Tr gonometr
Download
1 / 100

TRİGONOMETRİ - PowerPoint PPT Presentation


  • 285 Views
  • Uploaded on

TRİGONOMETRİ. BİRİM ÇEMBER. Analitik düzlemde, merkezi başlangıç noktasında ve yarıçapı 1 birim uzunlukta olan çembere, birim çember denir ve denklemi. biçiminde yazılır.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' TRİGONOMETRİ' - elaine


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript


Analitik düzlemde, merkezi başlangıç noktasında ve yarıçapı 1 birim uzunlukta olan çembere, birim çember denir ve denklemi

biçiminde yazılır.

AOP açısı pozitif yönlü bir açıdır. AP yayı pozitif yönlü bir yaydır. POA açısı negatif yönlü bir açıdır. PA yayı negatif yönlü bir yaydır.


A lar l mede kullanaca m z l birimleri derece radyan ve grad olarak isimlendirilir
Açıları ölçmede kullanacağımız ölçü birimleri derece, radyan ve grad olarak isimlendirilir.

  • Derece: Bir çemberin çevresini 360 eş parçaya bölelim. Birbirine eş olan bu 360 yay parçasından herhangi birini gören merkez açının ölçüsüne bir derece denir ve (º) ile gösterilir.

    1º ‘nin 60’da birine 1 dakika denir ve (‘) simgesi ile gösterilir.

    1’ ‘nin 60’da birine 1 saniye denir ve (‘‘) simgesi ile gösterilir.


  • Grad: Bir tam çember yayını 400 eş parçaya böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.

  • Radyan: Bir çemberde, yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Öyleyse, bir çember yayının ölçüsü

radyandır.


A l birimlerinin birbirine d n t r lmesi
Açı Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüştürülmesi böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.

Bir çember yayının ölçüsü 360 derece veya 400 grad veya radyandır. O halde;

yazılabilir. Bu eşitlik

sadeleştirilirse;

elde edilir.


Rnek l s olan a y radyan ve grad t r nden yaz n z
Örnek: böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.Ölçüsü olan açıyı, radyan ve grad türünden yazınız.

Çözüm:


Rnek l s radyan olan a y derece ve grad t r nden yaz n z
Örnek: böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.Ölçüsü radyan olan açıyı, derece ve grad türünden yazınız.

Çözüm:


Tan m bir a n n l s 1 derece olarak verilmi se
Tanım: böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.Bir açının ölçüsü;1) Derece olarak verilmişse,

aralığındaki değere;

2) Radyan olarak verilmişse,

aralığındaki değere;

aralığındaki değere;

3) Grad olarak verilmişse,

o açının esas ölçüsü denir.


Rnek l s 3826 olan a n n esas l s n bulunuz
Örnek: böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.Ölçüsü 3826º olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

3826º = 226º + 10.360º olur.

O halde 3826º ’nin esas ölçüsü 226º ’dir.


Rnek l s 1324 olan a n n esas l s n bulunuz
Örnek: böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.Ölçüsü -1324º olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

-1324º = 116º + (-4).360º olur.

O halde -1324º ’nin esas ölçüsü 116º ’dir.


Rnek l s olan a n n esas l s n radyan cinsinden bulunuz
Örnek: böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.Ölçüsü olan açının esas ölçüsünü radyan cinsinden bulunuz.

Çözüm:

O halde ’in esas ölçüsü ’dir.


Rnek l s olan a n n esas l s n radyan cinsinden bulunuz1
Örnek: böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.Ölçüsü olan açının esas ölçüsünü radyan cinsinden bulunuz.

Çözüm:

O halde ’nın esas ölçüsü ’dır.


Rnek l s 500 grad olan a n n esas l s n grad cinsinden bulunuz
Örnek: böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.Ölçüsü 500 grad olan açının esas ölçüsünü grad cinsinden bulunuz.

Çözüm:

O halde 500G ’ın esas ölçüsü 100G ’dır.


TRİGONOMETRİK böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir. FONKSİYONLAR


D k gende tr gonometr k oranlar
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir.


