Применение методов прогнозирования в логистике

1. Применение методов прогнозирования в логистике Основные положения теории прогнозирования Простые методы сглаживания данных

2. Основные положения теории прогнозирования В снабженческой, производственной и распределительной логистике широко используются методы прогнозирования, поскольку прогноз­ные оценки развития анализируемых процессов являются основой принятия управленческих решений при оперативном, тактическом и стратегическом планировании. От точности и надежности прогноза зависит эффективность реализации различных логистических опера­ций и функций: от оценки вероятности дефицита продукции на скла­де до выбора стратегии развития фирмы. Прогноз определяется как вероятностное научно обоснованное суждение о перспек­тивах, возможных состояниях того или иного явления в будущем и/или об альтернативных путях и сроках их осуществления. Под методоло­гией прогнозирования понимается область знаний о методах, способах и системах прогнозирования, а именно : • метод прогнозирования — способ исследования объекта, направ­ленный на разработку прогноза; • методика прогнозирования — совокупность одного или несколь­ких методов; • система прогнозирования — упорядоченная совокупность мето­дик и средств реализации. Теория прогнозирования включает: анализ объекта прогнозирования; методы прогнозирования, подразделяющиеся на ма­тематические (формализованные) и экспертные (интуитивные); си­стемы прогнозирования, в частности непрерывного, при котором за счет мониторинга осуществляется корректировка прогнозов в процес­се функционирования объекта.

3. В работах по теории прогнозирования при анализе объектов произ­водится классификация прогнозов, при этом в качестве основных при­знаков указываются следующие: • масштабность, отражающая количество значащих переменных при описании объекта; • сложность, характеризующая степень взаимосвязи переменных; • детерминированность или стохастичность переменных; • информационная обеспеченность периода ретроспекции, вклю­чая все возможные варианты от объектов с полным количествен­ным обеспечением до объектов, у которых такое обеспечение от­сутствует.

4. Одним из основных классификационных признаков является также период прогноза, при этом выделяют три вида прогнозов: краткосрочные (не превышает 1 года), среднесрочные (на период от 1 до 5 лет) и долгосрочные (свыше 5 лет Классифицируются не только прогнозы, но и методы прогнозирования. Известно большое количество методов прогнозирования, в основном они базируются на двух крайних подходах: • эвристическом • математическом

5. Эвристические методы Включают построение интуитивных прогноз­ных моделей, которые формируются экспертами на основе целевой установки, предоставленной информации, опыта, интуиции и знаний эксперта. Выделяют: • индивидуальные (модели типа интервью, генерации идей) • коллективные (метод простого ранжирования; метод зада­ния весовых коэффициентов; метод последовательных сравнений; метод парных сравнений) • комбинированные (метод «Дельфи» и его модификации) экспертные оценки.

6. Математические методы Математические методы прогнозирования подразделяются на три группы: • симплексные (простые) методы экстраполяции по временным рядам (метод наименьших квадратов, экспоненциальное сглаживание и др.); • статистические методы, включающие корреляционный и регрессионный анализ, факторный анализ и др.; • комбинированные методы, представляющие собой синтез различных вариантов прогнозов.

7. Прогнозы I типа Прогнозы I типа осуществляются с применением симплексных или статистических методов на основе временных рядов. Для прогнозов I типа характерно, что: • число значимых переменных включает от 1 до 3 параметров, т. е. по масштабности они относятся к сублокальным прогнозам; • при использовании одного параметра, например времени, такие прогнозы считаются сверхпростыми, при двух-трех взаимосвя­занных параметрах — сложными; • по степени информационной обеспеченности периода ретроспек­ции прогнозы I типа могут быть отнесены к объектам с полным информационным обеспечением.

8. Прогноз II типа Как правило, прогнозы II типа используются для долгосрочного прогнозирования и разбиваются на два этапа: первый — получение прогнозных оценок основных факторов; второй — собственно прогноз развития процесса или явления. В дальнейшем мы будем рассматривать только прогнозы I типа.

