云南农业大学经济管理学院主讲 : 佘迎红

云南农业大学经济管理学院 主讲: 佘迎红 E-mail: sheyinghongkm@yahoo.com.cn Tel: 13888581179

第3章整数规划 Integer Programming 3.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP 3.2 整数规划的求解 Solving Integer Programming 3.3 0－1规划的求解 Solving Binary Integer Programming

3.1整数规划的数学模型 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变量 x，当x=1表示投资，x=0表示不投资。纯整数规划(IP)：xj全部取整数混合整数规划(MIP)：xj部分取整数 0-1整数规划(BIP)：整数变量只能取0或1 分类

3.1整数规划的数学模型 【例3-1 】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表3-1所示。问两种物品各装多少件，才能使所装物品的总价值最大？表3-1 【解】设甲、乙两种物品各装x1、x2件，则数学模型为： (3-1)

3.1整数规划的数学模型 【补充例】投资决策问题。某公司有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益如下表该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下约束：（1）在项目1、2和3中必须且只有一项被选中；（2）项目3和项目4最多只能选中一项；（3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，使投资收益最大？

3.1 整数规划的数学模型 【解】设xj为选择第 j（j=1,2,3,4,5)个项目的决策

3.1整数规划的数学模型 【例3-2 】在例3-1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为12公斤，其体积是0.02m3。背包和旅行箱只能选择其一，建立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大。（1）所装物品不变；（2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，每件物品的重量、体积和价值如下表所示

3.1整数规划的数学模型 【解】（1）引入0－1变量 yj，令 j=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。 (3-2) 此问题也可以建立两个整数规划模型。

背包约束 旅行箱约束 3.1整数规划的数学模型（2）由于不同载体所装物品不一样，数学模型为其中M为充分大的正数。当使用背包时( y1=1, y2=0 )，式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时( y1=0, y2=1 )，式(a)和(c)是多余的。

3.1 整数规划的数学模型 同样可以讨论对于有m个条件互相排斥、有m （≤m、≥m）个条件起作用的情形。（1）右端常数是k个值中的一个时，类似式(3-2)的约束条件为

3.1整数规划的数学模型 （2）对于m 个（组）条件中有k（≤m）个（组）起作用时，类似式(3-3)的约束条件写成这里yi=1表示第 i 组约束不起作用（如y1=1式(3-3b)、(3-3d)不起作用），yi=0表示第 i个约束起作用。当约束条件是“≥”符号时右端常数项应为

或 3.1整数规划的数学模型【例3-3】试引入0－1变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件（1）x1+x2≤6或4x1+6x2≥10或2x1+4x2≤20 （2）若x1≤5，则x2≥0，否则x2≤8 （3）x2取值0，1，3，5，7 如果要求至少一个条件满足，模型如何改变？【解】（1）3个约束只有1个起作用

3.1 整数规划的数学模型 （2）两组约束只有一组起作用 (1) (2) (3) (4) （3）右端常数是5个值中的1个

3.1 整数规划的数学模型 【例3-4】企业计划生产4000件某种产品，该产品可自己加工、外协加工任意一种形式生产。已知每种生产的固定费用、生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量（件）限制如表3－2所示，怎样安排产品的加工使总成本最小。表 3－2

3.1整数规划的数学模型 【解】设xj为采用第 j（j=1,2,3）种方式生产的产品数量，生产费用为其中kj是固定成本，cj是可变成本。设0－1变量yj

3.1整数规划的数学模型 配合目标，使得只有选用第j 种加工方式才产生相应成本，不选用第j 种加工方式就没有成本。（3-4）用WinQSB软件求解得到： X＝(0，2000，2000)T ，Y＝(0，1，1)T，Z=25400

3.1整数规划的数学模型 整数规划的一般形式：（Ⅰ）部分或全部取整称线性规划模型 (LP) （Ⅱ）为（Ⅰ）的松弛问题。每一个整数规划都对应一个松弛问题，整数规划比它的松弛问题约束得更紧。

