ЭКОНОМЕТРИКА
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 28

ЭКОНОМЕТРИКА PowerPoint PPT Presentation


  • 135 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

ЭКОНОМЕТРИКА. Лекция 17 Модели в виде системы одновременных уравнений: Косвенный метод наименьших квадратов Двухшаговый метод наименьших квадратов. Оценка параметров структурной формы модели. Предполагаем, что модель идентифицируема.

Download Presentation

ЭКОНОМЕТРИКА

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


4344609

ЭКОНОМЕТРИКА

Лекция 17

Модели в виде системы одновременных уравнений:

Косвенный метод наименьших квадратов

Двухшаговый метод наименьших квадратов


4344609

Оценка параметров структурной формы модели

Предполагаем, что модель идентифицируема.

Для иллюстрации этого метода, в котором каждое поведенческое уравнение модели оценивается отдельно от другого, выберем простейшую "паутинную" модель спроса-предложения товара:

(1.1)

Необходимо найти оценки параметров a0, a1, b0, b1, а также СКО этих оценок


4344609

Оценка параметров структурной формы модели

Убедимся в том, что оба уравнения модели идентифицированы

Воспользуемся правилом ранга:

rk(ĀRiT)≥G-1, i=1,2


4344609

Оценка параметров структурной формы модели

Для первого уравнения системы (1.1) имеем:

Проверяем условие: rk(ĀR1T)≥G-1 2=3-1=2 следовательно, первое уравнение точно идентифицированно

Соответственно для второго уравнения:

rk(ĀR1T)≥G-1

2=3-1=2


4344609

Оценка параметров структурной формы модели

Что доступно для наблюдения: (y*i, pi, pi-1)

Имеем уравнения наблюдений схемы Гаусса-Маркова:

y1 = a0 + a1 · p1 + u1

y2 = a0 + a1 · p2 + u2

...................……….

yn = a0 + a1 · pn + un

Однако, применить к ней МНК нельзя, т.к. COV(pi,ui)≠0

Запишем приведенную форму модели для переменной pt

(1.2)


4344609

Оценка параметров структурной формы модели

Оценки параметров структурной формы модели оказываются смещенными и неэффективными даже при выборках большого объема

Это видно из следующих вычислений:

(1.2)

Из (1.2) видно, что вектор оценок параметров модели отличается от «истинных» значений на некоторую величину, которая делает оценки смещенными


4344609

Оценка параметров структурной формы модели

Форма (1.2) оценок параметров линейной модели МНК полезна тем, что она позволяет сформулировать достаточные условия состоятельности

Условия состоятельности:

(1.3)

(1.4)

(1.5)


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае точной идентифицируемости уравнений модели

Алгоритм применения КМНК:

1. От структурной формы модели переходят к приведенной

2. Определяются МНК-оценки параметров приведенной формы модели

3. По МНК-оценкам приведенной формы вычисляются оценки параметров структурной формы модели


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

Мы знаем связь параметров структурной и приведенной форм моделей:

М=-А-1В или АМ=-В или АМ+В=0 (2.1)

Последнее выражение с использованием расширенной матрицы коэффициентов Ā в матричной форме имеет вид:

(2.2)

где: I – единичная матрица размером kxk

Для оценки параметров i-го уравнения системы (2.2) необходимо добавить априорные ограничения и условия нормализации


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

В результате,с учетом априорных ограничений на коэффициенты, получается система алгебраических уравнений относительно элементов матрицы Ā

(2.3)

Можно доказать, что, если i-ое уравнение точно идентифицируемо и выполнено условие нормализации, то система (2.3) имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию состоятельности


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

  • Задача. Построить модель потребления свинины на душу населения у1 (в фунтах) в зависимости от цены на нее у2 (долл/фунт), располагаемого дохода х1 (в долл) и расходов по обработке мяса х2 (% от цены)

  • Известно:

  • Потребление свинины пропорционально ее цене при этом потребление падает с ростом цены, и пропорционально располагаемому доходу

  • 2. Цена растет с ростом потребления свинины и ростом стоимости ее переработки


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

Решение.