9. Для успеха в построении прогнозов знаний только о способах получения прогнозных оценок недостаточно. Важно четко разграничивать области применения разных методов прогнозирования и в зависимости от объема и характера данных быстро и безошибочно выбирать нужный метод в соответствии с целью получения конкретного прогноза.

10. Схема, позволяющая соотнести цели прогнозирования, объем исходных данных и вид данных для получения корректного прогноза.

11. Общие рекомендации по выбору прогнозирования:

12. Наиболее часто для прогнозирования I типа используются методы, основанные на анализе временных рядов. Эти методы имеют разную сложность. Так, например, если все имеющиеся данные существенны и имеют равную ценность для прогноза, можно найти среднее всех значений динамического ряда, это и будет являться прогнозом на один шаг. Такой метод можно применять при любом количестве данных при условии равноценности всех данных. Но если последнее значение динамического ряда наиболее значимо по сравнению с остальными, то оно и может быть принято как прогноз на один шаг. Эти наивные методы прогнозирования практически не требуют каких-либо сложных расчетов.

13. Простые методы сглаживания данных К простым методам сглаживания данных можно отнести метод экспоненциального сглаживания с одним параметром и метод арифметического сглаживания. Важнейшая предпосылка любого метода сглаживания состоит в использовании последних данных ряда, поскольку информация имеет свойство устаревания, причем чем ближе данные к интервалу прогноза, тем их вес (или значимость) для прогноза должен быть больше.

14. При прогнозировании по методу экспоненциального сглаживания с одним параметром прогнозируемое значение у* t+1 , в момент времени t + 1 представляет собой сумму фактического значе­ния показателя ytи прогнозируемого значения y*tв момент времени t. Другими словами, где α — параметр сглаживания, определяющий значение веса, которое имеет самое последнее наблюдение при вычислении прогноза на один шаг; 0< α < 1.

15. Определение параметра сглаживания Даны следующие рекомендации по выбору параметра сглаживания: • если в модели наиболее значимым является именно последнее наблюдение, рекомендуется назначать большое значение α. В случае α = 1 прогнозное значение будет равно фактическому за пре­дыдущий период; • если существует практически полное доверие ко всем данным временного ряда и игнорирование значимости последнего наблюдения, то αблизко к 0; • если исследуемый показатель характеризуется низким уровнем случайных воздействий, но подвержен редким и значительным по величине скачкам, то следует выбирать относительно высокое значение α(α = 0,5).

16. Модель (7.1) называется однопараметрической моделью Брауна, значение параметра αв которой должно подбираться путем последо­вательных приближений. Процедура подбора сводится к поиску такого значения α, которое обеспечивает наименьшую погрешность — среднеквадратичное отклонение: где п— число учитываемых периодов времени (можно принять как число данных исходного ряда); т — количество параметров показательного сглаживания (модель (7.1) однопараметрическая, поэтому т = 1). Наилучшее значение параметра ос может быть найдено с помощью процедуры Поиск решения MS Excel.

17. Для прогнозирования с использованием модели (7.1) помимо выбора параметра αважно задать начальное условие. Существует несколько способов определения на­чального условия: • во-первых, наиболее часто предполагается, что на­чальное условие равно фактическому значению показателя при t = 1. Заметим, что этот способ доступен при количестве исходных данных N>2. • во-вторых, в качестве начального условия выбирается среднее арифметическое значение, рассчитанное по всем доступным к началу прогнозирования данным. • в-третьих, при большом объеме данных в качестве начального условия используется среднее значение несколь­ких наблюдений, кото­рые далее не будут участвовать в модели прогнозирования (7.1).

