1 / 89

Boolean algebra

Boolean algebra. George Boole (1815-1864) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้คิดค้น Boolean Algebra ซึ่งเป็นวิชาพีชคณิตใช้เฉพาะกับ Logic เมื่อปี ค.ศ. 1854 จากนั้น Boolean Algebra ก็ได้รับ การวิวัฒนาการเรื่อยๆ มาจนกระทั่งปี ค.ศ. 1938 จึงถูกนำมาใช้ในวิชา Theory of switching circuits

doyle
Download Presentation

Boolean algebra

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Boolean algebra George Boole (1815-1864) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้คิดค้น Boolean Algebra ซึ่งเป็นวิชาพีชคณิตใช้เฉพาะกับ Logic เมื่อปี ค.ศ. 1854 จากนั้น Boolean Algebra ก็ได้รับ การวิวัฒนาการเรื่อยๆ มาจนกระทั่งปี ค.ศ. 1938 จึงถูกนำมาใช้ในวิชา Theory of switching circuits โดย C. E. Shannon ถึงแม้ว่าผลงานของ Shannon จะหนักไปในด้านการออกแบบสวิทซ์ แม่เหล็กไฟฟ้า (Electromechanical Relay Network) แต่ก็สามารถที่จะปรับปรุงมา ใช้งานได้ดีสำหรับวงจร Solid-state electronic ทุกวันนี้

  2. Boolean Algebra • Boolean Algbera is a mathematical Model for digital logic circuits. • Boolean Algebra is a system <B, V, P> • B={0,1} is the set of values1 • V is the set of variables • P={+, •, ΄} is the set of operators (basic functions) defined by the truth tables as follows

  3. Boolean values Boolean Algebra แตกต่างไปจากวิชาพีชคณิตที่เรารู้จักกัน ค่า ตัวแปรต่างๆ จะมีได้เพียง 2 ค่าเท่านั้น คือ false or true 0 or 1 low or high กฎเกณฑ์บางอันก็คล้ายคลึงกันบางอันก็ต่างกันมาก กฎต่างๆ ของ Boolean algebra ที่สำคัญมีดังนี้

  4. Boolean operations • not • or • and • xor (exclusive or) • nand (not and) • nor (not or)

  5. Not 0 Note: Some people write x’ instead of x. The “bubble” (or “bobble”) means “not”.

  6. And Notes: Some people write a^b or a&b. The gate is shaped like a “D” as in “anD”.

  7. Or Note: Some people write ab or a|b.

  8. Exclusive-or (xor)

  9. Nand

  10. Nor

  11. Boolean Algebra The axioms (or postulates) of Boolean Algebra (A1) X=0 หรือ (A1’) X=1 (A2) If X=0, then X’=1 (A2’) If X=1, then X’=0 (A3) 0·0 = 0 (A3’) 1+1 = 1 (A4) 1·1 = 1 (A4’) 0+0 = 0 (A5) 0·1 = 1·0 = 0 (A5’) 1+0 = 0+1 = 1 Note We use a prime (’) to denote an inverter’s function.

  12. Theorems involving a single variable:(T1) X+0 = X (T1’) X·1 = X (Identities)(T2) X+1 = 1 (T2’) X·0 = 0 (Null elements)(T3) X+X = X (T3’) X·X = X (Idempotency)(T4) (X’)’ = X (Involution)(T5) X+X’ = 1 (T5’) X·X’ = 0 (complements) These theorems can be proved to be true. Let us prove T1: [X=0] 0+0=0 (true, according to A4’) [X=1] 1+0=1 (true, according to A5’)

  13. Theorems involving two or three variables:(T6)X+Y = Y+X (T6’) X·Y = Y·X (Commutativity)(T7) (X+Y)+Z = X+(Y+Z) (T7’)(X·Y)·Z = X·(Y·Z) (Associativity)(T8) X·Y+X·Z = X·(Y+Z) (T8’) (X+Y)·(X+Z) = X+Y·Z (Distributivity) (T9) X+X·Y = X (T9’) X·(X+Y) = X (Covering)(T10) X·Y+X·Y’ = X (T10’)(X+Y)·(X+Y’) = X (Combining)

  14. (T11) X·Y+X’·Z+Y·Z = X·Y+X’·Z (Consensus) (T11’) (X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z) = (X+Y)·(X’+Z) (T12) (X1·X2· ... ·Xn)’ = X1´+X2´+ ... +Xn’(T12’) (X1+X2+ ... +Xn)’ = X1´·X2´· ... ·Xn’( DeMorgan’s theorems) (T13) X + X’ · Y = X + Y (T13’) X · (X’ + Y) = X · Y Attention to theorem T8’ which is not true for integers and reals. T9 and T10 are used in the minimisation of logic functions.

  15. The most basic representation of a logic function is a truth table. A truth table lists the output of the circuit for every possible input combination. There are 2n rows in a truth table for an n-variable function.

