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Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia. Estatística. Aula 15. Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues. Aula 15. Distribuição Binomial. Distribuição Binomial.

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Estatística

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Presentation Transcript


Estat stica

Universidade Federal de Alagoas

Centro de Tecnologia

Estatística

Aula 15

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaboradopelos Prof. Wayne Santos de Assis e ChristianoCantarelliRodrigues


Estat stica

Aula 15

  • Distribuição Binomial


Estat stica

Distribuição Binomial

Introdução

Até o momento vimos:

O que é um experimento aleatório e a função variável aleatória

Variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas

f(x)  função de probabilidade para v.a. discretas e função de densidade de probabilidade para v.a. contínuas

A partir delas podemos construir a distribuição de probabilidade e a função f(x) = P(X=x)

A partir de agora vamos estudar distribuições de probabilidade consagradas

Vimos o que é esperança matemática e variância para distribuições discretas


Estat stica

Distribuição Binomial

Introdução

Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?

Solução:

Temos 4 tentativas, independentes uma da outra

A probabilidade de acertar uma questão (probabilidade de sucesso) é

A probabilidade de não acertar uma questão qualquer (probabilidade de falha) é q = 1 – p = 0,80

Estas probabilidades permanecem constantes a cada questão (tentativa ou prova)


Estat stica

Distribuição Binomial

Introdução

Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?

Solução:

Chamando de x o número de sucessos (acertos de questões):

P (X = 3) = 0,20.0,20.0,20.0,80 = 0,23.0,8 = 0,0064 ou 0,64%

Esta resposta está errada!

Não existe somente uma maneira de alguém acertar 3 questões!


Estat stica

Distribuição Binomial

Introdução

Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?

Solução:

Q1

Q2

Q3

Q4

 P1 (X = 3) = 0,0064

C

E

E

E

 P2 (X = 3) = 0,0064

E

C

E

E

 P3 (X = 3) = 0,0064

E

E

C

E

 P4 (X = 3) = 0,0064

E

E

E

C

P (X = 3) = 4 . 0,0064 = 0,0256

Existem 4 maneiras!


Estat stica

Distribuição Binomial

Introdução

Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?

Solução:

O número total de permutações (arranjos) é 4

 número total de arranjos de n itens quando x deles são idênticos entre si

Para nosso caso


Estat stica

Distribuição Binomial

Introdução

Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?

Solução:

Caso típico de experimento aleatório binomial

A fórmula da distribuição de probabilidade binomial é uma combinação da regra da multiplicação da probabilidade (eventos independentes) com a regra da contagem de arranjos de n itens quando x deles são idênticos entre si


Estat stica

Distribuição Binomial

É a mais famosa distribuição de probabilidade de v.a.

Discreta  responde à pergunta:

qual a probabilidade de haver x sucessos em n tentativas em um experimento aleatório? com: (a) número fixo de provas ou tentativas n; (b) provas que são independentes; (c) Cada prova deve ter todos os resultados classificados em 2 categorias (cara ou coroa, candidato A ou candidato B, marca A ou marca B, chuva ou não, ........) (d) as probabilidades de sucesso (p) ou falha (q = 1 - p) devem permanecer constantes para cada prova.


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Distribuição Binomial

Exemplo: Se 10% dos alunos são canhotos, qual a probabilidade de se obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes?

No de tentativas fixo = 15

Resultados classificados em 2 categorias = canhoto ou destro

p = 0,10 e q = 0,90


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Distribuição Binomial

Outrosexemplos

  • Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = no de caras obtidas

  • Um tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X = no de peças defeituosas nas próximas 25 peças produzidas

  • Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara particular. Seja X = no de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 amostras analisadas

  • De todos os bits transmitidos através de um canal digital de transmissão, 10% são recebidos com erros. Seja X = no de bits com erro nos próximos 5 bits transmitidos

  • Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = no de nascimentos de meninas

  • Sabe-se que há a probabilidade de vazões médias diárias máximas anuais serem maiores que 1.000 m3/s é de 1%. Seja X = no de vezes em que este valor é superado nos próximos 10 anos


Estat stica

Distribuição Binomial

  • Em um experimento binomial, a variável aleatória X,

    que é igual ao número de tentativas que resultam em

    um sucesso, tem uma distribuição binomial com

    parâmetros p e n = 1, 2, 3, …

  • A função de probabilidade de X é:

p =probabilidade de sucesso em cada tentativa

n = número de tentativas

f(x) = probabilidade de x sucessos em n tentativas


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Distribuição Binomial

onde representa o número de combinações de n

objetos tomados x de cada vez, calculado como:


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Distribuição Binomial

Exemplo

  • Suponha que 30% dos clientes de uma empresa de aviação civil têm por destino o exterior. Se sortearmos 10 clientes ao acaso, qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando para o exterior?

Portanto, a chance de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando ao exterior é de aproximadamente 20%.


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Distribuição Binomial

Exemplo

  • Um produto eletrônico possui 42 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito integrado seja defeituoso é de 0,02. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de que o produto opere?

Se X designar os circuitos defeituosos, é necessário que X = x =0 para

que o produto opere. Daí, p = 0,02, com n = 42.


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Distribuição Binomial

Exemplo

  • Se historicamente a ocorrência de produtos defeituosos de

    um processo é p = 0,10, qual é a probabilidade de encontrar

    um produto defeituoso em uma amostra de tamanho n = 15?


Estat stica

Considerando uma amostra constituída por 10 pessoas

observadas ao acaso, qual a probabilidade de a maioria das pessoas ser favorável ao governo?

Distribuição Binomial

Exemplo


Estat stica

f(x)

Distribuição Binomial

Exemplo

Temos um experimento binomial, para o qual n =10 e p = 0,7, admitindo-se que X é a v.a. associada ao número de pessoas favoráveis ao governo

P(X > 5) = 0,8497

P(X > 5) = f(6) + f(7) + f(8) + f(9) + f(10)


Estat stica

Distribuição Binomial

Esperança

Variância

Desvio padrão

Parâmetros da Distribuição Binomial: n, p.


Estat stica

Distribuição Binomial

Demonstração

Consideremos a v.a. de Bernoulli X, definida como

Então,


Estat stica

Distribuição Binomial

Demonstração

Considerando os valores x1, x2, …, xn , referentes às n provas independentes:

Como as provas são independentes, a variância de X é a soma das variâncias individuais. Logo:


Estat stica

Distribuição Binomial

Simulações – Distribuição binomial


Estat stica

Distribuição Binomial

Simulações – Distribuição binomial


Estat stica

Distribuição Binomial

Simulações – Distribuição binomial


Estat stica

n=30, p=0,50

n=30, p=0,25

n=30, p=0,75

Distribuição Binomial

  • Vê-se que:

    Para p = 0,5, a forma da distribuição é simétrica

    Para p ≠ 0,5, a distribuição é assimétrica


Estat stica

Distribuição Binomial

Exemplo

Fez-se a contagem de E. Coliem 10 amostras de água. As contagens positivas, expressas em centenas de organismos por 100 ml de água (102/100ml), são 17, 21, 25, 23, 17, 26, 24, 19, 21 e 17, com média e a variância amostrais iguais a 21 e 10,6 respectivamente.

Suponha que N represente o número total dos diferentes organismos presentes em cada amostra (número de ‘tentativas’) e que p represente a fração correspondente ao organismo E. Coli (probabilidade de ‘sucesso’).

Se X denota o número de E. Coli (102/100ml) em cada amostra, estimar P(X = 20).

(adap. de Kottegoda e Rosso, 1997).

Solução: No caso presente, não conhecemos os verdadeiros valores numéricos da média e da variância populacionais. Entretanto, podemos estimá-los pelos valores amostrais de média e desvio padrão


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