Tr gonometr
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 100

TRİGONOMETRİ PowerPoint PPT Presentation


  • 215 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

TRİGONOMETRİ. BİRİM ÇEMBER. Analitik düzlemde, merkezi başlangıç noktasında ve yarıçapı 1 birim uzunlukta olan çembere, birim çember denir ve denklemi. biçiminde yazılır.

Download Presentation

TRİGONOMETRİ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


TRGONOMETR


BRM EMBER


Analitik dzlemde, merkezi balang noktasnda ve yarap 1 birim uzunlukta olan embere, birim ember denir ve denklemi

biiminde yazlr.

AOP as pozitif ynl bir adr. AP yay pozitif ynl bir yaydr. POA as negatif ynl bir adr. PA yay negatif ynl bir yaydr.


Alar lmede kullanacamz l birimleri derece, radyan ve grad olarak isimlendirilir.

  • Derece: Bir emberin evresini 360 e paraya blelim. Birbirine e olan bu 360 yay parasndan herhangi birini gren merkez ann lsne bir derece denir ve () ile gsterilir.

    1 nin 60da birine 1 dakika denir ve () simgesi ile gsterilir.

    1 nin 60da birine 1 saniye denir ve () simgesi ile gsterilir.


  • Grad: Bir tam ember yayn 400 e paraya bldmzde her bir paray gren merkez ann lsne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gsterilir.

  • Radyan: Bir emberde, yarap uzunluundaki bir yay gren merkez ann lsne 1 radyan denir. yleyse, bir ember yaynn ls

radyandr.


A l Birimlerinin Birbirine Dntrlmesi

Bir ember yaynn ls 360 derece veya 400 grad veya radyandr. O halde;

yazlabilir. Bu eitlik

sadeletirilirse;

elde edilir.


rnek:ls olan ay, radyan ve grad trnden yaznz.

zm:


rnek:ls radyan olan ay, derece ve grad trnden yaznz.

zm:


Tanm: Bir ann ls;1) Derece olarak verilmise,

aralndaki deere;

2) Radyan olarak verilmise,

aralndaki deere;

aralndaki deere;

3) Grad olarak verilmise,

o ann esas ls denir.


rnek: ls 3826 olan ann esas lsn bulunuz.

zm:

3826 = 226 + 10.360 olur.

O halde 3826 nin esas ls 226 dir.


rnek: ls -1324 olan ann esas lsn bulunuz.

zm:

-1324 = 116 + (-4).360 olur.

O halde -1324 nin esas ls 116 dir.


rnek: ls olan ann esas lsn radyan cinsinden bulunuz.

zm:

O halde in esas ls dir.


rnek: ls olan ann esas lsn radyan cinsinden bulunuz.

zm:

O halde nn esas ls dr.


rnek: ls 500 grad olan ann esas lsn grad cinsinden bulunuz.

zm:

O halde 500G n esas ls 100G dr.


TRGONOMETRK FONKSYONLAR


DK GENDE TRGONOMETRK ORANLAR


Verilen bir birim ember zerinde alnan P(x,y) noktas balang noktas ile birletirildiinde pozitif x ekseni ile oluan as iin aadakiler sylenebilir:


Buna gre,

[OP] dorusu uzatlarak

birim embere A

noktasndan izilen teet

ile R(1,t) noktasnda

kesiiyor.

tan =t dir.

biiminde tanmlanr.


Oluan dik gen, emberin dna tandnda;

oranlar elde edilir.


Bu oranlar incelendiinde,

sonular elde edilir.


30, 45 ve 60nin trigonometrik oranlar

sonular elde edilir.


rnek:

Verilen ekilde AB

deeri katr?


zm:

Trigonometrik oranlar kullanmak iin dik gen oluturulduunda

olur.


Bir trigonometrik oran verildiinde dierlerini bulmak

Bir trigonometrik oran verildiinde dik gen yardm ile dier trigonometrik oranlar bulunur.


rnek 1

olduuna gre dier trigonometrik oranlar bulunuz.


zm: oranndan yola klarak bir dik gen izilir. Pisagor bants kullanlarak nc kenar bulunur.


TRGONOMETRK FONKSYONLARIN TEMEL ZELLKLER


olur.

  • Bir say birim ember zerindeki bir P noktasna eletirildiinde tanma gre

    P=(cos, sin)

    olduu biliniyor.

  • emberin yarap 1 olduuna gre,

    Pnin apsis ya da ordinatnn mutlak deeri en fazla 1dir.

    O halde;


Birim ember zerindeki P(x,y) noktasnn

apsisi cos ,

ordinat sin olduuna gre,

I, II, III, IV numaral blgelerde trigonometrik fonksiyonlarn iaretleri,


olur.rnein cos 310 > 0, sin 310 < 0, tan 310 < 0 dr.


Esas lleri , 180-, 180+, 360-Olan Alar


Esas lleri , 90-, 90+, 270-, 270+Olan Alar

genlerin eitliinden K, L, M, N, noktalarnn ordinatlar (sinsleri) P noktasnn apsisine (kosinsne), apsisleri (kosinsleri) ise P noktasnn ordinatna (sinsne) mutlak deerce eittir.


sin (90-)=cos

cos (90-)=sin

tan (90-)=cot

sin (270-)=-cos

cos (270-)=-sin

tan (270-)=cot

sin (90+)=cos

cos (90+)=-sin

tan (90+)=-cot

sin (270+)=-cos

cos (270+)=sin

tan (270+)=-cot

Bu bilgiden yola klarak,


LLER NEGATF OLAN AILAR

sin (-)=-sin

cos (-)=cos

tan (-)=-tan


RNEK 1: sin 150=?

ZM:

sin150= sin (180-30)=sin30=

veya

sin 150=sin (90+60)=cos60=


RNEK 2: cos 240 = ?

ZM:

cos 240 = cos (180 +60 )=-cos60 =-

veya

cos240 =cos(270 -30 )=-sin30 =-


RNEK 3: tan 315 = ?

ZM:

tan 315 = tan (360 -45 ) = -tan45 = -1

veya

tan 315 = tan (270 +45 ) = -cot 45 = -1


RNEK 4: sin 10 = a ise cos 190yi a cinsinden bulun.

ZM:

cos 190=cos(180+10)=-cos10

10 iin dik gen izilirse;

-cos10 =-


RNEK 5: sin(-840)=?

ZM:

nce - 840nin esas ls bulunur.

-840=-3.360+240

Esas l= 240

Sin(240)=sin (180+60)

=-sin60

=


RNEK 6:sin(-150)=?

ZM:

sin(-150)=-sin 150

-sin(180-30)

=-sin30

=-


HERHANG BR GENDETRGONOMETRK BAINTILAR


I) SNS TEOREM

Herhangi bir ABC geninde genin evrel emberinin yarap R olsun.

dir.


RNEK 1:

Yanda verilen gende c kenarnn uzunluunu ve bu genin evrel emberinin yarapn bulun.

ZM:


II) KOSNS TEOREM

Herhangi bir ABC geninin kenar uzunluklar arasnda,

bantlar vardr.


RNEK 1:

Bir ABC geninde a=4 b=3 c=6 ise katr?

ZM:

16=9+36-2.3.6

=


RNEK 2:

ZM:

Kenarlar arasnda bants olan

genin asnn ls nedir?

Verilen bant dr. Kosins teoremine gre dir.

O halde, olur.


RNEK 3:

ZM:

ABD geninde

DBC geninde

Verilen ekilde x deerini bulun.


III) Herhangi Bir gende Alan Formlleri


RNEK 1:

Verilen ekilde

olduuna gre

ZM:


RNEK 2:

ekilde verilen llere gre

ka birim karedir?

ZM:

dir. DEC geninde;


TRGONOMETRK ZDELKLER


I)TOPLAM VE FARK FORMLLER


II) YARIM AI FORMLLER


RNEK 1:sin 105=?

ZM:


RNEK 2:

ZM:

olduuna gre


RNEK 3:

ZM:

olduuna gre


RNEK 4: cos15=?

ZM:

cos2x=2cosx-1 olduuna gre


RNEK 5: sin75.cos75=?

ZM:

sin2x=2sinxcosx olduuna gre

sin75 .cos75

=sin150

=sin(180-30)

=sin30

=.=


RNEK 6: (sin15 -cos15)=?

ZM:

(sin15 -cos15)

= sin 15+cos 15-2sin15cos15

=1-sin30

=1-

=


RNEK 7: cos5=t ise cos40.cos50t cinsinden nedir?

ZM:

cos50=sin40 ve sinxcosx= sin2x olduu biliniyor.

cos40sin40= sin80= cos10 olur.

cos10yi hesaplamak iin

cos2x=2cos x-1 zdeliini kullanrsak

cos10=2cos 5-1=2t -1 olur.

cos40.cos50= [2t -1] sonucu elde edilir.


RNEK 8: ise sin2x=?

ZM:

sin2x=2sinxcosxdir.

x as iin dik gen oluturulduunda ve

xin 2. blgede yer ald gz nne alndnda (sinx>0, cosx<0)

sonucu elde edilir.


RNEK 9: ifadesinin sadelemi biimi nedir?

ZM:


RNEK 10:ise cosx=?

bulunur.

Dik gen yardm ile,

olur.


