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Sumário e Objectivos

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Sumário e Objectivos. Sumário : Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga simétrica em flexão pura. Eixo Neutro. Momento de Inércia.

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sum rio e objectivos
Sumário e Objectivos

Sumário:Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga simétrica em flexão pura. Eixo Neutro. Momento de Inércia.

Objectivos da Aula:No final da aula ser capaz de determinar a forma como se distribuem as tensões axiais em vigas planas e a grandeza das referidas tensões.

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo de estrutura
Exemplo de Estrutura

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo de estrutura de ve culo
Exemplo de Estrutura de Veículo

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

estrutura de madeira
Estrutura de Madeira

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

estrutura de bicicleta
Estrutura de Bicicleta

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

sistema de eixos
Sistema de Eixos

y

Ox – Eixo da Viga

x

O

y

Secção na Origem

z

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

vigas flectidas
Vigas Flectidas

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

fibra flectida
Fibra Flectida

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

curvatura
Curvatura

As fibras da viga deformam-se e no processo de deformação passam de elementos lineares rectilíneos a elementos lineares curvos com um certo raio de curvatura, no caso de se admitirem condições de flexão plana, o elemento linear inicial e o elemento linear deformado estão contidos num mesmo plano e a curva da fibra flectida é uma curva plana, nestas condições e de acordo com a figura anterior a curvatura da curva deformada num ponto pode ser definida como sendo:

que representa o inverso do raio de curvatura R=OC, ou seja a curvatura k é tal que k=1/R

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

hip tese de euler bernoulli 1705
Hipótese de Euler – Bernoulli(1705)

Secções rectas da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo flectido da viga.

Esta hipótese é devida a Bernoulli (1705) e é considerada fundamental no desenvolvimento da teoria das vigas à flexão, válida no caso de se tratarem de vigas finas. Nestas condições os segmentos inicialmente lineares e perpendiculares ao eixo da viga permanecem lineares e perpendiculares ao eixo flectido da viga.

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

viga em flex o pura
Viga em Flexão Pura

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

elemento na configura o deformada e inicial
Elemento na configuração Deformada e Inicial

As fibras a uma distância y do eixo da viga têm na configuração deformada um raio de curvatura R-y, como se representa na figura anterior. Nestas condições a diferença de comprimentos na configuração deformada, entre os segmentos g´h´ e e´f´ , designada por d , pode ser facilmente calculada, tendo em conta que o comprimento do segmento g´h´ é: ds´=(R-y)dq, ou seja

ou

d =(R-y)dq-Rdq=-ydq

Deformação:

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 10 1
Exemplo 10.1

Considere a viga representada na figura seguinte e sujeita a momentos nos extremos, M, cuja secção é rectangular com as dimensões indicadas na referida figura. No caso da deformação máxima admissível antes de ocorrer a cedência plástica ser de 2 , determine o raio de curvatura da superfície média flectida e a mudança de ângulo entre os extremos da viga deformada.

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

viga em flex o pura com sec o rectangular
Viga em Flexão Pura com Secção Rectangular

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo10 1 resolu o
Exemplo10.1- Resolução

Tendo em conta que

Obtém-se

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

distribui o de tens es e condi es de equil brio 1
Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio -1

As tensões estão distribuídas na secção e têm a direcção do eixo dos xx e devem estar em condições de equilíbrio estático, como não existem forças axiais aplicadas, só existem momentos, a resultante das tensões distribuídas na secção deve ser igual a zero, ou seja

ou

ou

=

= 0

= 0

ou seja a origem deve coincidir com o centro de gravidade da Secção

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

slide17

Distribuição de Tensões na Secção

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

distribui o de tens es e condi es de equil brio 2
Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio -2

Equilíbrio de Momentos

Ou seja

sendo

ou

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

rela o tens o momento aplicado
Relação Tensão – Momento Aplicado

Flexão no plano Oxy

Flexão no plano Oxz

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

momentos e sistema de eixos
Momentos e Sistema de Eixos

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 12 2
Exemplo 12.2

Determine a tensão longitudinal ou axial máxima a que a viga está sujeita

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 12 2 resolu o
Exemplo 12.2 - Resolução

Reacções

0<x<2

2<x<4

Momentos

O momento máximo ocorre para x=2 e é M=22kN.m

A tensão longitudinal máxima ocorre na secção que corresponde ao momento máximo e nas fibras mais afastadas do centro de gravidade, ou seja para x=2m e y=250mm, sendo

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 10 3
Exemplo 10.3

Considere a viga em consola representada na figura e admita que é construída utilizando um aço cujo peso específico é

de 77.0 kN/ . A viga está sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre de 7kN. A secção da viga é uma secção em I como se representa na figura. Determine a tensão longitudinal máxima instalada na viga.