本节学习要点 3.1 整数规划的数学模型 1. 整数规划模型的特征 2. 什么是纯（混合）整数规划 3. 0－1规划模型的应用下一节：纯整数规划的求解

3.2整数规划的求解 整数规划解的特点 • 整数规划（Ⅰ）的可行解集是其松弛问题（Ⅱ）的可行解集的子集。线性规划问题的可行解集是一个凸集（稠密的），但整数规划的可行解集不是凸集（离散型）。 • 如果松弛问题（Ⅱ）的最优解是整数解，则一定是整数规划（Ⅰ）的最优解。 • 整数规划（Ⅰ）的最优值不会优于松弛问题（Ⅱ）的最优值。

x2 A 10 松弛问题的最优解X=(3.57, 7.14), z=35.7 B C x1 o 8.33 10 图3-1 3.2整数规划的求解用图解法求解例3-1的松弛问题点B为最优解 X＝(3.57，7.14) Z＝35.7 整数规划问题的可行解集是图中可行域内的整数点。图3-1

x2 A 10 松弛问题的最优解X=(3.57, 7.14), z=35.7 B C x1 o 8.33 10 图3-1 3.2 整数规划的求解 • 松弛问题的最优解 X＝(3.57，7.14)， Z＝35.7 • “四舍五入”得 X=(4,7) 不是可行解； • 用“取整”法来解时，X=(3,7)虽属可行解，但代入目标函数得Z=33, 并非最优。 • 该整数规划问题的最优解是X=(5,5)，最优值是Z=35 即甲、乙两种物品各装5件，总价值35元。由图3－1知，点（5，5）不是LP可行域的顶点，直接用图解法或单纯形法都无法求出整数规划问题的最优解，因此求解整数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法。

3.2.1分支定界法 【例3-5 】用分支定界法求解例3-1 【解】先求对应的松弛问题用图解法得到最优解X＝（3.57,7.14）, Z0=35.7

3.2.1 分支定界法 x2 A 10 松弛问题LP0的最优解X=(3.57, 7.14), Z0=35.7 B C x1 o 8.33 10

x2 ① ② A LP1:X=(3, 7.6), Z1=34.8 10 B LP2:X=(4, 6.5), Z2=35.5 LP1 LP2 C 0 10 x1 4 3

LP3 ① ② A LP1:X=(3, 7.6), Z1=34.8 10 B 7 6 LP3:X=(4.33, 6), Z3=35.33 LP1 LP2 C 0 10 x1 x1 3 4

① ② A LP1:X=(3, 7.6), Z1=34.8 10 LP3 B 7 6 LP1 LP2 C 0 10 x1 x1 4 3 LP5 LP4:X=(4, 6), Z4=34 LP5:X=(5, 5), Z5=35 此为原IP最优解 x1 x1 5

3.2.1分支定界法 尽管LP1的解中x2不为整数，但Z5≧Z1，因此LP5的最优解就是原整数规划的最优解。若Z5≦Z1，则要对LP1进行分支。

3.2.1分支定界法 上述分枝过程可用下图表示 LP0: X=(3.57, 7.14),Z0=35.7 x1≤3 x1≥4 LP1: X=(3, 7.6) Z1=34.8 LP2: X=(4, 6.5) Z2=35.5 x2≥7 x2≤6 LP3: X=(4.33, 6) Z3=35.33 无可行解最优解 x1≥5 x1≤4 LP4: X=(4, 6) Z4=34 LP5: X=(5, 5) Z5=35

3.2.1分支定界法 分支定界法的步骤： 1. 求整数规划的松弛问题最优解； 2. 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解，否则转下一步； 3. 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束xi≤[xi]及xi≥[xi]+1组成两个新的松弛问题，称为分支。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分支问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分支问题的下界；

3.2.1分支定界法 4. 检查所有分支的解及目标函数值，若某分支的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分支的目标值，则将其它分支剪去不再计算, 若还存在非整数解并且目标值大于（max）整数解的目标值，需要继续分支，再检查，直到得到最优解。分支原则：始终选Z值大的，且xi中有分数的LP进行分支。定界原则：满足取整要求，且目标函数值较已定的 “界”更优，则用该目标函数值替换，重新定界。说明：分支定界法适用于求解纯整数规划和混合整数规划

设xi= 不为整数， 3.2.2割平面法设纯整数规划松弛问题的最优解

将分离成一个整数与一个非负真分数之和：则有 3.2.2割平面法等式两边都为整数, 并且有

则 3.2.2割平面法加入松弛变量si得此式称为以xi行为源行（来源行）的割平面方程，或分数切割式，或R.E.Gomory(高莫雷)约束方程。将Gomory约束加入到松弛问题的最优表中，用对偶单纯形法计算，若最优解中还有非整数解，再继续切割，直到全部变量为整数。