Verilen bir birim çember üzerinde alınan P(x,y) noktası başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:


Buna g re
Buna göre, başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

[OP] doğrusu uzatılarak

birim çembere A

noktasından çizilen teğet

ile R(1,t) noktasında

kesişiyor.

tan θ=t ’dir.

biçiminde tanımlanır.


Olu an dik gen emberin d na ta nd nda
Oluşan dik üçgen, çemberin dışına taşındığında; başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

oranları elde edilir.


Bu oranlar incelendi inde
Bu oranlar incelendiğinde, başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

sonuçları elde edilir.


30 45 ve 60 nin trigonometrik oranlar
30 başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:º, 45º ve 60º’nin trigonometrik oranları

sonuçları elde edilir.


Örnek: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Verilen şekilde AB

değeri kaçtır?


Çözüm: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Trigonometrik oranları kullanmak için dik üçgen oluşturulduğunda

olur.


Bir trigonometrik oran verildi inde di erlerini bulmak

Bir trigonometrik oran verildiğinde diğerlerini bulmak başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Bir trigonometrik oran verildiğinde dik üçgen yardımı ile diğer trigonometrik oranlar bulunur.


Rnek 1
Örnek 1 başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

olduğuna göre diğer trigonometrik oranları bulunuz.


Z m oran ndan yola k larak bir dik gen izilir pisagor ba nt s kullan larak nc kenar bulunur
Çözüm: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir: oranından yola çıkılarak bir dik üçgen çizilir. Pisagor bağıntısı kullanılarak üçüncü kenar bulunur.


Tr gonometr k fonks yonlarin temel zell kler

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir: TEMEL ÖZELLİKLERİ


olur. başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

  • Bir sayı birim çember üzerindeki bir P noktasına eşleştirildiğinde tanıma göre

    P=(cosθ, sinθ)

    olduğu biliniyor.

  • Çemberin yarıçapı 1 olduğuna göre,

    P’nin apsis ya da ordinatının mutlak değeri en fazla 1’dir.

    O halde;


Birim çember üzerindeki P(x,y) noktasının başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

apsisi cos θ,

ordinatı sin θ olduğuna göre,

I, II, III, IV numaralı bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretleri,


Olur rne in cos 310 0 sin 310 0 tan 310 0 d r
olur. başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:Örneğin cos 310 > 0, sin 310 < 0, tan 310 < 0’ dır.


Esas l leri 180 180 360 olan a lar
Esas Ölçüleri başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:θ, 180-θ, 180+θ, 360-θOlan Açılar


Esas l leri 90 90 270 270 olan a lar
Esas Ölçüleri başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:θ, 90-θ, 90+θ, 270-θ, 270+θOlan Açılar

Üçgenlerin eşitliğinden K, L, M, N, noktalarının ordinatları (sinüsleri) P noktasının apsisine (kosinüsüne), apsisleri (kosinüsleri) ise P noktasının ordinatına (sinüsüne) mutlak değerce eşittir.


Bu bilgiden yola k larak

sin (90 başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:º-θ)=cos θ

cos (90º-θ)=sin θ

tan (90º-θ)=cot θ

sin (270º-θ)=-cos θ

cos (270º-θ)=-sin θ

tan (270º-θ)=cot θ

sin (90º+θ)=cos θ

cos (90º+θ)=-sin θ

tan (90º+θ)=-cot θ

sin (270º+θ)=-cos θ

cos (270º+θ)=sin θ

tan (270º+θ)=-cot θ

Bu bilgiden yola çıkılarak,


L ler negat f olan a ilar
ÖLÇÜLERİ NEGATİF OLAN AÇILAR başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

sin (-θ)=-sin θ

cos (-θ)=cos θ

tan (-θ)=-tan θ


Rnek 1 sin 150
ÖRNEK 1: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:sin 150º=?

ÇÖZÜM:

sin150º= sin (180º-30º)=sin30º=½

veya

sin 150º=sin (90º+60º)=cos60º=½


Rnek 2 cos 240
ÖRNEK 2: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:cos 240º = ?

ÇÖZÜM:

cos 240 º= cos (180 º+60 º)=-cos60 º=-½

veya

cos240 º=cos(270 º-30 º)=-sin30 º=-½


Rnek 3 tan 315
ÖRNEK 3: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:tan 315º = ?

