Sesión 3.2

1. Sesión 3.2 Ecuaciones Paramétricas y Funciones Inversas

2. Información del curso Tareas: ingresar al aula virtual e imprimir. Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12).

3. Habilidades • Define ecuaciones paramétricas. • Grafica curvas definidas por ecuaciones paramétricas. • Define función inversa. • Determina algebraicamente y geométricamente una función inversa. • Verifica si una función tiene inversa.

4. Ecuaciones Paramétricas Si x e y están dadas como funciones x = f(t) ; y = g(t), en un intervalo de valores de t, entonces el conjunto de puntos (x, y)= (f(t); g(t))definido por estas ecuaciones es una curva paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva. Nota: x = f ( t ),   y = g ( t ), t ϵ [a; b]. en donde f y g son funciones del parámetro t. 

5. Ecuación paramétrica de la cicloide. La cicloide se produce cuando se hace rodar un círculo sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del círculo describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del círculo le corresponde un arco de la cicloide http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion.htm

6. y = f(x) y x Función inversa Criterio de la recta horizontal Una función f es inyectiva (uno a uno) si y sólo sí toda recta horizontal interseca a su gráfica a lo más en un punto. ¿Es f inyectiva? f(a) f(b) = a b

7. Aplicación del criterio de la recta horizontal ¿Cuál de las gráficas siguientes son gráficas de funciones que son uno a uno?

8. Función inversa Si f es una función uno a uno con Dom(f ) = D Ran(f ) = R entonces la función inversa de f, denotada por f -1, es la función con Dom(f -1) = R Ran(f -1) = D definida mediante f -1(b) = a si y sólo si f(a) = b

9. El principio de la reflexión inversa • Los puntos (a; b) y (b; a) en el plano coordenado son simétricos con respecto a la recta y = x. • Los puntos (a; b) y (b; a) son reflexiones uno del otro con respecto a la recta y = x.

10. y=x f(x) f-1(x) Regla La función inversa f -1 es simétrica con f, respecto a la recta y = x

11. Regla de composición de la inversa Una función f es uno a uno con función inversa g si y sólo si • f (g(x)) = x para toda x en el dominio de g. • f (g(x)) = x para toda x en el dominio de f.

12. Función inversa Dada y = f (x), se quiere determinar la regla de correspondencia para f -1: • Verifique que f es uno a uno. Indique, si hay, las restricciones sobre el dominio de f (observe que podría ser necesario imponer alguna para obtener una versión uno a uno de f) • Intercambie x y y en la regla y = f (x). • Despeje y para obtener la regla de correspondencia y = f -1(x). • Indique cualquier restricción sobre el dominio de f -1.

13. Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios de la sección 1.5 Pág. 127 – 137 Resolver (Pág. 135): 7, 15, 17, 23 y 27. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.