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 10 3 resolu o
Exemplo 10.3 - Resolução

Considere-se o Princípio da Sobreposição de Efeitos e estude-se separadamente o efeito do peso próprio e o efeito da carga concentrada na extremidade livre.

p=77.0A=77.0(0.0080.142+0.1840.006)= 0.2575kN/m

Peso Próprio

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 10 3 resolu o1
Exemplo 10.3 - Resolução

O momento máximo resultante da carga concentrada ocorre no encastramento

M=PL=42kN.m

A tensão longitudinal total instalada é:

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 10 4
Exemplo 10.4

Considere a viga simplesmente apoiada com um tramo em consola, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de secção em como se representa na figura. Um extensómetro localizado em B indica que este ponto está sujeito a uma extensão de compressão de 8. Determine a intensidade da carga uniformemente distribuída. Considere o módulo de Young, E=210 GPa.

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 10 4 resolu o
Exemplo 10.4-Resolução

Reacções

Momento em AC

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

slide28

Exemplo 10.5

Considere a viga simplesmente apoiada de secção tubular representada na figura, a viga está sujeita a uma carga distribuída como se representa na figura. A secção tem as dimensões representadas. Determine a intensidade da carga distribuída de tal modo que as tensões longitudinais (axiais) máximas instaladas sejam de 150Mpa.

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 10 5 resolu o
Exemplo 10.5-Resolução

Reacções

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

exemplo 10 5 resolu o1
Exemplo 10.5-Resolução

Como o momento é 6.0p, conclui-se que a carga p é:

p=24.46kN/m

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

problemas propostos

200mm

40mm

20mm

20mm

20mm

100mm

150mm

80mm

40mm

80mm

100mm

Problemas Propostos

1.Considere vigas cujas secções têm a forma indicada nas figuras anexas e determine o momento máximo que as secções das vigas podem suportar no caso da tensão longitudinal ou axial máxima admissível ser de165MPa.

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

problemas propostos1

Extensómetro

3mm

3P

P

P

A

4mm

16mm

50mm

4mm

100mm

100mm

100mm

100mm

14mm

Problemas Propostos

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

problemas propostos2

y

a

z

z

a

a

a

Problemas Propostos

3. Pretende-se construir uma viga de secção quadrangular, como se representa na figura. Considerando duas posições possíveis para a secção da viga, as posições representadas na figura, indique qual das secções permite maiores momentos no caso da flexão ocorrer no plano Oxy e das tensões máximas na viga serem de igual valor nas duas secções.

y

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

problemas propostos3

110mm

P

30mm

30mm

230mm

1m

2m

Problemas Propostos

4. Considere a viga representada na figura cuja secção tem a forma de um T. O material da viga tem uma tensão de cedência à tracção de 20MPa e uma tensão de cedência à compressão de 40MPa. Determine a carga P (sentido positivo do eixo dos yy ou sentido negativo do eixo dos yy) que pode ser aplicada no caso de se considerar um coeficiente de segurança de 1.5. O ponto de aplicação da carga é o que se representa na figura

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

problemas propostos4

30mm

40mm

100mm

30mm

120mm

Problemas Propostos

5. Considere uma viga de Secção em I, como se representa na figura. Numa Secção da viga está aplicado um momento de 100kNm, determine nessa secção a resultante das forças de tracção e compressão

150mm

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

resolu o do problema 1 determina o da posi o do centro de gravidade

200mm

20mm

20mm

100mm

80mm

100mm

Resolução do Problema 1ª) Determinação da posição do centro de Gravidade

A1

A2

y1

y2

A3

y3

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

resolu o do problema 1 determina o do momento de in rcia i z

200mm

20mm

20mm

100mm

80mm

100mm

Resolução do Problema 1ª) Determinação do Momento de Inércia Iz

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

resolu o do problema 1 determina o da tens o axial
Resolução do Problema 1ª) Determinação da Tensão Axial

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

resolu o do problema 1b determina o da posi o do centro de gravidade

40mm

20mm

150mm

40mm

80mm

Resolução do Problema 1b) Determinação da posição do centro de Gravidade

A Secção é simétrica portanto o centro de Gravidade fica no Centro da Secção.

Mecânica dos Sólidos e Estruturas

10ªAula

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