Piezīmes par kategoriju teorijas elementiem

1. Piezīmes par kategoriju teorijas elementiem K.Podnieks, 2004, jūlijs-septembris

2. Avots I Category theory for beginners http://www.cs.toronto.edu/~sme/presentations/cat101.pdf By Steve Easterbrook http://www.cs.toronto.edu/~sme/

3. Avots II A Categorical Manifesto http://www.cs.ucsd.edu/users/goguen/pps/manif.ps By Joseph Goguen http://www.cs.ucsd.edu/users/goguen/

4. Vēsture Categories, functors and natural transformations were introduced by Eilenberg and Mac Lane in 1945. Initially, the notions were applied in topology, especially algebraic topology, later also in homological algebra and algebraic geometry.

5. Kopu kategorijas I • Objekti – patvaļīgas kopas, morfismi – dažādas funkciju vai relāciju klases. • Kategorija Set. Visur definētas funkcijas: (A, f, B), f: A->B, dom(f)=A, cod(f)=B, bet f vērtību apgabals var būt tikai daļa no B. 1A – identisks A attēlojums uz sevi. Izomorfismi – bijekcijas (savstarpēji viennozīmīgi attēlojumi “uz”). Funkcija ar tukšu dom – likumīga! • 2) Daļēji definētas funkcijas: (A, f, B), f definīcijas apgabals var būt tikai daļa no A. 1A un izomorfismi – tie paši, kas kategorijai Set.

6. Kopu kategorijas II 3) Daļēji definētas injekcijas: (A, f, B), x nav y -> f(x) nav f(y), 1A un izomorfismi – tie paši, kas kategorijai Set. 4) Visur definētas injekcijas: (A, f, B), 1A un izomorfismi – tie paši, kas kategorijai Set. 5) Daļēji definētas surjekcijas: (A, f, B), f vērtību apgabals ir visa kopa B, 1A un izomorfismi – tie paši, kas kategorijai Set. 6) Visur definētas surjekcijas: (A, f, B), 1A un izomorfismi – tie paši, kas kategorijai Set.

7. Kopu kategorijas III 7) Kategorija Rel. Morfismi - patvaļīgas relācijas: (A, R, B), R<=AxB, relāciju (A, R, B) un (B, S, C) kompozīcija: S;R = { <x,y> | x in A & y in C & (Ez in B) (<x,z> in R & <z,y> in S)}. 1A un izomorfismi – tie paši, kas kategorijai Set. 8) Kategorija Setop – kategorijas Set duālā kategorija. Morfismi – visur definētu funkciju inversijas, (A, R, B), daļu no kopas A pārveido par visu kopu B. Es tos sauktu – refinements (modelēšanā pazīstams jēdziens). 1A un izomorfismi – tie paši, kas kategorijai Set.

8. Grafu kategorija Objekti – patvaļīgi orientēti grafi, G = (N, E, source, target). Morfisms G->G’, G’ = (N’, E’, source’, target’) sastāv no divām funkcijām f1: N->N’ un f2: E->E’, kurām jābūt saskaņotām: katrai šķautnei e no E: source’(f2(e)) = f1(source(e)), target’(f2(e)) = f1(target(e)). To var attēlot kā “komutatīvu diagrammu”. Tas ir kategoriju teorijas populārākais termins. Pie tā jāpierod. Kā te izpaužas struktūras saglabāšana? 1G – abas funkcijas ir identiskie attēlojumi. Ikvienam grafam eksistē morfisms uz jebkuru grafu, kurā vienai virsotnei ir cilpa. Izomorfismi – tradicionālais grafu izomorfisma jēdziens. Būtībā jebkura kategorija ir (bez- vai galīgs) grafs!

9. Sakārtojumi kā kategorijas • Jebkuras kategorijas objektiem var ievest (ne-stingru) daļēju sakārtojumu: x<=y definē kā morfisma m eksistenci m: x->y. Identitātes nodrošina refleksivitāti. Asociativitāte nodrošina tranzitivitāti. • Jebkurš (ne-stingrs) daļējs sakārtojums (P, <=) veido kategoriju, kur no x uz y ved tieši viens morfisms ttt, ja x<=y. Refleksivitāte nodrošina identitātes. Tranzitivitāte nodrošina asociativitāti.

