Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 19

Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima PowerPoint PPT Presentation


  • 213 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima. Mirna Brekalo 18.05.2010. Nastavna cjelina: Uređaj na skupu realnih brojeva Nastavna tema: Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima Tema se obrađuje u 1. razredu srednje škole

Download Presentation

Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

Mirna Brekalo

18.05.2010.


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

Nastavna cjelina: Uređaj na skupu realnih brojeva

Nastavna tema: Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

  • Tema se obrađuje u 1. razredu srednje škole

  • Za ovu nastavnu temu je predviđeno 3 do 4 školska sata

  • Potrebno predznanje je poznavanje prethodnog gradiva (linearne nejednadžbe, apsolutna vrijednost realnog broja...)


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

CILJEVI: naučiti rješavati složenije jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

ZADACI:

  • Odgojni: - razvijanje savijesnosti i samostalnosti u radu

    - poticanje urednosti i preglednosti u vlastitom radu

    - povezivanje gradiva


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Obrazovni: - naučiti rješavati složenije

    jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

  • Funkcionalni: - razvijati sposobnost vještog transformiranja izraza s apsolutnim vrijednostima u izraz bez aps. vrijednosti

    - razvijati sposobnost pronalaženja uspješnih načina rješavanja zadataka


Jednad be s apsolutnim vrijednostima

Jednadžbe s apsolutnim vrijednostima

  • Najjednostavniji oblik jednadžbi s apsolutnim vrijednostima:

    |f(x)|=c, gdje je f afina funkcija, a c realan broj

    - Kad je c>0 rješavamo dvije jednadžbe:

    f(x)=c i f(x)=-c

    - Za c=0 rješavamo jednadžbu f(x)=0

    - Dok za c<0 jednadžba nema rješenja


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Pr. Riješimo jednadžbu |x-2|=3.

    |x-2|=3

    x-2=-3x-2=3

    x=2-3ilix=2+3

    x=-1x=5

    Jednadžba ima dva rješenja x=-1, x=5.


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Nešto složenije jednadžbe s aps. vrijednostima su jednadžbe oblika:

    |f(x)|=g(x),gdje su f i g funkcije

  • Rješavamo ih tako da promatramo dva slučaja: f(x)≥0 i f(x)<0, tj.

    rješavamo odgovarajuće jednadžbe f(x)=g(x) ako je f(x)≥0, te

    -f(x)=g(x) ako je f(x)<0

    - Na kraju treba provjeriti pripadaju li dobivena rješenja intervalu iz početnih uvjeta


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Najsloženije jednadžbe su one u kojima se javljaju dva izraza pod znakom apsolutne vrijednosti, a rješavanje se svodi na rješavanje tri linearne jednadžbe


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Pr. ||x-1|-2|=1

  • |x-1|-2=1 2) |x-1|-2=-1

    |x-1|=3|x-1|=1

  • x≥1 b) x<1 c) x≥1 d) x<1

    x-1=3 x-1=-3x-1=1 x-1=-1

    x=4 x=-2x=2 x=0


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Pr. Geometrijski interpretirajmo rješenja jednadžbe |x-2|=3.

  • Kako je |x-2| udaljenost brojeva na brojevnom pravcu, zaključujemo da se jednadžba |x-2|=3 može izreći i kao:

    odredimo sve realne brojeve x kojima je udaljenost od 2 jednaka 3

    __.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__

    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    Polazeći od broja 2 za 3 udesno, dolazimo do broja 5, a polazeći za 3 ulijevo, do broja -1. Zato su x=-1, x=5 rješenja jednadžbe.


Nejednad be s apsolutnim vrijednostima

Nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

  • Najjednostavniji tip nejednadžbe s aps. vrijednosti je

    |f(x)|<c, |f(x)|>c

  • Nejednadžba je zadana na način da se nepoznata veličina x nalazi pod znakom apsolutne vrijednosti:

    |x|-2>0

  • Iz nejednadžbe slijedi da je: |x|>2


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • gdje je rješenje nejednadžbe takav skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi, te su rješenja nejednadžbe intervali: <2,+∞>U<-∞,-2>

  • Nejednadžba |x|≥a

    -ima rješenje x≤-a ili x≥a ako je a>0

    -ima rješenje za svaki realan broj x ako je a=0

    - ima rješenje za svaki realan broj x ako je a<0


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Nejednadžba |x|≤a

    -ima rješenje –a≤x≤a ako je a>0

    -ima rješenje x=0 ako je a=0

    -nema rješenje ako je a<0

  • Pr. |x-2|≤3

    -3 ≤ x-2 ≤ 3

    => x-2 ≥ -3 x-2 ≤ 3

    x ≥ -1 x ≤ 5

    Skup rješenja: [-1,5]

    -------[----|----------------]-----

    -1 0 5


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Nejednadžbe oblika |f(x)/g(x)|<c (>c)

  • Možemo ih rješavati na dva načina:

  • Promatramo predznak funkcije f/g pod aps. vrijednosti, a zatim rješavamo odgovarajuću nejednadžbu tj. rješavamo 2 nejednadžbe:

    f(x)/g(x)<c uz uvjet f(x)/g(x)≥0

    -f(x)/g(x)<c uz uvjet f(x)/g(x)<0


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

2) Jednostavniji način se zasniva na primjeni svojstva apsolutne vrijednosti, za sve realne brojeve a,b b≠0 vrijedi |a/b|=|a|/|b| i svojstva uređaja pri množenju nejednadžbe s pozitivnim br.

Dakle |f(x)/g(x)|<c => |f(x)|/|g(x)|

=> |f(x)|<c|g(x)| , g(x)≠0

  • Nakon obrade ove nastavne jedinice predviđena su 2 sata za uvježbavanje gradiva, nakon čega slijedi pismena provjera iz cjeline Uređaj na skupu realnih brojeva


Zadaci za rad u paru

Zadaci za rad u paru

  • Razlomak zapiši bez znaka apsolutne vrijednosti.

  • Za koje vrijednosti realnog parametra a jednadžbe

    vrijedi |x|>1?

    3.Za koje vrijednosti realnog parametra a jednadžbe

    vrijedi |x|=1?

    4.Napiši bez korijena i znaka apsolutne vrijednosti funkciju funkciju .

    5.Koliko je za x>6?


Jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima

  • Ako je -1<x<1, koliko je ?

  • Odredi skup svih točaka T brojevnog pravca čija je

    udaljenost od točke veća ili jednaka 2.

  • Odredi polovište dužine ako je A(-3.5), B . Koje su točke od polovišta udaljene za 3?

    9.Riješi jednadžbu:

    10.Riješi nejednadžbu:


Literatura

Literatura

  • J. Krajina, I. Gusić, Matematika 1, udž. sa zbirkom zadataka za 1. razred opće, jezične i klasične gimnazije, ŠK, Zagreb, 2008.

  • S. Varošanec, Priručnik za nastavnike, ELEMENT, Zagreb, 2003.


  • Login