第四章  特征值与特征向量的计算
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第四章 特征值与特征向量的计算. §3 QR 方法. 用途:. 目前计算一般中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效的方法。. 可以证明 : 对任意 n 阶实矩阵都可分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的乘积. 故, 它们具有相同的特征值。. 可以证明, OR 方法的收敛性结论:. 如果矩阵. 的等模特征值中只有实特. 征值或共轭复特征值,. 则基本 QR 方法产生的序列. “ 基本 ” 收敛于一个上三角(或分块上三角)矩阵。.

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第四章 特征值与特征向量的计算

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Presentation Transcript


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第四章 特征值与特征向量的计算

§3 QR方法

用途:

目前计算一般中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效的方法。


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可以证明: 对任意n阶实矩阵都可分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积.

故,它们具有相同的特征值。


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可以证明,OR方法的收敛性结论:

如果矩阵

的等模特征值中只有实特

征值或共轭复特征值,

则基本QR方法产生的序列

“基本”收敛于一个上三角(或分块上三角)矩阵。

即主对角线(或主对角线子块)及其以下元素均收敛,以上元素可以不收敛。其对角块均为一阶子块或二阶子块。并且,对角块中的每个一阶子块给出A的实特征值,每一个二阶子块出A的一对共轭复特征值。

收敛于

特别地,如果A是实对称矩阵,则

对角矩阵。

其主对角元即A的特征值的近似。


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基本QR方法的主要运算是进行QR分解,分解的

方法很多,例如,可以利用Schmit正交化方法。

设A 为n阶非奇异矩阵,对其进行列分块:

显然,

再取


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一般地,取:

则向量组

正交,且

式(4-19)可改写为


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于是,

O


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基本QR方法的缺点:

每次迭代都需做一次QR分解,计算量太大,收敛速度慢。

解决方法:

实际使用QR方法时,通常先用一系列相似变换先将A化为拟上三角矩阵,再使用基本QR方法。

将A拟上三角化的常用方法

---- Householder变换法。


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4.3.2 Householder变换

为Householder矩阵或反射矩阵。


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Householder矩阵的性质:

w

如图

x


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定理4.2

证明:由性质4容易得出,对任意的

故要使(4-22)成立,应取


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由2-范数的定义,


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代入式(4-24)即得

在定理4.2中,取 可知,对任一非零向量x, 可构造矩阵H 使得

在实际计算中,若

从而在计算w时会产生较大的相对误差.


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通常取

使得Householder 矩阵 H 将x 变成与 ei 共线的向量,即


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4.3.3 化一般矩阵为拟上三角矩阵

如果次对角元

全不为零,

称为不可约Hessenberg矩阵。


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下面考虑将一般矩阵A化为拟上三角矩阵。

将矩阵A分块为

其中


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使得


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类似地,可构造

使得


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如此利用n-2个Householder矩阵,使得

其中H为拟上三角矩阵。

例7用Householder变换将矩阵

化成拟上三角阵。


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解 因为

由(4-27)得

使


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由式(4-25),取


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于是有

(Householder矩阵)


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4.3.4 拟上三角矩阵的QR分解

利用n-1次旋转变换(Givens)变换,可将H 化为上三角矩阵,从而得到H 的QR分解式.具体如下:


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(否则进行下一步),取旋转矩阵

其中,


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(否则进行下一步),再取旋转矩阵

其中,


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假设上述过程进行了k-1步,有


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, 取

其中


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于是,


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因此,最多经过n-1次旋转变换,即得

是正交阵.


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这一过程的运算量越为

比一般矩阵的QR分解的运算量

少了一个数量级.

通常用QR方法求特征值,再有反幂法求其相应的特征向量.


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课本P94

例8用QR方法求矩阵

的全部特征值。


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解:

第一步,将A化为拟上三角矩阵。


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于是,

(拟上三角矩阵)


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第二步,将H进行QR分解。

,按式(4-28)


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于是,


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再取


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于是,


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第一次迭代得

重复以上过程,迭代11次得


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所以,A的特征值为

准确值

此时,

的下三角非对角元的最大模为0.007496,

故QR方法“基本”收敛的速度较慢!


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4.3.5 带原点移位的QR方法

结论:若矩阵A的特征值满足:

时,则

的右下角对角元素

且收敛速度是线性的,速率为

加速:

取位移

,使得


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这样,对

用QR方法可以加快收敛速度

----带原点移位的QR方法。


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带原点位移的QR 方法的步骤:

(1) 用Householder变换将矩阵A化为拟上三角矩阵H。


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P99 习题四

1,5,9(1),12(1)

作业:


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