1 / 69

Definisi Matrik :

Matrik dan operasi-operasinya. Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom , ditulis antara dua kurung , yaitu ( ) atau [ ]. Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran / ordo : m x n

eben
Download Presentation

Definisi Matrik :

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matrik dan operasi-operasinya DefinisiMatrik : susunanbilanganberbentuksegiempatataubujursangkar yang diaturdalambarisdankolom, ditulisantaraduakurung, yaitu ( ) atau [ ] • Jumlahbaris : m • Jumlahkolom : n • Ukuran/ordo : m x n • Elemen diagonal : a11, a22,….. ann

  2. Suatubagantransportasi yang menghubungkan 3 kotadigambarkansebagaiberikut : 1 2 3 Kita buattabel : Kota 1 Kota 2 Kota 3 Dari kota 1 dapatpergikekota 1 1 0 Dari kota 2 dapatpergikekota 1 1 1 Dari kota 3 dapatpergikekota 0 0 1

  3. Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya nol. Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3

  4. Kesamaan Matrik Matrik A danMatrik B dikatakansamajika : • Ordonyasama • Elemen yang seletaksama A = (aij ) A = B jikaaij =bijuntuki = 1,2,……..m dan j = 1,2, …….n B = (bij )

  5. Contoh : 1) Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3. Matrik A dan B tidakakansamadenganmatrik C sebabordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkanordo C adalah 2 x 3. 2) R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1

  6. Bentuk-bentuk Matrik • MatrikBujursangkar : jumlahbaris = jumlahkolom(Ann n x n) Contoh :

  7. b. Matrik Diagonal : matrikbujursangkar yang elemen diagonal utamanyatidaksemuanol(tidakdisyaratkanelemen diagonal harustidaknol), sedangkanelemen yang lain nol. Contoh :

  8. MatrikSegitiga • Matriksegitigaatas : matrikbujursangkar yang setiapelemendibawah diagonal utamabernilai 0 • Matriksegitigabawah : matrikbujursangkar yang setiapelemendiatas diagonal utamabernilai 0 Catatan :tidakdisyaratkanbahwaelemen diagonal harusbernilaitaknol

  9. Contoh : Matrik A adalah matrik segitiga atas, matrik B adalah matrik segitiga bawah, sedangkan matrik C merupakan matrik segitiga atas dan juga matrik segitiga bawah

  10. Adatigahal yang perludiketahuitentangmatriksegitiga : • Transpose darimatriksegitigaatasakanmenghasilkanmatriksegitigabawah, demikian pula sebaliknya. Contoh :

  11. 2. Hasil kali antaramatriksegitigaatasakanmenghasilkanmatriksegitigaatas, demikianjugasebaliknya.

  12. 3. Matriksegitigamempunyaiinversjikadanhanyajikaelemenpada diagonal utamanyatidakmemuatangkanol (0). Contoh : Matrik A diatastidakmempunyaiinvers, karenasalahsatuelemenpadadiagonalnyabernilainol (0)

  13. e. Matriksatuan/identitas : matrikbujursangkar yang elemen diagonal utamanyabernilaisatu, sedangkanelemen yang lain bernilai nol. Contoh : d. MatrikNol : matrikdengansemuaelemennyanol (0)

  14. Sifatmatrikidentitasdanmatriknol Jika A adalahmatrikberukuran n x n, maka : I . A = A . I = A A + 0 = 0 + A = A A . 0 = 0 . A = 0

  15. f. Matrik singular : matrikbujursangkar yang tidakmempunyaiinvers (determinannya = 0) g. Matrik non singular : matrikbujursangkar yang mempunyaiinvers (determinannya 0)

  16. h. MatrikPangkat : ArAs = Ar + s ; (Ar)s = Ars • Matrik Idempotent : matrikbujursangkar yang berlaku A2 = A atau An = A, dengan n = 2, 3, 4 ….. Contoh : Jawab :

  17. Matrik Nilpotent : matrikbujursangkar yang berlaku A3 = 0 atau An = 0, dengan n = 3, 4 ….. Contoh :

  18. Contoh beberapa kasus pemangkatan matrik 1). Jawab :

  19. Disimpulkan : Untuk n = 1

  20. 2) Jawab :

