Hulgateooria
Download
1 / 26

Hulgateooria - PowerPoint PPT Presentation


  • 559 Views
  • Uploaded on

Hulgateooria. 12. märts 2014. Matemaatikuid, “hulgateoreetikuid”. Georg Cantor John Venn George Boole Augustus DeMorgan. Georg Cantor 1845 -1918. hulgateooria rajaja esialgu hulgateooriat ei tunnustatud, sest oli täiesti erinev

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Hulgateooria' - eamon


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Hulgateooria l.jpg

Hulgateooria

12. märts 2014

Külli Nõmmiste

Jõhvi Gümnaasium


Matemaatikuid hulgateoreetikuid l.jpg

Matemaatikuid, “hulgateoreetikuid”

Georg Cantor

John Venn

George Boole

Augustus DeMorgan


Georg cantor 1845 1918 l.jpg
Georg Cantor 1845 -1918

  • hulgateooria rajaja

  • esialgu hulgateooriat ei tunnustatud, sest oli täiesti erinev

  • tänapäeval kasutavad hulgateooriat enamus matemaatika harudest


John venn 1834 1923 l.jpg
John Venn 1834-1923

  • uuris loogikat ja tõenäosusteooriat

  • mõtles välja lihtsa viisi hulgateooria tehete graafiliseks kujutamiseks (Venn’idiagrammid)


Mis on hulk l.jpg
Mis on hulk?

  • Hulgateooria põhimõiste

  • Hulga all mõistetakse objektide kogumit.

    • Hulki tähistatakse suurte tähtedega A; B; C ... .

  • Hulka moodustavaid objekte nimetatakse hulga elementideks

    • Hulga elemente tähistatakse väikeste tähtedega a; b; c; …


Hulk v ib olla l.jpg
Hulk võib olla:


Hulkade esitamine l.jpg
Hulkade esitamine

  • loetelu

    A = {kevad; suvi; sügis; talv}

  • eeskiri

    X = {x|x on positiivne arv}

    • kõikide selliste x-de hulk, mille korral x on positiivne arv

  • Hulga elemendid asetatakse loogeliste sulgude { } sisse


Venni diagramm l.jpg
Venni diagramm

  • Kasutatakse hulkade graafiliseks kujutamiseks

  • eraldiseisvad hulgad A ja B

  • hulkadel C ja D on ühiseid elemente

A

B

C

D


Elemendi kuuluvus hulka l.jpg
Elemendi kuuluvus hulka

Kui on antud hulk

S = {a; e; i; o; u; õ; ä; ö; ü}, siis

aS tS

oS vS

  • Elemendi kuuluvust hulka märgitakse sümboliga  (kuulub hulka) ja mitte-kuuluvust sümboliga  (ei kuulu hulka)


Hulkadevahelised seosed l.jpg

Hulkadevahelised seosed

hulkade võrdsus

osahulk

hulkade ühisosa

hulkade ühend


Hulkade v rdsus l.jpg
Hulkade võrdsus

  • Ühtedest ja samadest elementidest koosnevaid hulki nimetatakse võrdseteks

    • Hulkade võrdsuse tähistamiseks kasutatakse sümbolit =

      On hulgad

      X={0; 1; 2; 3; 4}

      Y={4; 3; 2; 1; 0}

      Nendel hulkadel on ühed ja samad elemendid, seega X = Y


Osahulk l.jpg
Osahulk

  • Kui ühe hulga iga element kuulub teise hulka, siis nimetatakse esimest hulka teise osahulgaks

    On hulgad

    A={3; 5; 8}

    B={2; 3; 4; 5; 8}

    C={2; 3; 7}

    • Et hulga A iga element kuulub ka hulka B, siis hulk A on hulga B osahulk AB.

    • Et hulga C iga element ei kuulu hulka B, siis hulk C ei ole hulga B osahulk CB.

K

L


Hulkade hisosa l.jpg
Hulkade ühisosa

  • Kahe hulga kõigi ühiste elementide hulka nimetatakse nende hulkade ühisosaks

    On hulgad

    B = {2; 3; 4; 5; 8}

    C={2; 3; 7}

    • Hulkade C ja B ühisosa on hulk, kus on kõik hulga B elemendid, mis kuuluvad ka hulka C

      C  B = {2; 3}

    • Kui element 2 on hulkade B ja C ühine element, siis kirjutatakse 2B Λ 2C

      • sümbol Λtähendab sidesõna ja


Hulkade hend l.jpg
Hulkade ühend

  • Kõigi elementide hulka, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast, nimetatakse nende hulkade ühendiks

    On hulgad

    B = {2; 3; 4; 5; 8}

    C = {2; 3; 7}

    • Hulkade B ja C ühend on hulk, kus on kõik hulga B elemendid ja lisaks veel hulgast C need elemendid, mida hulgas B ei ole

      B  C={2; 3; 4; 5; 7; 8}

    • Kui element 7 kuulub vähemalt ühte hulkadest B või C, siis kirjutatakse 7B V 7C

      • sümbol V tähendab sidesõna või


Slide15 l.jpg

Ühendi ja ühisosa moodustamisel on omadusi, mis on samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

Seepärast nimetatakse ühendi ja ühisosa moodustamist ka teheteks hulkadega


J ta meelde s mbolid l.jpg
Jäta meelde sümbolid samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  •  - element kuulub hulka

  •  - element ei kuulu hulka

  •  - tühihulk

  • A  B – hulk A on hulga B osahulk

  • C  B – hulk C ei ole hulga B osahulk

  • A  B – hulkade A ja B ühisosa

  • A  B – hulkade A ja B ühend

  • Λ - sidesõna ja

  • V – sidesõna või


Arvuhulgad l.jpg

Arvuhulgad samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega


Naturaalarvude hulk l.jpg
Naturaalarvude hulk samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • Naturaalarvud on tekkinud esemete loendamise vajadusest

  • Naturaalarvud on 1; 2; 3; …; n –1; n; n + 1; …

  • Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N


Naturaalarvude hulga omadused l.jpg
Naturaalarvude hulga omadused samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • Igale naturaalarvule järgneb vahetult üks naturaalarv

  • Naturaalarvude hulk on lõpmatu

  • Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes

    • hulk on kinnine mingi tehte suhtes, kui selle hulga liikmetega tehtud tehte tulemus kuulub samasse hulka

  • Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise ja jagamise suhtes


T isarvud l.jpg
Täisarvud samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • Naturaalarvude hulga N täiendamisel arvuga 0 ja arvude 1; 2; 3;…; n – 1; n; n + 1; … vastandarvudega saame täisarvude hulga

  • Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z

  • Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse Z+

  • Negatiivsete täisarvude hulka tähistatakse Zˉ

  • Z = {0; ±1; ±2; ±3;…}


T isarvude hulga omadused l.jpg
Täisarvude hulga omadused samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • Täisarvude hulk on järjestatud

  • Täisarvude hulgas ei ole suurimat ja vähimat arvu

  • Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes


Ratsionaalarvud l.jpg
Ratsionaalarvud samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena

  • a/b, (b  0)

  • Kõik täis- ja murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse ratsionaalarvude hulgaks

  • Ratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega Q


Arvuhulgad23 l.jpg
Arvuhulgad samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • N Z  Q

rr

Ratsionaalarvud

Täisarvud

Naturaalarvud


Irratsionaalarvude hulk l.jpg
Irratsionaalarvude hulk samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks

  • Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I

  • Näited: ; e; ; …

    • arv e, nn Euleri arv Šveitsi matemaatiku Leonhard Euleri auks

    • e = 2,71828182845904523536 …


Reaalarvude hulk l.jpg
Reaalarvude hulk samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad reaalarvude hulga

  • Reaalarvude hulka tähistatakse tähega R

  • Def. Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks


Reaalarvude hulga omadused l.jpg
Reaalarvude hulga omadused samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

  • Reaalarvude hulk on pidev

  • Reaalarvude hulk on järjestatud, s.t. iga kahe erineva reaalarvu a ja b korral on õige üks väidetest: kas a b või b  a

  • Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise suhtes


ad