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Unidad II “Elementos de Álgebra Vectorial y Geometría Analítica”

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Unidad II “Elementos de Álgebra Vectorial y Geometría Analítica”. Universidad Nacional de Ingeniería UNI - NORTE. Contenidos:. Vectores libres. Igualdad de vectores. Operaciones lineales con vectores. Suma de vectores y producto por un escalar.

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unidad ii elementos de lgebra vectorial y geometr a anal tica

Unidad II “Elementos de Álgebra Vectorial y Geometría Analítica”

Universidad Nacional de Ingeniería

UNI - NORTE

contenidos
Contenidos:
  • Vectores libres. Igualdad de vectores.
  • Operaciones lineales con vectores. Suma de vectores y producto por un escalar.
  • Coordenadas y componentes de vectores bidimensionales.
  • Sistemas de coordenadas en el espacio.
qu es un vector
¿Qué es un vector?
  • Tiene magnitud y dirección
  • Vector resultante
    • Al sumar coloca la colita junto a la puntita del otro vector
vector resultante
Es la suma de 2 o más vectores.

Métodos para resolver problemas usando vectores:

Método gráfico = se dibujan vectores a escala y su dirección se determina usando un transportador.

Método matemático = proceso mediante el cual se suman vectores usando trigonometría.

Vector resultante
ejemplo 1
Ejemplo 1:
  • Un avión vuela a 40 m/s , Este y es empujado al norte por un viento que sopla a 30 m/s, Norte
  • a)Haz el diagrama
  • b)Determina la velocidad resultante.
resultado 1
Un avión vuela a 40 m/s , Este y es empujado al norte por un viento que sopla a 30 m/s, Norte

a)Haz el diagrama

b)Determina la velocidad resultante.

Usando el Teorema de Pitágoras:

c2=a2+b2

VR2= VH2+VV2 VH2= 40m/s, VV2=30m/s

= (40m/s)2 + (30m/s)2 = 2500 m2/s2

VR = 50 m/s rapidez (magnitud)

¿Cómo obtenemos la velocidad?q =Tan-1 (VV/VH) =

q= Tan-1[(30m/s)/(40m/s)] =37° VR = 50 m/s, 37°

VR

VV

VH

Resultado #1
fuerzas concurrentes

FN

Ff

Fa

W

Fuerzas concurrentes
  • = son aquellas que actúan sobre un mismo punto al mismo tiempo
qu es fuerza neta
¿Qué es fuerza neta?
  • Es la suma de fuerzas
  • Utilizas vectores para demostrar la dirección de esas fuerzas
  • Es el resultado de las fuerzas concurrentes
ejemplo 2
Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 actúan concurrentemente sobre un bloque de masa m.

a) Haz el diagrama de cuerpo libre.

b) Calcula la magnitud y dirección de la fuerza resultante

Fr = 45 N, 26.6º

Ejemplo 2:
otras direcciones
F1= 40 N, O

F2= 20 N, N

F1= 40 N, O

F2= 20 N, S

Fr = 45N , 153.4º

Fr = 45 N, 206.6º

Otras direcciones
otras direcciones12
F1= 40 N, E

F2= 20 N, S

Fr = 45N, 333.4º

Otras direcciones
equilibrio
Equilibrio
  • = se dice que un objeto está en equilibrio cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero
fuerza equilibrante
Fuerza equilibrante
  • = tiene la misma magnitud de la resultante pero en dirección opuesta
  • Existe una diferencia de 180 grados

Fr

Fe

ejemplo 3
Unas fuerzas concurrentes de 55 N, Este y 70 N, Norte actúan sobre el punto P. Haz el diagrama.

a) determina la magnitud y dirección de la Fuerza resultante.

Determina la magnitud y dirección de la Fuerza equilibrante.

Fr = 89N, 51.8º

Fe = 89N, 231.8º

P

Ejemplo 3
componentes vectoriales

Fr

Fv

FH

Componentes vectoriales
  • Componentes
    • cuando dos o más vectores actúan en direcciones distintas formando un vector resultante
  • Resolución de vectores
    • proceso mediante el cual se determinan los componentes de un vector
ejemplo 4
Un avión vuela a 500 Km/hr a un ángulo de 70 °. Haz el diagrama y determina la velocidad del avión hacia el :

a)norte

b)este

VV=470 km/hr, N

VV=470 km/hr, 90º

VH = 171 km/hr, E

VH = 171 km/hr, 0º

Vr

Vv

VH

Ejemplo 4
resoluci n de vectores m todo anal tico
Resolución de vectores: método analítico
  • Sus componentes denotan al vector
  • El vector unitario puede usarse para representarlo:
  • A = i Ax + jAy

Ar

Ar = Ax + Ay

A = Ua A

Ay

Ax

sumas vectoriales
Sumas vectoriales
  • Si queremos sumar dos vectores A + B entonces:
  • A+B = R
  • Sus componentes se suman:
  • Rx = Ax + Bx
  • Ry= Ay + By
  • Su magnitud es: R2 = R2x + R2y
ejemplo 5
Encuentra la suma de los siguientes vectores de desplazamiento:

(5i –2j)m y (-8i –4j)m

Determina la magnitud de la resultante:

Determina el ángulo

Ejemplo #5
soluci n ejemplo 5
Encuentra la suma de los siguientes vectores de desplazamiento:

(5i –2j)m y (-8i –4j)m

= (-3i – 6j)

Determina la magnitud de la resultante:

R2 = R2x + R2y

R =  (-3)2 +(-6)2 = 6.7 m

Determina el ángulo

Tan q = 6/3 q = tan-1 (-6/-3)

q = 63º

180º + 63º = 243º

R = 6.7 m, 243º

Solución ejemplo #5
problemas de aplicaci n de vectores
Problemas de aplicación de vectores
  • Suma los siguientes vectores

20 m

15 m

25 m

soluci n
Solución
  • Dibujando a escala:

Dr=20.2 m , 312 º

ejemplo
Ejemplo
  • Un bloque con peso de 300 N descansa sobre un plano inclinado de 60 grados sobre la horizontal. Determina las magnitudes de los componentes perpendicular y paralelo.
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