DNM FORMLLER


I)arpm biimindeki ifadeleri toplam biiminde yazmak

cosxcosy=[cos(x+y)+cos(x-y)]

sinxsiny=-[cos(x+y)-cos(x-y)]

sinxcosy=[sin(x+y)+sin(x-y)]


RNEK 1: sin75.cos15=?

ZM:


RNEK 2:

ZM:


II)Toplam biimindeki ifadeleri arpm biiminde yazmak


RNEK 1: ifadesinin sadeletirilmi biimini bulun.

Dnm formlleri uygulandnda


RNEK 2: ise ifadesinin deerini bulun.

ZM:

olduuna gre

O halde,

O halde,

O halde,


TRGONOMETRK DENKLEMLER


I) sinx=a TRNDEK DENKLEMLER

Bu tr denklemlerin zmleri bir rnekle aklanacak olursa

sinx= rnei ele alndnda,

dr.

Ancak denklemi salayan baka

x deerlerinin var olduu da

dnlecek olursa,

zmleri elde edilir.


O halde zm;

eklindedir.


Genel zm,

biiminde yazlr.


RNEK 1: denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


RNEK 2: sin5x=cos2x denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


II) cosx=a trndeki denklemler

Bu tr denklemlerin zmleri bir rnekle aklanacak olursa cosx= rnei ele alndnda


Ancak denklemi salayan baka x deerlerinin var olduu dnlecek olursa,

zmleri elde edilir.

O halde zm,

eklindedir.

GENEL ZM:

biiminde yazlr.


RNEK 1: denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


RNEK 2: denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


III) tanx=a trndeki denklemler

Bu tr denklemlerin genel zmleri

biiminde yazlr.


RNEK 1: tan5x=-1 denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


RNEK 2: tan7x.tan3x=1 denkleminin genel zmn bulun.

ZM:

GENEL ZM:


IV) Dier trlerde denklemler

RNEK 1: denklemini znz.

ZM:


RNEK 2: 2sinx-5cosx+1=0 denkleminin genel zmn bulun.

ZM: nce denklem ayn trigonometrik fonksiyon cinsinden yazlr.

2(1-cosx)-5cosx+1=0

2cosx+5cosx-3=0

(2cosx-1)(cosx+3)

cosx= veya cosx=-3

cosx=-3 iin zm yoktur nk;

cosx = iin

Genel zm:


RNEK 3:0<x<olmak zere cos(2sinx-1)=1 denkleminin zm kmesini bulun.

Bu sorunun zmn imdiye kadar rendiiniz trigonometri bilgilerinden yola karak siz bulabilirsiniz.


TRGONOMETRK FONKSYONLARIN GRAFKLER


I.


II.


III.


TERS TRGONOMETRK FONKSYONLAR


Bir f fonksiyonunun tersininde fonksiyon olabilmesi iin hem rten hem de birebir olmas gerekir.

sin: RR, xsinx rten deildir, birebir deildir.

cos: RR, xcosx rten deildir, birebir deildir.

sin: R[-1,1], xsinx rtendir, fakat birebir deildir.

cos: R[-1,1], xcosx rtendir, fakat birebir deildir.

Bu nedenle bunlarn ters fonksiyonlar yoktur.


I.

Ancak kural f(x)=sinx olan fonksiyonun birebir ve rten olabilmesi iin tanm kmesi

, deerler kmesi [-1,1] alndnda bu fonksiyonun ters fonksiyonundan sz edilebilir.

Yukardaki ekle gre

dr.


II.

, deerler kmesi [-1,1] alndnda bu fonksiyonun ters fonksiyonundan sz edilebilir.

f(x)=cosx iin tanm kmesi

Yukardaki ekle gre

dr.


III.

, deerler kmesi R alndnda bu fonksiyonun ters fonksiyonundan sz edilebilir.

f(x)=tanx iin tanm kmesi

Yukardaki ekle gre

dr.


RNEK 1: cos(2Arctan ) =?

ZM:

cos(2Arctan ) ifadesinde Arctan ksmna a diyelim.

Tanm kmemiz olduundan ve tanjant olan say (a) bu arala girecek biimde dnldnden olur.

Bu deeri esas ifadede yerine koyduumuzda

olduunu grrz.


RNEK 2:

ZM:

ifadesinde ve adn verirsek sorumuz cos(a+b) ekline gelir.

htiya duyulduunda trigonometrik oranlar bulmak iin;

cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb dir.


RNEK 3: Kural

olan fonksiyonun en geni tanm kmesi nedir?

ZM:

Verilen fonksiyonun tanml olabilmesi iin

olmaldr.

Tanm kmesi

olarak bulunur.


RNEK 4: Kural f(x)=5Arccos(4x-1)+3 olan fonksiyonun tersini bulunuz?

ZM:


  • Login