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Matemática Fundamental Conjuntos Numéricos. Giovanni Spavier. Conjunto dos Números Naturais. São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}

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Presentation Transcript
Matem tica fundamental conjuntos num ricos

Matemática FundamentalConjuntos Numéricos

Giovanni Spavier


Conjunto dos n meros naturais
Conjunto dos Números Naturais

  • São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.

    N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}

  • Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero:

  • N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}


Leitura e Escrita de Números

Classe = grupo de 3 algarismos a contar da direita

  • O nº pode ser lido indicando a classe:

  • vinte e cinco mil trezentos e vinte e sete unidades.

  • Ordem = É a posição que cada nº ocupa na leitura.

  • O nº pode ser lido indicando a ordem de cada algarismo:

  • Duas dezenas de milhar, cincomilhares, trêscentenas, duasdezenasesete unidades.


Conjunto dos n meros inteiros
Conjunto dos Números Inteiros

  • São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).

  • São representados pela letra Z: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

  • O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos. Eles são:

    Inteiros não negativos

    São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

    Inteiros não positivos

    São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

    Inteiros não negativos e não-nulos

    É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

    Z*+ = N*

    Inteiros não positivos e não nulos

    São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.


Conjunto dos n meros racionais
Conjunto dos Números Racionais

  • Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, também conhecidas como dízimas periódicas.

  • Os racionais são representados pela letra Q.


Conjunto dos n meros racionais1
Conjunto dos Números Racionais

  • Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

  • Assim, como exemplo podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 ,...

  • Números decimais exatos são racionais

    •  0,1 = 1/10

    •  2,3 = 23/10 ...

  • Números decimais periódicos são racionais.

    • 0,1111... = 1/9

    • 0,3232 ...= 32/99

    • 2,3333 ...= 21/9

    • 0,2111 ...= 19/90

  •  Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.



Conjunto dos n meros irracionais
Conjunto dos Números Irracionais

  • É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número ∏ (Pi) (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 ….

  • Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o Pi.Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)

  • São compostos por dízimas infinitas não periódicas.


Conjunto dos n meros reais
Conjunto dos Números Reais

  • É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).

  • Representado pela letra R.



Numerador (dividendo),

representa o número de partes que estão a ser consideradas.

Denominador (divisor), representa o número de partes iguais em que se supõe dividida a Unidade.

Traço da fração indica operação divisão.


Exemplo: leitura de frações

dois sextos

Um quarto

Quatro sextos

Dois oitavos

Quatro dezesseis avos


Números inteiros e fracionários

Número racional inteiro, porque o

numerador é múltiplo do denominador.

Número racional fracionário, porque o nu- merador não é múltiplo do denominador.

O número fracionário cinco meios pode ser representado por:

5:2 =2,5

ou

Uma fração

Um numeral decimal


Frações Próprias , Impróprias e Decimais.

Frações próprias são as frações

onde os denominadores são

maiores que os numeradores.

Frações impróprias são frações

onde os numeradores são maiores

que os denominadores.

LUNATMAT

Denominam-se frações decima- is, todas as frações que apresen-tam potências de 10 no denomi-nador.


Frações decimais

Números decimais

Exemplos:


O que s o n meros racionais

1

5

_

:10

4

_

10

1

:10

_

2

10

1

_

_

100

10

O que são números racionais?

  • Número racional é todo número que pode ser escrito na forma de uma fração. Exemplos:

1 - Frações

2 - Decimais

0,5 =

=

3 - Porcentagens

10% =

=


Como fazer a transforma o

3

2

=

_

4

_

5

Como fazer a transformação?

  • Frações em decimais: basta dividir o numerador pelo denominador.

  • OBS.: se o resultado for uma dízima periódica (divisão que não acaba nunca = 0,3333...) é melhor trabalhar com a fração. Exemplos:

b)

0,75

0,4

a)

=


Como fazer a transforma o cont
Como fazer a transformação(cont.)

  • Decimais em porcentagem:basta multiplicar por 100. Exemplos:

a)

100

75 %

0,75

0,75

=

=

.

40 %

100

b)

0,4

0,4

=

=

.

Dica: para multiplicar por números múltiplos de 10 (100, 1000, etc), basta deslocar a virgula para a direita (número de casas igual a quantidade de zeros do múltiplo).


Como fazer a transforma o cont1

Simplificar por 25

75

3

75 %

=

_

_

4

100

Simplificar por 20

2

40

40 %

=

_

_

5

100

Como fazer a transformação(cont.)

  • Porcentagem em Frações: basta escrever a porcentagem na forma de fração e depois simplificar a fração. Exemplos:

a)

=

b)

=


Atividade

Copie e complete o quadro abaixo, fazendo as respectivas transformações

Atividade:

0,2

20 %

2 / 5

40 %

7 / 20

0,35

0,25

25 %

3 / 5

60 %

9 / 20

0,45

0,75

75 %

4 /5

80 %




Percentagens um determinado assunto.

Qual a percentagem das que responderam sim?

Quantas pessoas responderam NÃO?

Qual a percentagem das que responderam SEM OPINIÃO?

Cada uma podia responder SIM, NÃO ou SEM OPINIÃO.



Formas diferentes de escrever uma percentagem um determinado assunto.

Uma percentagem pode ser apresentada sob a forma de razão ou sob a forma de numeral decimal.

Por exemplo:


Na resolução de um problema de percentagens um determinado assunto.

temos sempre, pelo menos, três valores.


Resolução de problemas calculando percentagens um determinado assunto.

As percentagens são muitas vezes utilizadas para representarem uma parte de um todo.

= 71,43%


Outra forma de utilização da percentagem é um determinado assunto.

indicar uma variação de uma grandeza.


2.º um determinado assunto.variação relativa:

Uma forma de proceder

consiste em calcular

sucessivamente:

Por exemplo:

Num bairro havia, em 1974 , 1012 eleitores, e, em 2005 , 1998 eleitores.

A variação do número de eleitores pode ser indicada sob a forma de percentagem.

1.º variação absoluta:

1998 - 1012 = 986

Ou seja, a percentagem de aumento de

eleitores foi de aproximadamente 97,43% .


2.º um determinado assunto.variação relativa:

1.º variação absoluta:

1998 - 1012 = 986

Ou seja, a percentagem de aumento de

eleitores foi de aproximadamente 97,43% .


As percentagens para estabelecer comparação um determinado assunto.

Para comparar percentagens

calcula-se a diferença relativa.


As percentagens para estabelecer comparação um determinado assunto.

+ 60%

R$ 45,00

R$ 80,00

- 43,75%

Em termos relativos diz-se que:

• As botas custam mais 60% do que os sapatos.

• Os sapatos custam menos 43,75% do que as botas.


O ESSENCIAL um determinado assunto.

Escrever uma percentagem

Umapercentagem pode ser escrita sob a forma de numeral decimal ou sob a forma de fração.


O ESSENCIAL um determinado assunto.

Aplicar uma percentagem a um número

5% de 10 kg = 0,05 x 10 kg = 0,5 kg


O ESSENCIAL um determinado assunto.

Determinar o valor inicial ou de referência

conhecendo o valor final e a percentagem

Com o aumento de 5,5% que obteve no seu ordenado, Ana ganha agora 1213,25 reais. Quanto ganhava antes do aumento?

Antes do aumento a Ana ganhava x .

Ana ganhava 1150 reais.


O ESSENCIAL um determinado assunto.

Calcular uma percentagem conhecendo os valores inicial e final

Antônio ganhava 1100 reais e agora ganha 1200. Quanto foi a percentagem de aumento?

1200 - 1100 = 100

O ordenado do Antônio sofreu um aumento de, aproximadamente, 9,09% .


As percentagens para estabelecer comparação um determinado assunto.

Para comparar percentagens

calcula-se a diferença relativa.


O ESSENCIAL um determinado assunto.

Usar as percentagens para estabelecer comparações

R$ 999,00

R$ 1000,00

R$ 4,00

R$ 5,00

Em termos relativos o colar

custa mais 0,1% do que os brincos.

Em termos relativos pode afirmar-se que a bola custa

mais 25% que a boneca.

Repare que é muito diferente aumentar 1 real a R$ 999,00 do que aumentar 1 real a R$ 4,00 .


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