例如， x1行：移项：加入松弛变量s1得割平面方程 3.2.2 割平面法同理，对于x2行有：

3.2.2 割平面法 【例3-6】用割平面法求解下列IP问题【解】对应的松弛问题是

3.2.2割平面法 加入松弛变量x3及x4后，用单纯形法求解，得到最优表3-3。表3-3 最优解X(0)＝(5/2，15/4), 不是IP的最优解。选择表中的第一行(也可以选第二行)为源行

3.2.2割平面法 分离系数后改写成加入松弛变量x5得到高莫雷约束方程将此式作为约束条件添加到表3－3中，用对偶单纯形法计算，如表3－4所示

3.2.2割平面法 表3－4 最优解X(1)＝(3，3)，最优值Z＝21。

x1+x2≤6 x2 A 6x1+4x2=30 D C C x1+2x2=10 x1 0 E B 3.2.2割平面法几何意义由约束条件得： x3=30-6x1-4x2 , x4=10-x1-2x2 代入割平面方程 -x3-2x4≤-2，得 x1+x2≤6 说明：利用割平面法求解整数规划问题时,若从最优单纯形表中选择具有最大小（分）数部分的非整分量所在行构造割平面方程，往往可以提高“切割”效率，减少“切割”次数。不含任何整数解

x2 6 x1+x2≤6 5 5x1+9x2≤45 x1 9 6 0 3.2.3 整数规划的图解法思考：对于两个变量的纯整数规划问题是否可采用图解法。最优解 x1=0, x2=5

3.2.3 整数规划的图解法 步骤： 1.作出松弛问题的可行域。 2.在可行域内作出所有的整数网格。 3.作目标函数等值线，将等值线平行移动，最后接触到的网格点（或平行移动到松弛问题的最优解点再往回移，首先接触到的网格点），就是整数规划的最优解。

本节学习要点 3.2 整数规划的求解 1. 理解分支与定界的含义 2. 选择合适的“ 枝”生“ 枝” 3. 掌握何时停止生“枝” 4. 领会割平面法的基本原理 5. 分离源行，求出Gomory约束 6. 在最优表中增加Gomory约束，用对偶单纯形法迭代下一节： 0－1规划的求解

3.3 0－1规划的求解 3.3.1 求解0－1整数规划的隐枚举法隐枚举法的步骤： 1. 找出任意一可行解，目标函数值为Z0 2. 原问题求最大值时，则增加一个约束 • 作为过滤条件。 • 当求最小值时，上式改为小于等于约束。 • 列出所有可能解，对每个可能解先检验是否满足过滤条件，若满足再检验其它约束，若不满足约束，则不可行，若所有约束都满足，且目标值超过Z0 ,则应更换过滤条件。 • 4. 目标函数值最大（最小）的解就是最优解。

3.3 0－1规划的求解 【例3-7】用隐枚举法求解下列BIP问题 (1) (2) (3) (4)

3.3 0－1规划的求解 表3－5 z≥8 8 最优解：X＝(1, 0, 1, 1)T，最优值Z＝14

思考商场招租 长江综合商场有5000m2营业面积招租，拟吸引以下5类商店入租。已知各类商店开设一个店铺占用的面积，在该商场内最多与最少开设的个数，以及每类商店开设不同个数时每个商店的每月预计利润见表。商场除按租用面积每月收取100元/m2租金外，还按利润的10%按月收取屋业管理费。问该商场应招租上述各类商店各多少个，使预期收入为最大？

思考商场招租

maxZ=100(250y1+350y2+600y3+300y4+400y5)+10%(9x11+8×2x12 +7×3x13+10x21+9×2x22+…+12 ×3x53) x11+2x12+3x13=y1 x21+2x22+3x23=y2 x31+2x32+3x33=y3 x41+2x42+3x43=y4 x51+2x52+3x53=y5 x11+x12+x13=1 x21+x22+x23=1 x31+x32+x33=1 x41+x42+x43≤1 x51+x52+x53=1 x23=0 x43=0 250y1+350y2+600y3+300y4+400y5≤5000 xij=0 或 1（i=1,2,3,4,5; j=1,2,3), yi≥0 (i=1,…，5）

思考商场招租 用LINDO软件计算，得最优解 x12=x22=x33=x42=x53=1，其余 xij=0 最优值 Z=63（万元）最优方案：招租服装店2个，鞋帽店2个，百货店3个，书店2个，餐饮店3个，预期收入最大，为63万元

本节学习要点 3.3 0－1规划的求解 1. 用隐枚举法求0-1规划的最优解 2. 用分枝－隐枚举法求解0-1规划的最优解 The End of Chapter 3

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