18. Следует иметь в виду, что экспоненциальное сглаживание не является подходящим методом прогнозирования для монотонно возрастающих или убывающих статистических данных. В первом случае модель (7.1) даст всегда заниженный, а во втором — завышенный прогноз. Метод можно скорректировать, включив в него направление изменения значений прогнозируемого показателя, и такой метод называется методом Хольта или экспоненциальным сглаживанием с учетом тренда. Модель (7.1) также не может дать удовлетворительный прогноз, если исходные данные подвержены сезонным изменениям. В этом случае необходимы специальные методы прогнозирования.

19. Пример 1

20. В таблице приведены три реализации текущего расхода; для каждой реализации даны величины расхода за день и интегральные характеристики. Воспользуемся значениями спроса первой реализации за 5 дн. В первом приближении примем α = 0,4. В качестве начального условия выберем значение спроса в первый день, y*t=9 ед. Выполним прогноз при t=1, подставив в формулу необходимые значения показателя и начальное условие: Прогноз на второй период равен начальному условию. Фактическое значение для второго периода y2=2. Определим значение экспоненциальной средней для t=2:

21. Прогноз на третий день составит 6,2 ед. Экспоненциальная средняя при t=3 и прогноз на четвертый день равны Аналогично определим прогноз на пятый и шестой дни: Итак, искомы прогноз на шестой день составляет 5 ед. Определим ошибку прогноза:

22. Найдем интервальный прогноз. В таблице приведено значение критерия Стьюдента для уровней значимости 0,1; 0,05 и 0,01.

23. Пусть уровень значимости равен 0,1. Нижняя граница прогноза yнижн= 5 - 4,7 х 2,132 = -5,02. Примем нижнюю границу, равную нулю. Верхняя граница прогноза yверх = 5 + 4,7 х 2,132 = 11,83. Таким образом, методом экспоненциального сглаживания получен прогноз на шестой день: среднее значение спроса 5 ед., ошибка прогноза 4,7 ед., с вероятностью 0,9 ожидается спрос в интервале от 0 до 12 ед.

24. Рассмотрим третью реализацию данных и найдем прогноз на шестой день методом экспоненциального сглаживания при том же параметре α = 0,4 и начальных условиях, равным спросу за первый день, т. е. 5 ед. Результаты прогнозирования представлены в таблице.

25. Прогнозное значение спроса на шестой день ожидается в среднем на уровне 3,98 = 4 ед., ошибка прогноза 0,94 = 1ед., интервал прогноза с вероятностью 0,9 имеет границы от 1,8 = 2 ед. до 6,1 =6 ед. Прогноз получен с небольшой ошибкой и достаточно узким доверительным интервалом. Фактический спрос в шестой день третьей реализации составил 1 ед., т.е. вышел за границы прогноза. Это произошло из-за стохастичности спроса, которую не удается точно предвидеть; все-таки, выбрав надежность прогноза на уровне 0,9, мы оставили вероятность непопадания фактического значения в расчетный интервал прогноза, равную 0,1. Если мы хотим увеличить надежность прогноза, мы можем найти интервальный прогноз с надежностью 0,95. С помощью табл. значения критерия Стьюдента найдем значение для уровня значимости 0,05: t005 = 2,776. Интервальный прогноз в этом случае составит: нижняя граница 4 - 1 х 2,776 = 1,22 = 1 ед., верхняя граница 4 + 1 х 2,776 = 6,78 = 7 ед. Как видно из полученных расчетов, при повышении надежности прогноз­ных оценок ширина доверительного интервала увеличивается.

26. Пример 2 Рассмотрим адаптационную модель прогнозирования методом экспоненциального сглаживания. Данные о спросе за первый цикл используем для определения начального условия: средний спрос за день возьмем в качестве экспоненциальной средней для первого дня второго цикла. Рассчитаем средний спрос по данным за первый цикл: По данным за второй цикл построим модель прогноза. Подберем параметр сглаживания, дающий наименьшую ошибку прогноза. Пусть α=0,2. Определим экспоненциальную среднюю для t= 11, т.е прогноз на двенадцатый день: аналогично для t=12:

27. Дальнейшие расчеты, выполненные таким же образом, представлены в таблице:

28. Определим ошибку, которую дает наша модель прогнозирования: Изменим параметр сглаживания. Произведем расчеты прогноза и ошибки прогноза для разных параметров сглаживания а от 0,3 до 0,6. В таблице ниже представлены результаты расчетов. Как видно из таблицы, наилучшее значение параметра сглаживания находится в пределах от 0,4 до 0,5, так как ошибка прогноза минимальна для этих параметров сглаживания.