  16. Gates Three basic gates (AND, OR, NOT) are sufficient to build any combinational digital logic system.

  17. Gates (2) Two more logic functions are obtained by combining NOT with an AND or OR function in a single gate.

  18. 0 1 1 0

  19. Equivalent gates according to DeMorgan’s theorem

  20. a a ·b b An electrical model • In a parallel arrangement electricity will flow through if one or other switch is closed. • In a series arrangement both switches must be closed. a b or a a +b b a b and

  21. When SW1 AND SW2 are closed. F = SW1&SW2 When SW1 OR SW2 are closed. F = SW1+SW2

  22. Finding the Boolean expression for a circuit (p+q)·(p·q)’ or (p+q)·(p·q)

  23. a b f c

  24. Constructing circuits for Boolean expressions To construct a circuit for the expressionp'q +q'

  25. Simplification of Boolean Functions • General Boolean functions of n variables can be represented by • Boolean expressions • Truth tables showing the function values for all • input combinations • Boolean functions can be implemented directly from their expressions, but • Complicated expressions may results in circuits • Using more gates than necessary or • Having longer accumulative gate delay than necessary

  26. การทำ Logic circuits ให้ง่าย • การทำ Logic circuits ให้ง่าย สามารถทำได้หลาย • วิธีดังนี้ • ทำโดยนำทฤษฎีต่างๆ มาใช้ในการลดรูปของสมการให้น้อย • ลง • ตัวอย่าง จงลดรูปสมการ A + A · B + A’ · B • A + A · B + A’ · B = (A + A · B) + A’ · B (T9) • = A + A’ · B (T13) • = A + B

  27. Minterms (Sum-of-Products) of n variables • เป็นอีกวิธีที่จะทำให้ Logic circuits ง่ายลง ซึ่งมีวิธี • ทำคือ จะพิจารณา Truth table ที่ได้ผลลัพธ์เป็น 1 • โดยนำตัวแปรมาทำการ AND แล้ว OR เพื่อสร้างเป็น • Boolean expression ซึ่งมีรูปแบบเป็นผลบวกของผล • คูณ (Sum-of-Products) โดยกำหนดค่าดังนี้ • A ,B ,C = 1 • A’,B’,C’ = 0 • ตัวอย่าง

  28. X Y Z F 0 0 0 1 * 0 0 1 0 0 1 0 1 * 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 * 1 1 0 0 1 1 1 1 * • We have • f = x’y’z’ + • x’yz’ + • x y’z + • x y z • f = x’y’z’ + x’yz’ + x y’z + x y z

  29. But the sum of product of minterms can be further simplified to reduce • the number of product terms and • the number of inputs of the gates • example • f = x’y’z’ + x’yz’ + xy’z + xyz • = x’z’(y’+y) + xz(y’+y) • = x’z’ + xz • But, how do we reach the simplest form systematically?

  30. Maxterms (Product-of-Sums) of n variables • - Maxterm boolean expression is developed from • the 0s in the output column of the truth table. For each • 0 in the output column, an Ored term is developed. • - Note that the input variables are inverted and • then Ored. • A ,B ,C = 0 • A’,B’,C’ = 1

  31. Input Output C B A F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0* 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0* • Maxterm Boolean expression : • f = (c’+b+a)· (c’+b’+a’)

  32. Input Output C B A F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 11 • จงหา • Minterm Boolean expression • Maxterm Boolean expression

  33. Karnaugh Map Simplication • Karnaugh maps เป็นอีกวิธีที่จะทำให้ Logic • circuits ง่ายลง ซึ่งมีวิธีดังนี้ • two variables B’(0) B(1) Input Output A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A’(0) 1 A (1)1 1 Y = A + B

  34. - three variables and four variables C’(0) C(1) A’B’(00) A’B (01) AB (11) AB’(10) (C)

  35. three variables Input Output C’(0)C(1) C B A F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 A’B’(00) A’B(01) AB(11) AB’(10) 1 1 1 1 1 1 F = C’+A’B+AB’

  36. four variables Inputs Output A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 C’D’ C’D CD CD’ 1 A’B’(00) A’B(01) AB (11) AB’(10) 1 1 1 1 1 Y = AC+A’C’D’

  37. Mapping with maxterm expression Input Output C C’ A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 A+B (0+0) A+B’ (0+1) A’+B’(1+1) A’+B (1+0) 1 1 1 F = (B + C) · (A’+C)

  38. Maxterm Minterm

  39. Don’t cares on Karnaugh maps ในวงจร logic บางวงจรสามารถออกแบบโดยไม่ระบุ output บางตัวว่า เป็น 1หรือ 0 Output ที่ไม่สนใจหรือไม่สามารถระบุ output ได้นี้ เรียกว่า “Don’t care”

  40. การเขียน logic diagram ในรูปของ function F(a,b,c,…) = S(0,1,2,3,…) b a 0 1 0 0 1 1 2 3 0 1 3 2 4 5 7 6 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10

  41. Inputsตำแหน่ง A B C D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 15 0 1 1 0 6 0 1 1 1 7 1 0 0 08 1 0 0 19 1 0 1 0 10 1 0 1 1 11 1 1 0 012 1 1 0 1 13 1 1 1 0 14 1 1 1 1 15

  42. ตัวอย่าง F(a,b,c) = S(3,4,6,7) b bc a 1 1 1 1 a c

More Related