  21. Jadi B5= B. Dengandemikiandapatdisimpulkanbahwapemangkatan B hinggaBnmerupakanpengulangandari B4 B B2 B3 B4 B5 = B

  22. i. Transpose matrik Transpose matrik A (dinotasikan AT) , adalahdiubahnyabarismenjadikolomdankolommenjadibarisdarimatrik A. Notasimatematik transpose matrikditulissebagaiberikut : (AT)ij= (A)ji

  23. Sifat-sifat dari transpose suatu matrik :

  24. Pembuktian sifat matrik transpose : Pembuktian sifat 1 :

  25. Pembuktian sifat 2 : Pembuktian sifat 3 :

  26. Pembuktian sifat 4 :

  27. Contoh Soal : 1) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik : Jawab :

  28. TentukanAT, BT dan CTdarimatrik : Jawab :

  29. j. Matriksimetri : Sebuahmatrikbujursangkardikatakansimetrijika A = AT. Jikasuatumatrik : A = AT Ditransposemenjadi : Makamatrik A dikatakansimetri, karenaelemen yang terdapatpada A samadenganpada AT

  30. Beberapahalpentingmengenaimatriksimetri : 1. Jika A simetri, maka ATjugasimetri 2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-B jugasimetri 3. Jika a simetri yang mempunyaiinvers, maka A-I adalahsimetri 4. Jika A memilikiinvers, maka A.AT danAT.A memilikiinvers pula.

  31. ContohSoal : Apakahmatrik A dan B berikutinimerupakanmatriksimetri ? Jawab : A merupakanmatriksimetrikarenaAT = A B bukanmatriksimetrikarena ≠ B

  32. k. MatrikPartisi : sebuahmatrikdapatdibagimenjadibagian yang lebihkecildengangarispemisah/partisimendatardanvertikal.

  33. Iadalahmatrikidentitas 3 x 3, B adalahmatrik 3 x 2 Oadalahmatriknol 2 x 3 C adalahmatrik 2 x 2 Dengancarapartisitersebut, kitadapatlihatbahwamatrik A adalahsebagaimatrik 2 x 2

  34. JikaterdapatmatrikAberukuranm x ndanmatrikBberukurann x r, makauntukmendapatkanhasilperkaliannya (AB) kitadapatmembuatnyamenjadiperkalianmatrikpartisi. • Kita partisimatrik B dalambentukvektorkolom maka : Bentukakhirdisebutperkalianmatrik-kolom.

  35. Contohperkalianmatrikkolom : Cobahasilinidicocokandenganperkalianbiasa.

  36. 2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris

  37. Contohperkalianmatrikbaris :

  38. 3. Kita partisimatrik A dalambentukvektorbarisdanmatrik B dalambentukvektorkolom. Bentukakhirdisebutperkalianbaris-kolom. Demikian pula dapatdilakukanpartisisebaliknya (kolom-baris), disebutperkaliankolom-baris.

  39. disebut perkalian bagian luar disebut : ekspansi perkalian bagian luar

  40. Contoh soal : Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB jika diketahui : Jawab :

  41. Perkalian bagian luar adalah : Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :

  42. Jikamatrik A dipartisimenjadibeberapasubmatrik, makabagiantersebutdinamakanblok. Sehinggakitamempunyaistrukturbloksebagaiberikut:

  43. l.Matrikdalambentukeselonbarisdaneselonbaristereduksi . Matrikmemilikibentukeselonbaristereduksiharusmemenuhikriteria : • Dalamsuatubaris yang semuaelemennyabukannol (0), angkapertamapadabaristersebutharuslah 1 ( disebut leading 1) • Jikasuatubaris yang elemennyanolsemua, makabaristersebutdiletakkanpadabaris paling bawah.

  44. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, leading 1 dari baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya. Kolom yang memiliki leading 1 harus angka nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.

  45. Contoh : Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1 Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

  46. Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3 Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4 disebut eselon baris

  47. Contoh matrik eselon baris tereduksi :

  48. Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja disebut : matrik eselon baris Contoh matrik eselon baris :

  49. Operasi Aljabar Matrik

More Related