 3 0 x olmak zere cos 2sinx 1 1 denkleminin z m k mesini bulun

RNEK 3:0<x<olmak zere cos(2sinx-1)=1 denkleminin zm kmesini bulun.

Bu sorunun zmn imdiye kadar rendiiniz trigonometri bilgilerinden yola karak siz bulabilirsiniz.


Tr gonometr k fonks yonlarin graf kler

TRGONOMETRK FONKSYONLARIN GRAFKLER


Tr gonometr

I.


Tr gonometr

II.


Tr gonometr

III.


Ters tr gonometr k fonks yonlar

TERS TRGONOMETRK FONKSYONLAR


Tr gonometr

Bir f fonksiyonunun tersininde fonksiyon olabilmesi iin hem rten hem de birebir olmas gerekir.

sin: RR, xsinx rten deildir, birebir deildir.

cos: RR, xcosx rten deildir, birebir deildir.

sin: R[-1,1], xsinx rtendir, fakat birebir deildir.

cos: R[-1,1], xcosx rtendir, fakat birebir deildir.

Bu nedenle bunlarn ters fonksiyonlar yoktur.


Tr gonometr

I.

Ancak kural f(x)=sinx olan fonksiyonun birebir ve rten olabilmesi iin tanm kmesi

, deerler kmesi [-1,1] alndnda bu fonksiyonun ters fonksiyonundan sz edilebilir.

Yukardaki ekle gre

dr.


Tr gonometr

II.

, deerler kmesi [-1,1] alndnda bu fonksiyonun ters fonksiyonundan sz edilebilir.

f(x)=cosx iin tanm kmesi

Yukardaki ekle gre

dr.


Tr gonometr

III.

, deerler kmesi R alndnda bu fonksiyonun ters fonksiyonundan sz edilebilir.

f(x)=tanx iin tanm kmesi

Yukardaki ekle gre

dr.


Rnek 1 cos 2arctan

RNEK 1: cos(2Arctan ) =?

ZM:

cos(2Arctan ) ifadesinde Arctan ksmna a diyelim.

Tanm kmemiz olduundan ve tanjant olan say (a) bu arala girecek biimde dnldnden olur.

Bu deeri esas ifadede yerine koyduumuzda

olduunu grrz.


Rnek 24

RNEK 2:

ZM:

ifadesinde ve adn verirsek sorumuz cos(a+b) ekline gelir.

htiya duyulduunda trigonometrik oranlar bulmak iin;

cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb dir.


Tr gonometr

RNEK 3: Kural

olan fonksiyonun en geni tanm kmesi nedir?

ZM:

Verilen fonksiyonun tanml olabilmesi iin

olmaldr.

Tanm kmesi

olarak bulunur.


Tr gonometr

RNEK 4: Kural f(x)=5Arccos(4x-1)+3 olan fonksiyonun tersini bulunuz?

ZM:


  • Login