Dane INFORMACYJNE :

2. Dane INFORMACYJNE : • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu • ID grupy: 98/14_mf_g2 • Opiekun: Elżbieta Fietz • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: Geometria trójkąta • Semestr/rok szkolny: V/20011/2012

3. Trójkąty - wstęp • Trójkąt– wielokąt o trzech bokach .Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki. • Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami. • W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności.

4. Nierówność trójkąta

5. Trójkąty - podział • Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się: • - trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości; • - trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; • - trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.

6. Trójkąty – podział Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się: - trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre; - trójkątny prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty(a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej; - trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

7. Wysokości trójkąta • Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku.Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum (p.O).

8. Środkowa Trójkąta

9. Odcinki łączące środki boków trójkąta Odcinki łączące środki boków trójkąta są równoległe do przeciwległych boków i równe ich połowie.

10. Dwusieczne kątów trójkąta • Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy.Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt.

11. Twierdzenie o dwusiecznej

12. Symetralne boków trójkąta Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek.Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła opisanego na tym trójkącieŚrodek O koła opisanego na trójkącie może leżeć wewnątrz lub na zewnątrz trójkąta, a w przypadku trójkąta prostokątnego na jego boku (w połowie przeciwprostokątnej).Trójkąty nie mają środka symetrii.

13. Dla dowolnego trójkąta zachodzi: • P - pole trójkąta,Ob - obwód trójkąta,|a - b| < c < a + b,α + β + δ = 180°, Ob = a + b + c, P=12ahP=12absinγ =12bcsinα =12acsinβ ,P= p(p-a) (p-b) (p-c) ,     gdzie p=12 (a+b+c) , (wzór Herona) R= abc 4P ,     (promień okręgu opisanego), r= Pp ,     (promień okręgu wpisanego).

14. Trójkąt Równoramienny • Trójkąt, którego dwa boki są równej długości nazywamy trójkątem równoramiennym. |AC| = |CB| • Boki równe nazywamy ramionami, trzeci bok nazywamy podstawą. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają tę samą miarę. α = β.Trójkąt równoramienny posiada co najmniej jedną oś symetrii przecinającą podstawę w połowie długości oraz przechodzącą przez wierzchołek kąta łączącego ramiona.

15. Trójkąt Równoramienny W trójkącie równoramiennym dwie wysokości są równe. Trzecia wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części, a półprosta, w której leży ta wysokość, dzieli kąt między ramionami trójkąta na dwa kąty o równych miarach Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii i jest ona jednocześnie dwusieczną kąta zawartego między ramionami oraz pokrywa się z wysokością figury.

16. Trójkąt Równoboczny Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, które są jednocześnie dwusiecznymi kątów, wysokościami, symetralnymi i środkowymi boków figury.

17. Trójkąt równoboczny Trójkąt, który ma wszystkie boki równej długości nazywamy trójkątem równobocznym. Trójkąt równoboczny to szczególny trójkąt który posiada takie oto własności:- wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°,- wysokość trójkąta równobocznego h=a32, - wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne,- wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta,- wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1:2,- punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie,- promień okręgu wpisanego w trójkąt r=13h lub r=a36, - promień okręgu opisanego na trójkącie R=23h lub R=a33, - pole trójkąta P=12ah lub P=a23 4.

18. Trójkąt Ostrokątny • Trójkąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne ostre nazywamy trójkątem ostrokątnym. • α < 90°β < 90°γ < 90° • Wysokości w trójkącie ostrokątnym przecinają się w punkcie, który leży wewnątrz trójkąta.

19. Trójkąt Prostokątny • Trójkąt, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty nazywamy trójkątem prostokątnym. • Dwa boki trójkąta leżące obok kąta prostego nazywamy przyprostokątnymi, a trzeci bok nazywamy przeciwprostokątną.Trójkąt prostokątny spełnia Twierdzenie Pitagorasa • α+ β= 90°Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego wysokościami. • Zależności w trójkącie prostokątnym:ac=sinα, bc=cosα, ab=tgα, ba=ctgα,  • Jeżeli kąty ostre trójkąta prostokątnego są równe 30° i 60°, to jego przeciwprostokątna • jest dwa razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30°.

20. Trójkąt rozwartokątny • Trójkąt, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest rozwarty nazywamy trójkątem rozwartokątnym. • α + β < 90° • γ > 90° • Wysokości w trójkącie rozwartokątnym przecinają się w punkcie, który leży poza trójkątem.