ÇÖZÜM:

tan 315 º = tan (360 º-45 º) = -tan45 º = -1

veya

tan 315 º = tan (270 º+45 º) = -cot 45 º= -1


Rnek 4 sin 10 a ise cos 190 yi a cinsinden bulun
ÖRNEK 4: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:sin 10º = a ise cos 190º’yi a cinsinden bulun.

ÇÖZÜM:

cos 190º=cos(180º+10º)=-cos10º

10º için dik üçgen çizilirse;

-cos10º =-


Rnek 5 sin 840
ÖRNEK 5: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:sin(-840º)=?

ÇÖZÜM:

Önce - 840º’nin esas ölçüsü bulunur.

-840º=-3.360º+240º

Esas ölçü= 240º

Sin(240º)=sin (180º+60º)

=-sin60º

=


Rnek 6 sin 150
ÖRNEK 6: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:sin(-150º)=?

ÇÖZÜM:

sin(-150º)=-sin 150º

-sin(180º-30º)

=-sin30º

=-½


Herhang b r gende tr gonometr k ba intilar

HERHANGİ BİR ÜÇGENDE başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR


I s n s teorem
I) SİNÜS TEOREMİ başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Herhangi bir ABC üçgeninde üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R olsun.

‘dir.


Rnek 11
ÖRNEK 1: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Yanda verilen üçgende c kenarının uzunluğunu ve bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını bulun.

ÇÖZÜM:


Ii kos n s teorem
II) KOSİNÜS TEOREMİ başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Herhangi bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları arasında,

bağıntıları vardır.


Rnek 12
ÖRNEK başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir: 1:

Bir ABC üçgeninde a=4 b=3 c=6 ise kaçtır?

ÇÖZÜM:

16=9+36-2.3.6

=


Rnek 2
ÖRNEK 2: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

ÇÖZÜM:

Kenarları arasında bağıntısı olan

üçgenin açısının ölçüsü nedir?

Verilen bağıntı ‘dır. Kosinüs teoremine göre ‘dir.

O halde, olur.


Rnek 3
ÖRNEK 3: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

ÇÖZÜM:

ABD üçgeninde

DBC üçgeninde

Verilen şekilde x değerini bulun.


Iii herhangi bir gende alan form lleri
III) Herhangi Bir Üçgende Alan Formülleri başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:


Rnek 13
ÖRNEK 1: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Verilen şekilde

olduğuna göre

ÇÖZÜM:


Rnek 21
ÖRNEK 2: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Şekilde verilen ölçülere göre

kaç birim karedir?

ÇÖZÜM:

‘dir. DEC üçgeninde;


Tr gonometr k zde l kler

TRİGONOMETRİK başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:ÖZDEŞLİKLER


I toplam ve fark form ller
I)TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:


Ii yarim a i form ller
II) YARIM başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:AÇI FORMÜLLERİ


Rnek 1 sin 105
ÖRNEK 1: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:sin 105º=?

ÇÖZÜM:


Rnek 22
ÖRNEK 2: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

ÇÖZÜM:

olduğuna göre


Rnek 31
ÖRNEK 3: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

ÇÖZÜM:

olduğuna göre


Rnek 4 cos 15
ÖRNEK 4: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:cos²15º=?

ÇÖZÜM:

cos2x=2cos²x-1 olduğuna göre


Rnek 5 sin75 cos75
ÖRNEK 5: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:sin75.cos75=?

ÇÖZÜM:

sin2x=2sinxcosx olduğuna göre

sin75 º.cos75 º

=½sin150º

=½sin(180º-30º)

=½sin30 º

=½.½=¼


Rnek 6 sin15 cos15
ÖRNEK 6: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir: (sin15 º-cos15º)²=?

ÇÖZÜM:

(sin15 º-cos15º)²

= sin ²15º+cos ² 15º-2sin15ºcos15º

=1-sin30º

=1-½


Rnek 7 cos5 t ise cos40 cos50 t cinsinden nedir
ÖRNEK 7: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:cos5º=t ise cos40º.cos50ºt cinsinden nedir?

ÇÖZÜM:

cos50º=sin40º ve sinxcosx= ½ sin2x olduğu biliniyor.

cos40ºsin40º= ½ sin80º= ½ cos10º olur.

cos10º’yi hesaplamak için

cos2x=2cos ² x-1 özdeşliğini kullanırsak

cos10º=2cos ² 5º-1=2t ² -1 olur.

cos40º.cos50º= ½ [2t ² -1] sonucu elde edilir.


Rnek 8 ise sin2x
ÖRNEK 8: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:ise sin2x=?

ÇÖZÜM:

sin2x=2sinxcosx’dir.

x açısı için dik üçgen oluşturulduğunda ve

x’in 2. bölgede yer aldığı göz önüne alındığında (sinx>0, cosx<0)

sonucu elde edilir.


Rnek 9 ifadesinin sadele mi bi imi nedir
ÖRNEK 9: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?

ÇÖZÜM:


Rnek 10 ise cosx
ÖRNEK 10: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:ise cosx=?

bulunur.

Dik üçgen yardımı ile,

olur.


D n m form ller

DÖNÜŞÜM başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:FORMÜLLERİ


I arp m bi imindeki ifadeleri toplam bi iminde yazmak
I)Çarpım biçimindeki ifadeleri toplam biçiminde yazmak başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

cosxcosy=½[cos(x+y)+cos(x-y)]

sinxsiny=-½[cos(x+y)-cos(x-y)]

sinxcosy=½[sin(x+y)+sin(x-y)]


Rnek 1 sin75 cos15
ÖRNEK 1: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:sin75º.cos15º=?

ÇÖZÜM:


Rnek 23
ÖRNEK 2: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

ÇÖZÜM:


Ii toplam bi imindeki ifadeleri arp m bi iminde yazmak
II)Toplam biçimindeki ifadeleri çarpım biçiminde yazmak başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:


Rnek 1 ifadesinin sadele tirilmi bi imini bulun
ÖRNEK 1: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:ifadesinin sadeleştirilmiş biçimini bulun.

Dönüşüm formülleri uygulandığında


Rnek 2 ise ifadesinin de erini bulun
ÖRNEK 2: başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:ise ifadesinin değerini bulun.

ÇÖZÜM:

olduğuna göre

O halde,

O halde,

O halde,


Tr gonometr k denklemler

TRİGONOMETRİK başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:DENKLEMLER


I) sinx=a TÜRÜNDEKİ DENKLEMLER başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

Bu tür denklemlerin çözümleri bir örnekle açıklanacak olursa

sinx=½ örneği ele alındığında,

‘dır.

Ancak denklemi sağlayan başka

x değerlerinin var olduğu da

düşünülecek olursa,

çözümleri elde edilir.


O halde z m
O halde çözüm; başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

şeklindedir.


Genel z m
Genel çözüm, başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

biçiminde yazılır.


Rnek 1 denkleminin genel z m n bulun
ÖRNEK 1: denkleminin genel çözümünü bulun.

ÇÖZÜM:

GENEL ÇÖZÜM:


Rnek 2 sin5x cos2x denkleminin genel z m n bulun
ÖRNEK 2: bulun.sin5x=cos2x denkleminin genel çözümünü bulun.

ÇÖZÜM:

GENEL ÇÖZÜM:


Ii cosx a t r ndeki denklemler
II) cosx=a türündeki denklemler bulun.

Bu tür denklemlerin çözümleri bir örnekle açıklanacak olursa cosx=½ örneği ele alındığında


Ancak denklemi sağlayan başka x değerlerinin var olduğu düşünülecek olursa,

çözümleri elde edilir.

O halde çözüm,

şeklindedir.

GENEL ÇÖZÜM:

biçiminde yazılır.


Rnek 1 denkleminin genel z m n bulun1
ÖRNEK 1: denkleminin genel çözümünü bulun.

ÇÖZÜM:

GENEL ÇÖZÜM:


Rnek 2 denkleminin genel z m n bulun
ÖRNEK 2: denkleminin genel çözümünü bulun.

ÇÖZÜM:

GENEL ÇÖZÜM:


Iii tanx a t r ndeki denklemler
III) tanx=a türündeki denklemler çözümünü bulun.

Bu tür denklemlerin genel çözümleri

biçiminde yazılır.


