Hulgateooria l.jpg
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 26

Hulgateooria PowerPoint PPT Presentation


  • 186 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Hulgateooria. 12. märts 2014. Matemaatikuid, “hulgateoreetikuid”. Georg Cantor John Venn George Boole Augustus DeMorgan. Georg Cantor 1845 -1918. hulgateooria rajaja esialgu hulgateooriat ei tunnustatud, sest oli täiesti erinev

Download Presentation

Hulgateooria

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Hulgateooria

12. märts 2014

Külli Nõmmiste

Jõhvi Gümnaasium


Matemaatikuid, “hulgateoreetikuid”

Georg Cantor

John Venn

George Boole

Augustus DeMorgan


Georg Cantor 1845 -1918

  • hulgateooria rajaja

  • esialgu hulgateooriat ei tunnustatud, sest oli täiesti erinev

  • tänapäeval kasutavad hulgateooriat enamus matemaatika harudest


John Venn 1834-1923

  • uuris loogikat ja tõenäosusteooriat

  • mõtles välja lihtsa viisi hulgateooria tehete graafiliseks kujutamiseks (Venn’idiagrammid)


Mis on hulk?

  • Hulgateooria põhimõiste

  • Hulga all mõistetakse objektide kogumit.

    • Hulki tähistatakse suurte tähtedega A; B; C ... .

  • Hulka moodustavaid objekte nimetatakse hulga elementideks

    • Hulga elemente tähistatakse väikeste tähtedega a; b; c; …


Hulk võib olla:


Hulkade esitamine

  • loetelu

    A = {kevad; suvi; sügis; talv}

  • eeskiri

    X = {x|x on positiivne arv}

    • kõikide selliste x-de hulk, mille korral x on positiivne arv

  • Hulga elemendid asetatakse loogeliste sulgude { } sisse


Venni diagramm

  • Kasutatakse hulkade graafiliseks kujutamiseks

  • eraldiseisvad hulgad A ja B

  • hulkadel C ja D on ühiseid elemente

A

B

C

D


Elemendi kuuluvus hulka

Kui on antud hulk

S = {a; e; i; o; u; õ; ä; ö; ü}, siis

aStS

oSvS

  • Elemendi kuuluvust hulka märgitakse sümboliga  (kuulub hulka) ja mitte-kuuluvust sümboliga  (ei kuulu hulka)


Hulkadevahelised seosed

hulkade võrdsus

osahulk

hulkade ühisosa

hulkade ühend


Hulkade võrdsus

  • Ühtedest ja samadest elementidest koosnevaid hulki nimetatakse võrdseteks

    • Hulkade võrdsuse tähistamiseks kasutatakse sümbolit =

      On hulgad

      X={0; 1; 2; 3; 4}

      Y={4; 3; 2; 1; 0}

      Nendel hulkadel on ühed ja samad elemendid, seega X = Y


Osahulk

  • Kui ühe hulga iga element kuulub teise hulka, siis nimetatakse esimest hulka teise osahulgaks

    On hulgad

    A={3; 5; 8}

    B={2; 3; 4; 5; 8}

    C={2; 3; 7}

    • Et hulga A iga element kuulub ka hulka B, siis hulk A on hulga B osahulk AB.

    • Et hulga C iga element ei kuulu hulka B, siis hulk C ei ole hulga B osahulk CB.

K

L


Hulkade ühisosa

  • Kahe hulga kõigi ühiste elementide hulka nimetatakse nende hulkade ühisosaks

    On hulgad

    B = {2; 3; 4; 5; 8}

    C={2; 3; 7}

    • Hulkade C ja B ühisosa on hulk, kus on kõik hulga B elemendid, mis kuuluvad ka hulka C

      C  B = {2; 3}

    • Kui element 2 on hulkade B ja C ühine element, siis kirjutatakse 2B Λ 2C

      • sümbol Λtähendab sidesõna ja


Hulkade ühend

  • Kõigi elementide hulka, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast, nimetatakse nende hulkade ühendiks

    On hulgad

    B = {2; 3; 4; 5; 8}

    C = {2; 3; 7}

    • Hulkade B ja C ühend on hulk, kus on kõik hulga B elemendid ja lisaks veel hulgast C need elemendid, mida hulgas B ei ole

      B  C={2; 3; 4; 5; 7; 8}

    • Kui element 7 kuulub vähemalt ühte hulkadest B või C, siis kirjutatakse 7B V 7C

      • sümbol V tähendab sidesõna või


Ühendi ja ühisosa moodustamisel on omadusi, mis on samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega

Seepärast nimetatakse ühendi ja ühisosa moodustamist ka teheteks hulkadega


Jäta meelde sümbolid

  •  - element kuulub hulka

  •  - element ei kuulu hulka

  •  - tühihulk

  • A  B – hulk A on hulga B osahulk

  • C  B – hulk C ei ole hulga B osahulk

  • A  B – hulkade A ja B ühisosa

  • A  B – hulkade A ja B ühend

  • Λ - sidesõna ja

  • V – sidesõna või


Arvuhulgad


Naturaalarvude hulk

  • Naturaalarvud on tekkinud esemete loendamise vajadusest

  • Naturaalarvud on 1; 2; 3; …; n –1; n; n + 1; …

  • Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N


Naturaalarvude hulga omadused

  • Igale naturaalarvule järgneb vahetult üks naturaalarv

  • Naturaalarvude hulk on lõpmatu

  • Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes

    • hulk on kinnine mingi tehte suhtes, kui selle hulga liikmetega tehtud tehte tulemus kuulub samasse hulka

  • Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise ja jagamise suhtes


Täisarvud

  • Naturaalarvude hulga N täiendamisel arvuga 0 ja arvude 1; 2; 3;…; n – 1; n; n + 1; … vastandarvudega saame täisarvude hulga

  • Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z

  • Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse Z+

  • Negatiivsete täisarvude hulka tähistatakse Zˉ

  • Z = {0; ±1; ±2; ±3;…}


Täisarvude hulga omadused

  • Täisarvude hulk on järjestatud

  • Täisarvude hulgas ei ole suurimat ja vähimat arvu

  • Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes


Ratsionaalarvud

  • Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena

  • a/b, (b  0)

  • Kõik täis- ja murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse ratsionaalarvude hulgaks

  • Ratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega Q


Arvuhulgad

  • N Z  Q

rr

Ratsionaalarvud

Täisarvud

Naturaalarvud


Irratsionaalarvude hulk

  • Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks

  • Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I

  • Näited: ; e; ; …

    • arv e, nn Euleri arv Šveitsi matemaatiku Leonhard Euleri auks

    • e = 2,71828182845904523536 …


Reaalarvude hulk

  • Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad reaalarvude hulga

  • Reaalarvude hulka tähistatakse tähega R

  • Def. Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks


Reaalarvude hulga omadused

  • Reaalarvude hulk on pidev

  • Reaalarvude hulk on järjestatud, s.t. iga kahe erineva reaalarvu a ja b korral on õige üks väidetest: kas a b või b  a

  • Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise suhtes


  • Login