整数的整除性
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整数的整除性. 一、整除的意义和性质. 例 2 ,设. 求证:. 中必有一个能被 3 整除. 证:如果 a,b 中至少有一个能被 3 整除,则命题显然成立. 若 a,b 都不能被 3 整除,则. 若. ,则. ,则必有. (或 2 )或. 若. (或 1 ). 例 3 :已知 b 为各位数码全是 9 的 31 位数, a 为各位数码全是 9 的 1984 位数,求证. 证:. 最大公约数. 定义 7.3.1 设 al,a2, … ,an 和 d 都是正整数 ,n≥2. 若 d|ai, 1≤i≤n, 则称 d 是 al,a2, … ,an. 的公因数 .

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整数的整除性

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Presentation Transcript


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整数的整除性

一、整除的意义和性质


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例2,设

求证:

中必有一个能被3整除

证:如果a,b中至少有一个能被3整除,则命题显然成立

若a,b都不能被3整除,则

,则

,则必有

(或2)或

(或1)


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例3:已知b为各位数码全是9的31位数,a为各位数码全是9的1984位数,求证

证:


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最大公约数

定义7.3.1设al,a2,…,an和d都是正整数,n≥2. 若d|ai, 1≤i≤n, 则称d是al,a2,…,an.的公因数.

在公因数中最大的那一个数, 称为al,a2,…,an的最大公因数, 记为gcd{al,a2,…,an}. (greatest common divisor)或(al,a2,…,an).

若gcd(al,a2,…,an)=1, 称al,a2,…,an是互素的.


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定理7.3.1设a和b都是正整数, 且a>b,

a=bq+r 0<r<b

其中q和r都是正整数. 则:

①a和b的任一公因数也是b和r的公因数;

②b和r的任一公因数也是a和b的公因数;

③(a,b)=(b,r);

④若(a,b)=d, 则 (a|d, b|d)=1.

证明

①若d|a且b|d, 则d|(a-bq)或d|r. 这即表明: d是a和b的公因数, d必是b和r的公因数.

②若d|b且d|r, 则: d|(bq+r)或d|a. 这即是说d是b和 r的公因数, d也必是a和b的公因数.

③由①和②知, a和b的公因数集合等于b和r的公因数集合,故两个集合的最大整数相同, 即(a,b)=(b,r).

(a,b)=(b,r)的证明也可不基于①和②, 另有证法. 因为(a,b)|a, (a,b)|b, 故(a,b)|(a-bq)或(a,b)|r. 因而(a,b)≤(b,r). 同法可证(b,r) ≤(a,b).于是得到(a,b)=(b,c).


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④假设c=(a/d,b/d). 显然c≥1, 只要再证明c≤1即得c=1. 因为c|(a/d), c|(b/d), 于是a/d=cu, b/d=cv或(cd)u=a, (cd)v=b, 即知d是a和b的公因数, 所以ad≤(a,b), 即cd≤d. 由于d≥1, 可得c≤1, 因此, c=1.


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定理7.3.2 (Euclid)欧几里德算法.

设: a≥b>0, 且:

a=bq1+r1, 0<rl<b

b=r1q2+r2, 0<r2<r1

r1=r2q3+r3, 0<r3<r2

…….

rn-2=rn-1qn+rn, 0<rn<rn-1

rn-1=rnqn+1+0

则(a,b)=rn.


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例:求(58548 , 13776,10824,3567)


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定理 若任给整数 a>0, b>0, 则存在整数x和 y,

使得(a,b)= ax+by.

推论:若(a,b)=1,则必存在整数x,y,使 ax+by=1

定理4 对于任意的整数a,b,c,下面的结论成立:

(ⅰ) 由bac及(a, b)=1可以推出bc;

(ⅱ) 由bc,ac及(a, b)=1可以推abc。

证明 (ⅰ) 若(a, b)=1,由定理2,存在整数x与y,使得

ax  by =1。

因此

acx  bcy = c。 (2)

由上式及bac得到bc。结论(ⅰ)得证;

(ⅱ) 若(a, b)=1,则存在整数x,y使得式(2)成立。由bc与ac得到abac,abbc,再由式(2)得到abc。结论(ⅱ)得证。


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