Rnek 1 tan5x 1 denkleminin genel z m n bulun
ÖRNEK 1: çözümünü bulun.tan5x=-1 denkleminin genel çözümünü bulun.

ÇÖZÜM:

GENEL ÇÖZÜM:


Rnek 2 tan7x tan3x 1 denkleminin genel z m n bulun
ÖRNEK 2: çözümünü bulun.tan7x.tan3x=1 denkleminin genel çözümünü bulun.

ÇÖZÜM:

GENEL ÇÖZÜM:


Iv di er t rlerde denklemler
IV) Diğer türlerde denklemler çözümünü bulun.

ÖRNEK 1: denklemini çözünüz.

ÇÖZÜM:


Rnek 2 2sin x 5cosx 1 0 denkleminin genel z m n bulun
ÖRNEK 2: çözümünü bulun.2sin²x-5cosx+1=0 denkleminin genel çözümünü bulun.

ÇÖZÜM: Önce denklem aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden yazılır.

2(1-cos²x)-5cosx+1=0

2cos²x+5cosx-3=0

(2cosx-1)(cosx+3)

cosx=½ veya cosx=-3

cosx=-3 için çözüm yoktur çünkü;

cosx =½ için

Genel Çözüm:


Rnek 3 0 x olmak zere cos 2sinx 1 1 denkleminin z m k mesini bulun
ÖRNEK 3: çözümünü bulun.0<x<Лolmak üzere cos(2sinx-1)=1 denkleminin çözüm kümesini bulun.

Bu sorunun çözümünü şimdiye kadar öğrendiğiniz trigonometri bilgilerinden yola çıkarak siz bulabilirsiniz.



I. çözümünü bulun.


II. çözümünü bulun.


III. çözümünü bulun.



Bir f fonksiyonunun tersininde fonksiyon olabilmesi için hem örten hem de birebir olması gerekir.

sin: RR, xsinx örten değildir, birebir değildir.

cos: RR, xcosx örten değildir, birebir değildir.

sin: R[-1,1], xsinx örtendir, fakat birebir değildir.

cos: R[-1,1], xcosx örtendir, fakat birebir değildir.

Bu nedenle bunların ters fonksiyonları yoktur.


I. hem örten hem de birebir olması gerekir.

Ancak kuralı f(x)=sinx olan fonksiyonun birebir ve örten olabilmesi için tanım kümesi

, değerler kümesi [-1,1] alındığında bu fonksiyonun ters fonksiyonundan söz edilebilir.

Yukarıdaki şekle göre

dır.


II. hem örten hem de birebir olması gerekir.

, değerler kümesi [-1,1] alındığında bu fonksiyonun ters fonksiyonundan söz edilebilir.

f(x)=cosx için tanım kümesi

Yukarıdaki şekle göre

dır.


III. hem örten hem de birebir olması gerekir.

, değerler kümesi R alındığında bu fonksiyonun ters fonksiyonundan söz edilebilir.

f(x)=tanx için tanım kümesi

Yukarıdaki şekle göre

dır.


Rnek 1 cos 2arctan
ÖRNEK 1: hem örten hem de birebir olması gerekir.cos(2Arctan ) =?

ÇÖZÜM:

cos(2Arctan ) ifadesinde Arctan kısmına “a” diyelim.

Tanım kümemiz olduğundan ve tanjantı olan sayı (açı) bu aralığa girecek biçimde düşünüldüğünden olur.

Bu değeri esas ifadede yerine koyduğumuzda

olduğunu görürüz.


Rnek 24
ÖRNEK 2: hem örten hem de birebir olması gerekir.

ÇÖZÜM:

ifadesinde ve adını verirsek sorumuz cos(a+b) şekline gelir.

İhtiyaç duyulduğunda trigonometrik oranları bulmak için;

cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb ‘dir.


ÖRNEK 3: hem örten hem de birebir olması gerekir.Kuralı

olan fonksiyonun en geniş tanım kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

Verilen fonksiyonun tanımlı olabilmesi için

olmalıdır.

Tanım kümesi

olarak bulunur.


ÖRNEK 4: hem örten hem de birebir olması gerekir.Kuralı f(x)=5Arccos(4x-1)+3 olan fonksiyonun tersini bulunuz?

ÇÖZÜM:


ad