Пусть:

y1 – годовое потребление свинины на душу населения

y2 – оптовая цена за фунт свинины

x1 – доход на душу населения

х2 – расходы на обработку мяса

1. Спецификация модели. С учетом отмеченных законо-мерностей спецификацию модели можно записать в виде

(2.4)


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

В приведенной форме модель (2.4) примет вид:

(2.5)


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

2. Сбор исходной информации для оценки модели


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

3. Оценка МНК параметров приведенной формы модели

(2.6)

Коэффициенты приведенной формы модели (2.5) соответственно есть:


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

4. Вычисление параметров структурной формы модели

4.1 Для первого уравнения модели

Расширенная матрица коэффициентов Ā имеет вид

Параметры первого уравнения структурной формы модели (2.4) удовлетворяют условию:

(2.7)


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

После перемножения матриц в системе (2.7) получим

m11 – a12m21 - b11=0

m12 – a12m22 = 0

Решив полученную систему относительно параметров aij,найдем искомые параметры для первого уравнения модели (2.4)


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

4.2 Рассматриваем второе уравнение моделей (2.4-2.5)

Структурные параметры для него есть решение системы уравнений:


4344609

Косвенный метод наименьших квадратов

В результате структурная форма модели (2.4) получила вид

Вспомнив, что равенство нулю параметров приведенной формы (2.5) m11= и m21=0, окончательно получим:

Остается проверить ее адекватность


4344609

Двухшаговый метод наименьших квадратов

В основе метода лежит понятие «инструментальных переменных»

Пусть имеем линейную модель множественной регрессии

(3.1)

В модели (3.1) объясняющие переменные коррелируют со случайными возмущениями


4344609

Инструментальные переменные

Определение. Переменные (z1t, z2t,…,zkt) называются инструментальными для модели (3.1), если они удовлетворяют двум требованиям:

(3.2)

(3.3)

Т.е. zit коррелируют в пределе с xitи не коррелируют в пределе со случайными возмущениями

Теорема. Процедура

(3.4)

доставляет состоятельные оценки параметров модели (3.1)


4344609

Инструментальные переменные

Вопрос. Как построить инструментальные переменные?

Вернемся к уравнению (1.2)

(1.2)

Перепишем его в виде:

(3.5)

Если удастся избавиться от εt, т.е. найти переменную

(3.6)

то она могла бы выступить в качестве инструментальной переменной


4344609

Инструментальные переменные

Если бы переменная z была бы наблюдаемой, то процедура МНК, позволила бы получить несмещенные и эффективные оценки параметров структурной формы модели

Однако, z не возможно получить в наблюдениях!

Выход – найти ей замену (замещающую переменную)

Такой переменной может служить МНК-оценка переменной «р», которая может быть вычислена после оценки модели (3.5)

Тогда, если вместо переменной «р», в первом уравнении (1.1) воспользоваться переменной z, то процедура МНК будет доставлять состоятельные оценки параметров структурной формы уравнений модели


4344609

Двухшаговый метод наименьших квадратов

  • Алгоритм оценки коэффициентов структурной формы уравнений ДМНК

  • Оценивание параметров приведенной формы модели для эндогенных переменных, включенных в правую часть уравнения модели с помощью МНК

  • 2. Оцениваются параметры структурной формы уравнения модели, в правую часть которой вместо значений эндогенных переменных подставляются их оценки, рассчитанные по приведенным формам модели, которые получены на предыдущем шаге

  • 3. Оцениваются точностные характеристики модели


4344609

Двухшаговый метод наименьших квадратов

Пример. Рассмотрим предыдущую задачу:

Оценить параметры структурной формы модели (2.4)

(2.4)

  • Оценка параметров первого уравнения

  • Приведенная форма уравнения для эндогенной переменной y2tимеет вид:


4344609

Двухшаговый метод наименьших квадратов

Расчетная схема для первого уравнения

Результат оценки первого уравнения модели


4344609

Двухшаговый метод наименьших квадратов

2. Оценка параметров второго уравнения модели

Расчетная схема

Приведенная форма уравнения для эндогенной переменной y1tимеет вид:

Результат оценки модели


4344609

Оценка параметров структурной формы модели

Выводы:

1. При оценке параметров структурной формы уравнений модели возникают две проблемы:

- наличие корреляции между случайными возмущениями и регрессорами

- неидентифицируемость параметров модели

2. Модели в виде системы одновременных уравнений разделяются на точно идентифицируемые и сверх идентифицированные

3. В первом случае для идентификации параметров структурной формы модели применим как косвенный, так и двухшаговый метод наименьших квадратов

4. Во втором случае применим только двухшаговый метод наименьших квадратов


  • Login