1 / 24

Seminar in Algorithms Spanners

Liam Roditty. Seminar in Algorithms Spanners. מידע כללי. 12 הרצאות – נוכחות חובה ההרצאות נעשות ביחידים כל הרצאה תסקור מאמר אחד או שניים המאמרים לפי סידרם מופיעים באתר: http://www.cs.biu.ac.il/~liamr/ יש לבחור מאמר בהקדם האפשרי. מידע כללי.

duman
Download Presentation

Seminar in Algorithms Spanners

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Liam Roditty Seminar in Algorithms Spanners

  2. מידע כללי • 12 הרצאות – נוכחות חובה • ההרצאות נעשות ביחידים • כל הרצאה תסקור מאמר אחד או שניים • המאמרים לפי סידרם מופיעים באתר: http://www.cs.biu.ac.il/~liamr/ • יש לבחור מאמר בהקדם האפשרי

  3. מידע כללי • הסמינר מיועד בעיקר למי שמתעניין באלגוריתמים לגרפים. • הסמינר יסקור מאמרים חדשים בתחום כמו גם מאמרים קלאסיים. • למעוניינים בעבודת תזה סמינר זה מציע בעיות למחקר

  4. מידע כללי • מומלץ להשתתף באופן פעיל בסמינר. • המאמרים קשורים אחד לשני לכן החשיבות הרבה של הנוכחות הפעילה בסמינר. • שאילת שאלות לא תפגע במרצה גם אם אינו יודע את התשובה!

  5. הנחיות להכנת ההרצאה • המאמרים שמופעים ברשימה הם תאורתיים ודורשים זמן הבנה ממושך ביותר • הבנה עמוקה של המאמר היא הכרחית לבניית הרצאה טובה ומובנת. לכן יש להקדיש זמן רב להבנת המאמר. • מומלץ להשתמש בכלי מצגות על מנת לבנות את ההרצאה • מומלץ להיעזר בציורים אשר יכולים להקל על ההבנה • במאמרים ארוכים יתכן ויהיה צורך להתמקד בחלק מסוים של המאמר יש לעשות זאת בתיאום איתי. • חובה להתכונן על ההרצאה מראש ולקבל אומדן של משך הזמן שתמשך ההרצאה.

  6. Based on a Lecture of Uri Zwick Tel Aviv University Approximate All-Pairs shortest pathsApproximate distance oraclesand Spanners Summer School on Shortest Paths (PATH05)DIKU, University of Copenhagen

  7. Spanners Given an arbitrary dense graph, can we always find a relatively sparse subgraph that approximatesall distances fairly well?

  8. Spanners [PU’89,PS’89] Let G=(V,E) be a weighted undirected graph. A subgraph G’=(V,E’) of G is said to be a t-spannerof G iff δG’ (u,v) ≤ t δG (u,v) for every u,v in V. Theorem: Every weighted undirected graph has a (2k-1)-spanner of size O(n1+1/k).[ADDJS ’93] Furthermore, such spanners can be constructed deterministically in linear time. [BS ’04] [TZ ’04] The size-stretch trade-off is essentially optimal.(Assuming there are graphs with (n1+1/k) edges of girth 2k+2, as conjectured by Erdös and others.)

  9. Additive spanner An estimated distance ’(u,v)is of surplust iff (u,v)  ’(u,v)  (u,v) + t

  10. Existence Proof / Construction Algorithm[Althöfer, Das, Dobkin, Joseph, Soares ‘93] • Consider the edges of the graph in non-decreasing order of weight. • Add each edge to the spanner if it does not close a cycle of size at most 2k. • The resulting graph is a (2k-1)-spanner. • The resulting graph does not contain a cycle of size at most 2k. • Hence the number of edges in it is at most n1+1/k.

  11. w1 w2  … w2k-1 w2k w2k w2k-1 … w1 w4 w3 w2 If |cycle|2k, then red edge can be removed.

  12. The Greedy-Spanner algorithm Naïve implementation takes mn^(1+1/k) How?

  13. The Greedy-Spanner algorithm Improved implementation takes n^(2+1/k) Using Incremental APSP.

  14. Approximate Distance Oracles (TZ’01) n by ndistancematrix APSPalgorithm mn timen2 space Compact datastructure Weightedundirected graph mn1/ktimen1+1/k space Stretch-Space tradeoff is essentially optimal! u,v δ’(u,v( O(1) querytime stretch 2k-1

  15. Approximate Distance Oracles [TZ’01]A hierarchy of centers A0V ; Ak  ;Ai sample(Ai-1,n-1/k) ;

  16. A0=A1=A2= Bunches p2(v) v p1(v)

  17. Lemma: E[|B(v)|] ≤ kn1/k Proof:|B(v)Ai| is stochastically dominated by a geometric random variable with parameter p=n-1/k.

  18. The data structure • Keep for every vertex vV: • The centers p1(v), p2(v),…, pk-1(v) • A hash table holding B(v) For every wV, we can check, inconstant time, whether wB(v), and if so, what is (v,w).

  19. Query answering algorithm Algorithm distk(u,v) wu , i0 while wB(v) { i i+1 (u,v) (v,u) w pi(u) } return (u,w)+ (w,v)

  20. Query answering algorithm w3=p3(v)A3 w2=p2(u)A2 w1=p1(v)A1 v u

  21. Analysis wi=pi(u)Ai Claim 1: δ(u,wi) ≤ iΔ , i evenδ(v,wi) ≤ iΔ , i odd wi-1=pi-1(v)Ai-1 (i+1) i i Claim 2: δ(u,wi)+δ(wi,v) ≤ (2i+1)Δ (i-1) ≤ (2k-1)Δ v u 

  22. Where are the spanners? Define clusters, the “dual” of bunches. For every uV, put in the spanner a tree of shortest paths from u to all the vertices in the cluster of u.

  23. A0=A1=A2= Clusters w

  24. Bunchesandclusters

More Related