10. Morfismu veidi • Kā patvaļīgā kategorijā definēt injekcijas? T.i. ja x nav y, tad f(x) nav f(y). Jeb: f(x)=f(y) -> x=y. Ideja: kā injekcija i: B->C “izturas” pret citām funkcijām? Ja f, g: A->B ir divas dažādas funkcijas, tad i;f nebūs vienāda ar i;g. Tiešām, Ax i(f(x))=i(g(x)) -> Ax f(x)=g(x). • Tā rodas monomorfisma (jeb moniskās bultas)definīcija: i: B->C ir monomorfisms, ja jebkuriem diviem morfismiem f, g: A->B, i;f=i;g -> f=g. Vai tā ir adekvāta definīcija? • T: Jebkurš izomorfisms ir mono- un epi- (bet ne otrādi). • 2) Līdzīgi definē epimorfismus (episkās bultas): j: A->B ir epimorfisms, ja jebkuriem diviem morfismiem f, g: B->C, f;j=g;j -> f=g. Tas ir surjekcijas analogs. Tiešām, ja rng(j)=B, tad no Ax f(j(x))=g(j(x)) seko Ax f(x)=g(x).

11. Apakšobjekti Intuīcija: kāda struktūra S ir citas struktūras S’ apakšstruktūra, ja eksistē struktūru saglabājoša injekcija no S un S’ (piemēri: apakškopas, apakšgrafi). Tāpēc varam uzskatīt, ka jebkurā kategorijās katrs monomorfisms f: X->A “norāda” uz kādu objekta A apakšstruktūru. Pilnā apakškategorija – izdalām no dotās kategorijas K objektu apakškopu, un ņemam tai klāt visus K morfismus, kas savieno apakškopas objektus. (Rezultāts ir kategorija!)

12. Iniciālie objekti “eksistē unikāls morfisms” - kategoriju teorijas svarīgākā konstrukcija!!! Sakārtojumā dažreiz var būt minimālie un maksimālie elementi: Ax o<=x (o ir minimāls), Ax x<=O (O ir maksimāls). Iniciāls objekts o kategorijā K: jebkuram K objektam A eksistē unikāls morfisms f: o->A. Tās ir dotās kategorijas “minimālās struktūras” (ja tādas eksistē), ko var “ielikt” citās struktūrās tikai vienā veidā! Kategorijā Set iniciālais objekts ir tukšā kopa T: Visi kategorijas iniciālie objekti ir izomorfi.

13. Terminālie objekti Termināls objekts O kategorijā K: jebkuram K objektam A eksistē unikāls morfisms f: A->O. Tās ir dotās kategorijas “maksimālās struktūras” (ja tādas eksistē), kurās var “ielikt” katru citu struktūru, un tikai vienā veidā! Kategorijā Set terminālie objekti – visas kopas, kas sastāv no viena elementa. T: Visi kategorijas terminālie objekti ir izomorfi.

14. Vienādotājs I (Equalizer – A.Z.) Kopu kategorijā funkciju f, g: A->B vienādotājs ir A apakškopa {x | x in A & f(x)=g(x)}. Kā šo jēdzienu var nodefinēt patvaļīgā kategorijā? Tas varētu būt objekts C un morfisms i: C->A tāds, ka f;i=g;i: C-----i----->A------f------>B ------g-----> Bet vēl vajadzētu, lai (C, i) būtu “maksimālais” pāris ar šo īpašību. “Konkurents” būtu cits pāris (C1, i1) ar šo pašu īpašību: f;i1=g;i1: C-----i----->A------f------>B C1----i1---> ------g-----> Aplūkosim visu šo C, C1 utt. pilno apakškategoriju.

15. Vienādotājs II Un ņemsim tajā “maksimālo”, t.i. terminālo elementu C (ja tāds eksistē) un pāri (C, i) tad arī sauksim par f un g vienādotāju? Citiem vārdiem: katram “konkurentam” (C1, i1) eksistē unikāls morfisms k: C1->C. Papildus vēl jāprasa, lai i1 būtu iegūstams no i, t.i. lai i1=i;k. (Easterbrook šo lietu pārāk vienkāršo!) Definīcija. (C, i) ir f,g:A->B vienādotājs, ja i:C->A, f;i=g;i, un jebkuram i1:C1->A, ja f;i1=g;i1, tad (E!k:C1->C) i1=i;k.

16. Vienādotājs III Kopu kategorijā Set: C-----i----->A------f------>B C1---i1-----> ------g-----> C={x | x in A & f(x)=g(x)} kopā ar funkciju i(x)=x ir vienādotājs. Tiešām, ja (Ax in C1) f(i1(x))=g(i1(x)), tad (Ax in C1) i1(x) in C, t.i. i1=i;k, kur k ir i1 sašaurinājums uz C1->C. Vienīgums: ja ir vēl kāda k1: C1->C tāda ka i1=i;k1, tad (Ax in C1) k1(x)=i1(x), t.i. k1=k. T: Jebkurā kategorijā, a) ja (C, i) ir vienādotājs, tad i ir monomorfisms, b) ja i1: C1->A un i2: C2->A ir divi f un g vienādotāji, tad objekti C1 un C2 ir izomorfi.

17. Ko-vienādotājs I Uzdevums: kas ir ko-vienādotājs?A------f------>B----i----->C ------g-----> ---- i1--->C1 Definīcija. (C, i) ir f,g:A->B ko-vienādotājs, ja i:B->C, i;f=i;g, un jebkuram i1:B->C1, ja i1;f=i1;g, tad (E!k:C->C1) i1=k;i. T: Jebkurā kategorijā, a) ja (C, i) ir ko-vienādotājs, tad i ir epimorfisms, b) ja i1: C1->A un i2: C2->A ir divi f un g ko-vienādotāji, tad objekti C1 un C2 ir izomorfi.

18. Ko-vienādotājs II Kas ir ko-vienādotājs kopu kategorijā Set? Wikipaedia: In the category of sets, the coequalizer of two functions f, g : X → Y is the quotient of Y by the equivalence relation generated by the relations f(x) = g(x) for all x in X. In particular, if R is an equivalence relation on a set Y, and r1,2 are the natural projections (R ⊂ Y × Y) → Y then the coequalizer of r1 and r2 is the quotient set Y/R.

19. Pullback (atvilcējs) Sk. Easterbrook bildi 24.slaidā. Tas ir vienādotāja vispārinājums: ja doti divi morfismi f: A->C un g: B->C (kopīgs beigu objekts, bet sākuma objekti var būt dažādi), tad atvilcējs ir (D, d1, d2), kur d1: D->A, d2: D->B, f;d1=g;d2: D->A, un katram “konkurentam” (D’, d1’, d2’), ja f;d1’=g;d2’, tad eksistē unikāls morfisms d’: D’->D tāds, ka d1’=d1;d’ un d2’=d2;d’. D-----d1----->A------f------>C -----d2----->B------g----->

20. Atvilcējs II Sk. Easterbrook bildi 24.slaidā. Kopu kategorijā f: B->A un g: C->A atvilcējs ir (D, p, q), kur: D={<x,y> | x in B & y in C & f(x)=g(y)} p(<x,y>)=x, q(<x,y>)=y. Ja A={a}, tad f un g abas ir konstantas un vienādas ar a, bet D=BxC (Dekarta reizinājums). Tāpēc morfismu f: B->A un g: C->A atvilcēja objektu D dažreiz apzīmē ar BxAC.

21. Pushout (izspiedējs) Sk. Easterbrook bildi 24.slaidā un piemēru 27.slaidā. Tas ir atvilcēja duālais jēdziens: ja doti divi morfismi f: A->B un g: A->C (kopīgs sākuma objekts, bet beigu objekti var būt dažādi), tad izspiedējs ir (d1, d2, D), kur d1: B->D, d2: C->D, d1;f=d2;g: A->D, un katram “konkurentam” (d1’, d2’, D’), ja d1’;f=d2’;g, tad eksistē unikāls morfisms d’: D->D’ tāds, ka d1’=d’;d1 un d2’=d’;d2. A------f------>B-----d1----->D ------g----->C-----d2----->

22. Produkts Sk. Easterbrook bildi 25.slaidā un piemērus 26.slaidā. Tā ir Dekarta reizinājuma definīcija patvaļīgai kategorijai: ja dota objektu kopa {Ai | i in I}, tad šīs kopas produkts ir objekts P un morfismu kopa {gi: P->Ai | i in I} (tos sauc par projekcijām) tādi, ka jebkuram “konkurentam” P1 un {hi: P1->Ai | i in I} eksistē unikāls morfisms k: P1->P tāds, ka visiem i, hi=gi;k. Wikipedia: Essentially, the product of a family of objects is the "most general" object which admits a morphism to each of the given objects.

23. Produkts II Produkts ne vienmēr eksistē, bet ja tas eksistē, tad tas ir unikāls šādā nozīmē: ja objektu kopai {Ai | i in I} ir divi produkti P, {gi: P->Ai | i in I} un P’, {g’i: P’->Ai | i in I}, tad eksistē unikāls izomorfisms k: P’->P tāds ka visiem i, g’i=gi;k. Tukšas objektu kopas produkts ir kategorijas terminālais objekts. Kopu kategorijā produkts tiešām ir Dekarta reizinājums plus attiecīgās projekcijas.