30. Определим точное значение параметра сглаживания в поиске решения MS Excel, α =0,43, ошибка прогноза 1,99. Учитывая, что ошибка прогноза изменилась незначительно, примем для дальнейшего расчета параметр сглаживания, равный 0,4. Прогноз наследующий (21-й) день: среднее значение — 8 ед., нижняя граница интервального прогноза с надежностью оценки — 0,9 - 8 - 1,99 х 1,895 ~ 4 ед., верхняя граница — 8 + 1,99 х 1,895 = 12 ед. Проверим, как адаптируется выбранная модель прогноза к появлению новых данных. Фактическое значение спроса за 21-й дн. 5 ед. не совпало со средним прогнозируемым значением, но находится в доверительном интервале прогноза. С помощью процедуры Поиска решения MS Excel определим новое значение параметра сглаживания с учетом новых данных. Параметр сглаживания стал равен 0,31, прогноз на 22-й день — 7 ед., ошибка прогноза — 2,07, нижняя граница прогноза — 7 - 2,07 х 1,86 = 3 ед., верхняя граница — 11 ед.

31. Фактическое значение спроса на 22-й день — 5 ед. Предыдущий интервальный прогноз оказался верным. Новый параметр сглаживания с учетом появившихся сведений равен 0,31, прогноз на 23-й дн. — 6 ед., ошибка прогноза — 2,03, нижняя граница прогноза — 6 - 2,03 х 1,833 = 2 ед., верхняя граница — 10 ед. Фактическое значение за 23-й дн. 4 ед., прогноз также оказался верным. Новое значение параметра сглаживания 0,47, на 24-й дн. — 5 ед., ошибка прогноза 2,03, нижняя граница прогноза 5 - 2,03 х 1,812 = 1 ед., верхняя граница — 9 ед. Фактическое значение за 24-й дн. 3 ед. Модель прогноза пока предсказывает снижение спроса достаточно верно. Результаты проверки модели про­гнозирования представлены в таблице ниже.

33. Как видно из таблицы, только один раз прогнозное значение разошлось с фактическим. Это можно считать достаточно хорошим результатом прогнозирования, и с появлением новых данных можно использовать данную модель с учетом изменения параметров сглаживания. При большом количестве данных следует изменить начальные условия и проверить, насколько модель адаптируется к новым данным, еще раз. Из группы методов арифметического сглаживания наиболее простым является метод скользящего среднего по m узлам. В этом методе среднее фиксированного числа ппоследних наблюдений используется для оценки следующего значения показателя. Например, если т = 4 и существует 12 фактических значений, то прогноз на 13-й период будет определен как В общем случае формула скользящего среднего по т узлам имеет вид

34. Недостатками метода простого скользящего среднего является сле­дующее: • при вычислении среднего все пзначений имеют одинаковый вес, равный 1 /т, т. е. последнее значение участвует в прогнозе так же, как и предыдущие. Это противоречит интуитивному представлению, что последние данные окажут большее влияние на величину прогноза; • модель (7.3) не даст точного прогноза, если данные монотонно возрастают или убывают. Этот метод лучше подойдет для ряда с небольшими случайными отклонениями данных от некоторого постоянного или медленно изменяющегося значения; • метод предполагает большое количество промежуточных вычислений, что является проблемой, если требуется выполнить прогноз по большому числу наименований продукции. Например, при прогнозировании на основе скользящего среднего по 4 узлам для 10 тыс. наименований требуется рассчитывать и хранить 40 тыс. значений данных.

35. Первый из указанных недостатков устраняет метод взвешенного скользящего среднего. Из названия метода ясно, что данные, используемые для расчета среднего, берутся с разными весами. Например, при т = 4 взвешенное среднее на 13-й период будет равно где α 0, α 1, α 2, α 3 — веса (неотрицательные числа), которые выбираются исходя из условий, что их сумма равна 1, а более ранние данные имеют меньший вес (α 0≥α 1≥ α 2≥α 3). Поскольку существует бесконечное количество наборов значений весов, которые удовлетворяют указанному условию, лучшим набором весовых коэффициентов следует считать такой, который дает наименьшее среднеквадратическое отклонение прогнозируемых (расчетных) данных от фактических. Для этого можно воспользоваться, например, процедурой Поиск решения MS Excel.

36. Пример 3 Исходные данные те же, что и в примере 1. Учитывая небольшое количество данных, установим разряд скользящего среднего т = 3. Определим прогноз на 6-й день: Для определения ошибки прогноза рассчитываем промежуточные значения, для t = 4y*t= (9 + 2 + 1):3 = 4 ед., для t = = 5 y* 5= (2 + 1 + 3)/3 = 2 ед. Определим ошибку прогноза: Нижняя граница прогноза 5 - 4 х 2,92 = -6,68, примем нижнюю границу, равной 0; верхняя граница 5 + 4 х 2,92 = 16,68 ~ 17 ед. Как видно, из результатов, прогнозная оценка является очень неопределенной.

37. Метод экстраполяции тренда Суть метода экстраполяции тренда состоит в том, что закономерность, действующая внутри анализируемого временного ряда, сохраняется и на период прогноза. Прогнозирование в этом случае можно свести к подбору моделей трендов типа у = f(t) по данным предпрогнозного периода и экстраполяции полученных трендов на интервале прогноза.

38. Расчетная формула для получения прогноза : • Аддитивная модель где y*t— прогнозные значения временного ряда; yt— среднее значение прогноза (тренд); st—периодические колебания, которые повторяются через примерно одинаковые промежутки в течение небольшого промежутка времени (сезонные колебания или сезонная волна); vt—периодические колебания, повторяющиеся в течение длительного промежутка времени (циклические колебания); dt— составляющая, позволяющая учесть другие важные для конкретного прогноза факторы; εt— случайная величина отклонения прогноза, обусловленного стохастическим характером социально-экономических процессов.

39. Мультипликативная модель где Is— коэффициент, учитывающий сезонные колебания; Iv, — коэффициент, учитывающий циклические колебания; Id— коэффициент, учитывающий другие важные факторы (фаза жизненного цикла, эффект от маркетинговых мероприятий и др.); εt— случайная величина отклонения прогноза. В частных случаях количество составляющих моделейможет быть меньше, например только ytи εt, или больше, если необхо­димо выделить «сезонные» составляющие применительно к часам суток, к дням недели, месяцам. Случай, соответствующий трем составляющим (тренд, сезонные и случайные колебания), представлен на рисунке:

41. Рассмотрим простой вариант, когда модели содержат только составляющие ytи εt. Процедуру прогнозирования представим в виде следующей последовательности. Первый этап — подбор зависимости для описания уравнения тренда. Видом функции задаются, обычно используются полиномы различных порядков, экспоненциальные, степенные функции и т. п. Параметры модели прогнозирования определяются методом наименьших квадратов (МНК), при этом модель тренда должна быть такой, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных значений от фактических была бы наименьшей. Если модель тренда является линейной: y*t= a0+ a1 t, то расчет коэффициентов уравнения а0и a1производится по формулам:

42. Второй этап — продолжение полученного тренда за интервал значений, по которым строилась зависимость, или определение точечного прогноза. Для получения значения прогноза на t-й год в уравнение тренда подставляются конкретные значения t. При этом важно помнить о соотношении длины предпрогнозного периода и периода прогноза, их соотношение должно быть не менее чем 3:1.

43. Третий этап — расчет ошибки прогноза. Тренд характеризует лишь средний уровень ряда на каждый момент времени, в том числе и на прогнозный период. Отдельные наблюдения в прошлом отклоняются от линии тренда, это дает право предполагать, что и в будущем следует ожидать таких отклонений. Значит, прогноз имеет погрешность. Погрешность прогноза можно оценить по среднеквадратическому отклонению: где y*i— расчетные значения; yi— фактические значения; k — число степеней свободы, определяемое в зависимости отчисла наблюдений (N) и числа оцениваемых параметров (z); k = N - z; для линейного тренда z = 2, для параболы второй степени z = 3 и т. д. Погрешность прогноза отражается в виде доверительного интервала, с помощью которого точечный прогноз преобразуется в интервальный.

44. Четвертый этап — определение интервала прогноза. Доверительный интервал прогноза при небольшом числе наблюдений и при предположении о нормальном распределении прогнозных оценок определяется следующим образом: где ta— табличное значение t-критерия Стьюдента с k степенями свободы и уровнем значимости р. На след. рисунке показан доверительный интервал прогноза, рассчитанный по вышеуказанной формуле, в виде двух параллельных прямых. Однако погрешность прогноза растет при увеличении периода упреждения. Увеличение погрешности прогноза, а следовательно, и доверительного интервала прогноза, показано в виде расходящихся линий. При определении интервального прогноза среднеквадратическое отклонение, умножают на коэффициент K. (1) :

46. где tL— время, для которого делается экстраполяция, т. е. tL= N+ L; t —среднее значение порядкового номера уровня, Поскольку величины, характеризующие разности t -t, являются членами ряда с равноотстоящими элементами, сумму квадратов этих отклонений рассчитывается по формуле (2): Величина tL-tхарактеризует расстояние от середины динамического ряда до точки прогноза, следовательно, (3): Подставляя зависимости (2) и (3) в выражение (1), получим

47. Как видно из выражения (3), К зависит от продолжительности наблюдения (N) и периода упреждения (L). Следовательно, формулу для определения доверительных границ интервала прогноза можно записать Метод наименьших квадратов достаточно прост и легко реализуется на ЭВМ. К недостаткам МНК можно отнести следующее: • Во-первых, модель тренда жестко фиксируется и с помощью МНК можно получить достоверный прогноз на небольшой период упреждения. • Во-вторых, МНК очень просто реализуется только для линейных зависимостей и нелинейных функций, приводимых к линейному виду.

48. Пример 4 Рассмотрим трендовую модель прогноза, которая позволяет дать прогноз как на один, так и на несколько шагов, если мы хотим быстро реагировать и вносить изменения в систему поставки. Воспользуемся первой реализацией для данных, представленных в табл. 7.2. Допустим, что так же, как и в предыдущих примерах, известны значения расхода деталей со склада за пять дней работы. Выберем уравнение тренда ytв виде линейной зависимости (4) : Расчет коэффициентов уравнения а0 и а1 производится по формулам, которые получены на основе метода наименьших квадратов. Входящие в формулы значения сумм рассчитаны в след. табл. Подставляя их значения, находим а0 = 45,2, а1 = -3,0. Таким . образом, уравнение прогноза запишется в виде Для оценки границ интервального прогноза необходимо рассчитать среднее квадратичное отклонение:

50. На основании полученных зависимостей ytи syрассчитываются прогнозные оценки: • среднего времени расхода текущего запаса Т; • страхового запаса усс заданной доверительной вероятностью Р; • вероятности отсутствия дефицита деталей на складе в течение прогнозируемого периода. Расчет прогнозной величины среднего времени расхода Т производится по формуле (4). Приняв yt= О, находим: