如图,对于实积分                ,变量
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§3 留数在定积分计算上的应用 PowerPoint PPT Presentation


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如图,对于实积分 ,变量 x 定义在闭区间 [ a , b ] ( 线段 ) ,此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分,则实函数必须 解析延拓 到复平面上包含回路的一个区域中 , 而实积分 成为回路积分的一部分:. §3 留数在定积分计算上的应用. 留数定理 是复变函数的定理,若要在实变函数定积分中应用,必须将实变函数变为复变函数。这就要利用 解析延拓 的概念。留数定理又是应用到回路积分的,要应用到定积分,就必须将 定积分变为回路积分中的一部分 。.

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§3 留数在定积分计算上的应用

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Presentation Transcript


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如图,对于实积分 ,变量 x定义在闭区间 [a,b] (线段 ),此区间应是回路的一部分。实积分 要变为回路积分,则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分:

§3 留数在定积分计算上的应用

留数定理是复变函数的定理,若要在实变函数定积分中应用,必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的,要应用到定积分,就必须将定积分变为回路积分中的一部分。


3

1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数.

令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而


3

例1 计算 的值.

其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有

其中zk (k=1,2,...,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.

[解] 由于0<p<1, 被积函数的分母在0q  2p内不为零, 因

而积分是有意义的.

由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此


3

在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.


3

例2 计算 的值.

解:令


3

例 3

解:


3

y

不失一般性, 设

CR

z3

z2

z1

为一已约分式.

O

x

-R

R

取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.


3

此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.


3

例 4


3

例 5

解:


3

3. 形如 的积分

y

y

z3

CR

1

z2

y=sinq

z1

x

-R

O

R

p

O

q

当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的.

象2中处理的一样, 由于m-n1, 故对充分大的|z|有

因此, 在半径R充分大的CR上, 有


3

例6 计算 的值.

[解] 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,

也可写为


3

例4 计算积分 的值.

[解]因为 是偶函数, 所以


3

y

CR

Cr

-r

r

O

-R

R

x

为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路线. 由柯西积分定理, 有

令x=-t, 则有


3

因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限

下面将证明

由于

所以


3

由于

在r充分小时,

j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|2,


3

例题


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