24. Ko-produkts Sk. Easterbrook bildi 25.slaidā un piemērus 27.slaidā. Tukšas objektu kopas ko-produkts ir kategorijas iniciālais objekts. Kopu kategorijā ko-produkts ir disjoint union plus attiecīgās inklūzijas (t.i. ko-produkts eksistē tikai kopām, kuras nešķeļas).

25. Limiti Sk. Easterbrook bildes 28.slaidā. Limita spec-gadījumi Produkts – limits objektu kopai bez morfismiem. Atvilcējs – limits diviem morfismiem ar kopīgu beigu galu. Vienādotājs – limits diviem morfismiem ar kopīgiem sākuma un beigu galu. Terminālais objekts – limits tukšai objektu kopai. Vispārīgais gadījums: limits jebkurai diagrammai (t.i. kategorijas objektu un morfismu apakškopai).

26. Ko-limiti Ko-limita spec-gadījumi Ko-produkts – ko-limits objektu kopai bez morfismiem. Izspiedējs – ko-limits diviem morfismiem ar kopīgu sākuma galu. Ko-vienādotājs – ko-limits diviem morfismiem ar kopīgiem sākuma un beigu galiem. Iniciālais objekts – ko-limits tukšai objektu kopai. Wikipedia: As for every universal property, this definition describes a balanced state of generality: The limit object L has to be general enough to allow any other cone to factor through it; on the other hand, L has to be sufficiently specific, so that only one such factorization is possible for every cone.

27. Pilnība un ko-pilnība Sk. Easterbrook bildes 29.slaidu. T: Ja kategorijā eksistē termināls objekts un visi atvilcēji, tad tajā eksistē visi galīgie limiti. T: Ja kategorijā eksistē iniciāls objekts un visi izspiedēji, tad tajā eksistē visi galīgie ko-limiti.

28. Kategoriju teorijas lietojumi datorzinātnē Šodien aplūkosim tikai vienu piemēru: izmantojot kategoriju teorijas terminoloģiju, nodefinēsim ļoti vispārīgu jēdzienu par database transformation framework (datu bāzu transformāciju karkass). Otrs lietojums ir formālo specifikāciju nozarē (sk. Easterbrook slaidus). Par to labāk varētu pastāstīt Kārlis Čerāns.

29. Datu bāzes – signatūras Piemērs (visi dati – tikai STRING tipa) – SQL datu bāze, kas satāv no 2 tabulām: Fakultate(kods, nosaukums) Students(kods, fak-kods, vards, uzvards, dz-gads) Tā ir datu bāzes signatūra (“strukturāls karkass”). Ir skaidrs, ko nozīmē “visas iespējamās datu bāzes” šajā signatūrā.

30. Datu bāzes - ierobežojumi Vēl te ir vajadzīgs ierobežojums (constraint): s: Students; f: Fakultate; AsEf (s.fak-kods=f.kods). Ierobežojumus pieraksta kādā noteiktā valodā, kas balstās uz signatūru. Tad ir skaidrs, ko nozīmē jēdziens “visi iespējamie ierobežojumi” šajā signatūrā. Dažas datu bāzes šajā signatūrā apmierina (satisfy) šo ierobežojumu, citas – neapmierina. Datu bāzes shēma = signatūra + ierobežojumu kopa. Jēdziens “datu bāze atbilst shēmai”.

31. Datu bāzes - transformācijas Pirmkārt, var transformēt signatūras, piemēram, no Fakultate(kods, nosaukums) Students(kods, fak-kods, vards, uzvards, dz-gads) izveidot: Fak(numurs, nosaukums) Stud(numurs, fak-numurs, vards, uzvards) Bet galamērķis ir datu bāzu (t.i. pašu datu) transformācija. Tikko minētājai signatūru transformācijai dabiski atbilst viegli saprotama datu bāzu transformācija, kas katru pirmās signatūras db pārveido par otrās signatūras db (mainās tikai lauku vārdi un pazūd lauks dz-gads).

32. Alagic, Bernstein, Goguen Alagic un Bernstein rakstā A model theory for generic model management (2001) visi augšminētie jēdzieni ir ļoti tālu vispārināti, izmantojot kategoriju teorijas terminoloģiju. Faktiski šis sasniegums nav nemaz tik liels, jo būtība te uz datu bāzēm tiek gandrīz burtiski pārcelta Joseph Goguen un Rod Burstall institūciju teorija. Jūlija beigās Goguen uzstājās konferencē ar referātu Data, schema and ontology integration, kur šī pieeja ir vēl tālāk uzlabota. Citāts: “... cocones and colimits of ontologies can be used”. Ko-limiti skaitās labs veids kā formalizēt integrācijas jēdzienu.

33. Vispārinājums Mērķis - definēt ļoti vispārīgu jēdzienu par database transformation framework (datu bāzu transformāciju karkass), no kura kā spec-gadījumus varētu dabūt gan to piemēru, ko minēju sākumā, gan daudzus citus variantus (SQL datu bāzes, OO datu bāzes, XML dokumenti utt.).

34. Vispārinājums I Pirmkārt, signatūru un to transformāciju vietā aplūkosim patvaļīgu kategoriju, ko sauksim par Sig. Šīs kategorijas objektus sauksim par signatūrām, bet morfismus – par signatūru transformācijām. Otrkārt, tā vietā, lai ierobežojumus definētu kādā valodā, uzskatīsim, ka tie ir pilnīgi patvaļīgi objekti, kas piekārtoti signatūrām. T.i. mums ir funkcija Sen, kas a) katrai signatūrai sig (no Sig) piekārto kopu Sen(sig), b) katrai signatūru transformācijai tra: sig1->sig2 piekārto funkciju Sen(tra), kas kopu Sen(sig1) attēlo kopā Sen(sig2). Formāli ņemot, Sen ir funktors Sig->Set.

35. Vispārinājums II Treškārt, kas tagad būs “signatūras sig datu bāzes”? Principā, vajadzētu ņemt funkciju Db, kas a) katrai signatūrai sig (no Sig) piekārto patvaļīgu objektu kopu Db(sig), b) katrai signatūru transformācijai tra: sig1->sig2 piekārto funkciju Db(tra), kas kopu Db(sig1) attēlo kopā Db(sig2). T.i. Ka tra transformē signatūras, tad Db(tra) transformē datu bāzes. Formāli ņemot, Db ir funktors Sig->Set. Bet minētie teorētiķi iet tālāk: viņi prasa, lai Db būtu funktors Sig->Cat. T.i. Viņi vēlas, lai Db(sig) būtu kategorija (t.i. vienas signatūras datu bāzes plus to transformācijas). Vai to vajag?

36. Vispārinājums III Ceturtkārt, ko tagad nozīmē “datu bāze apmierina ierobežojumu”? Ja datu bāze d ir no Db(sig), tad ierobežojumi c jāņem no Sen(sig). T.i. mums ir vajadzīga satisfaction relation d|=sigc, kas ir apakškopa Dekarta reizinājumam Db(sig)xSen(sig). Formāli, |= ir funkcija, kas katru sig no Sig attēlo par kādu Db(sig)xSen(sig) apakškopu.

37. Vispārinājums IV Un beidzot, piektkārt, datu bāzu transformācijām ir jāsaglabā ierobežojumi. Ja tra: sig1->sig2 ir signatūru transformācija, un d1 ir datu bāzei no Db(sig1), bet c1- ierobežojums no Sen(sig1), tad: a) transformācija Db(tra) pārveido d1 par d2=Db(tra)(d1) no Db(sig2), b) transformācija Sen(tra) pārveido c1 par c2=Sen(tra)(c1) no Sen(sig2). Ja d1|=sig1c1 ir patiess, tad arī d2|=sig2c2 jābūt patiesam. Un arī, ja pirmais ir aplams, tad aplamam jābūt arī otram. Īsāk: ir jāizpildās t.s. integritātes nosacījumam: katrai signatūru transformācijai tra: sig1->sig2, katrai datu bāzei d1 no Db(sig1) un katram ierobežojumam c1 no Sen(sig1): Db(tra)(d1)|=sig2Sen(tra)(c1) <-> d1|=sig1c1.

38. Datu bāzu shēmas Pieņemsim, ka dots DBTK. Datu bāzes shēma ir pāris sch=(sig, C), kur sig ir signatūra no Sig, bet C ir Sen(sig) apakškopa (shēmā uzdotie ierobežojumi). Ja d ir datubāze no Db(sig), tad d atbilst sch ttt, ja visiem c no C, d|=sigc. Tad rakstām: d|=sigC. Ja sch1=(sig1, C1) un sch2=(sig2, C2) ir divas shēmas, tad signatūru transformāciju tra: sig1->sig2 uzskatīsim par shēmu transformāciju sch1->sch2 ttt, ja jebkurai datu bāzei d1 no Db(sig1), ja d1atbilst sch1, tad Db(tra)(d1) atbilst sch2. Tā esam ieguvuši datu bāzu shēmu kategoriju Sch.

39. Datu bāzu integrācija Shēmu sch12 sauksim par shēmu sch1 un sch2 integrāciju, ja eksistē shēmu transformācijas tra1: sch12->sch1 un tra2: sch12-> sch2. Kas ir schema join of sch1 un sch2? Tā ir sch1 un sch2 “vislabākā” integrācija (sch1*sch2, t1, t2) – protams, kategorijā Sch. T.i. katrai sch1 un sch2 integrācijai (sch12, tra1, tra2) eksistē unikāla shēmu transformācija t: sch12->sch1*sch2 tāda, ka tra1=t1;t un tra2=t1;t. Sk. bildi uz tāfeles. Kas ir schema join? Tas ir šo shēmu produkts kategorijā Sch.

40. Post factum Post factum man tomēr izdevās atcerēties, kā var iegūt mazāk triviālu relāciju db transf karkasu.Signatūrās vajag iezīmēt tos laukus, kas drīkst piedalīties ierobežojumos.Signatūru transformācijas šos laukus nedrīkst izmest (pārējos - drīkst). Tadsanāk korekts karkass (ar integritāti uz abām pusēm). Un kas notiks, ja ierobežojumu valodu sašaurināsim līdz primary key unforeign key tipa nosacījumiem (tikai iezīmētiem laukiem, protams)? Ciknetriviālas tad varēsim atļauties transformācijas?

41. Uzdevumi 00 Bijām palaiduši garām divas visvienkāršākās kategoriju teorijas teorēmas: 0. Pierādīt, ka identiskais morfisms katram objektam ir tikai viens. 00. Pierādīt, ka identiskais morfisms ir pats sev inversais morfisms.

42. Uzdevumi I • Pierādīt, ka morfismam var būt ne vairāk kā viens inversais morfisms. • Jebkurš izomorfisms ir monomorfisms un epimorfisms (bet ne otrādi). • Kādas ir iniciālo un terminālo objektu attiecības ar kategorijas morfismiem? • Pierādīt, ka kategorijā visi iniciālie objekti ir izomorfi. • Pierādīt, ka kategorijā visi terminālie objekti ir izomorfi.

43. Uzdevumi II Palikām pie neatrisinātas problēmas: ja kategorijā eksistē iniciāls objekts I, tad tie morfismi, kas ved no I uz citiem objektiem, vienmēr ir monomorfismi, vai ne vienmēr? Lūgums jaunākajiem kolēģiem palīdzēt šo problēmu atrisināt. 5. Jebkurā kategorijā, a) ja (C, i) ir vienādotājs, tad i ir monomorfisms, b) ja i1: C1->A un i2: C2->A ir divi f un g vienādotāji, tad objekti C1 un C2 ir izomorfi.

44. Uzdevumi III 7. Jebkurā kategorijā, a) ja (C, i) ir ko-vienādotājs, tad i ir epimorfisms, b) ja i1: C1->A un i2: C2->A ir divi f un g ko- vienādotāji, tad objekti C1 un C2 ir izomorfi. 8. Izpētīt tādā pat garā atvilcējus. 9. Izpētīt tādā pat garā izspiedējus. 10. Pārliecināties, ka kopu kategorijā produkts ir Dekarta reizinājums. 11. Pārliecināties, ka kopu kategorijā ko-produkts ir nešķeļošos kopu apvienojums. 12. Pierādīt, ka tukšas objektu kopas produkts ir kategorijas terminālais objekts.

45. Uzdevumi IV 13. Pierādīt, ka tukšas objektu kopas ko-produkts ir kategorijas iniciālais objekts. 14. Pierādīt, ka visi dotās diagrammas limiti ir izomorfi (un attiecīgie morfismi ir monomorfismi). 15. Pierādīt, ka visi dotās diagrammas ko-limiti ir izomorfi (un attiecīgie morfismi ir epimorfismi). 16. Ja kategorijā eksistē termināls objekts un visi atvilcēji, tad tajā eksistē visi galīgie limiti. 17. Ja kategorijā eksistē iniciāls objekts un visi izspiedēji, tad tajā eksistē visi galīgie ko-limiti.