21. Cechy podobieństwa Trójkątów Cechy podobieństwa trójkątów, to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne. Podobieństwo trójkątów oznaczamy symbolem ~. Istnieją trzy cechy podobieństwa trójkątów: 1) bok,bok,bok 2) kąt, kąt, kąt 3) bok, kąt, bok

22. I cecha podobieństwa trójkątów • b'b = a'a = c'c = k k - skala podobieństwaΔABC ~ ΔA'B'C' Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

23. II cecha podobieństwa trójkątów • α = α'β = β'ΔABC ~ ΔA'B'C'  • Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

24. III cecha podobieństwa trójkątów • α = α'b'b = a'a ΔABC ~ ΔA'B'C' Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.

25. Cechy przystawania trójkątów Cechy przystawania trójkątów, to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były przystające, czyli takie same. Przystawanie figur geometrycznych oznaczamy symbolem ≡.

26. I CECHa PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW • a  = a'b =b'c = c'ΔABC ≡ ΔA'B'C' Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

27. I ICECHa PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW • α = α'b = b'c = c'ΔABC ≡ ΔA'B'C' Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

28. I IICECHa PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW • α = α'c = c'β = β'ΔABC ≡ ΔA'B'C' Jeżeli długość boku i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe długości boku i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

29. TWIERDZENIE PITAGORASA • Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.a2 + b2 = c2

30. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

31. Wzory na długość boków trójkąta prostokątnego

32. Pole trójkąta pole

33. Wyprowadzenie wzoru na pole tego trójkąta

34. Trójkąt o kątach : 30,60,90 stopni • Na poniższym rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny, w którym dwa pozostałe kąty mają miary 30 i 60 stopni. 

35. Wzór na pole tego trójkąta wyprowadzamy ze znanego wzoru na pole trójkąta:  Obwód tego trójkąta :

36. Dwie wysokości omawianego trójkąta zawierają się w jego przyprostokątnych. Długość trzeciej wysokości h (poprowadzonej z wierzchołka kąta 90 stopni) obliczymy korzystając z wzoru na pole trójkąta: 

37. OKRĄG OPISANY NA TRÓJKACIE • - Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta. - Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej. - Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny pokrywają się.

38. Promień okręgu wpisanego: • Promień okręgu opisanego: • Zależność między obydwoma promieniami:

39. Trójkąt równoramienny

40. Trójkąt równoboczny

41. Wyprowadzenie wzoru na wysokość trójkąta równobocznego

42. Wyprowadzenie wzoru na pole trójkąta równobocznego

43. Wyprowadzenie wzoru na odcinki, na jakie jest podzielona wysokość

44. Twierdzenie cosinusów - Carnota • W każdym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków minus podwojony iloczyn długości tych boków i cosinus kąta zawartego między nimi. • .

45. Jeżeli w trójkącie znane są długości boków a i b i miara kąta , to długość trzeciego boku trójkąta i miarę kąta  oblicza się stosując twierdzenie cosinusów. Mając dane trzy boki trójkąta można wyznaczyć wszystkie kąty w trójkącie. • Wzór Carnota jest uogólnieniem  twierdzenia Pitagorasa

46. Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snelliusa) • W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

47. W dowolnym trójkącie znane są: długości jednego boku a i miary kątów β,Ɣ. Miara trzeciego kąta α jest równa : • ponieważ suma kątów trójkąta jest równa 180°. Do obliczenia długości pozostałych boków b i c stosuje się twierdzenie sinusów. •  Twierdzenie sinusów stosuje się również wtedy, gdy znamy dwa boki trójkąta i kąt leżący naprzeciw jednego z nich.

48. Wtedy pole s dowolnego trójkąta oblicza się wg wzoru:

49. Twierdzenie Stewarda • Twierdzenie geometrii płaskiej dotyczące związku między długościami boków trójkąta a tzw. czewianą. • Twierdzenie udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka • Matthew Stewarta w roku 1746.

50. Niech a, b, i c będą długościami boków trójkąta. Niech d będzie dowolnym odcinkiem (czewianą) łączącym wierzchołek naprzeciwko boku długości a z punktem na tym boku. Niech czewiana dzieli bok a na dwa odcinki o długościach m i n. Wówczas twierdzenie Stewarta mówi, że: