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5.6 正弦定理、余弦定理 和解斜三角形

5.6 正弦定理、余弦定理 和解斜三角形. △ ABD 中，. △ ACD 中，. 解：. 1) 设中线 AD = x. 整理得 x 2 =148. 解 ：. 2) 连接内切圆圆心 O 与三角形顶点 A 、 B 、 C 将 △ ABC 分成 △ OAB 、 △ OAC 、 △ OBC. 这三个三角形均以 AB 、 AC 、 BC 为底边， 内切圆半径 r 为高. 解 ：. 2). A’. 解： 3) 过 B 作直径 BA’ ，联结 A’C. 可知， △ A’BC 是直角三角形，且∠ A= ∠ A’. O.

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5.6 正弦定理、余弦定理 和解斜三角形

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Presentation Transcript

  1. 5.6正弦定理、余弦定理 和解斜三角形

  2. △ABD中， △ACD中， 解： 1) 设中线AD = x 整理得 x2=148

  3. 解： 2) 连接内切圆圆心O与三角形顶点A、B、C 将△ABC分成△OAB、 △OAC、 △OBC 这三个三角形均以AB、AC、BC为底边， 内切圆半径 r 为高

  4. 解： 2)

  5. A’ 解：3) 过B作直径BA’，联结A’C 可知，△A’BC是直角三角形，且∠A=∠A’ O Rt△A’BC中，BC = A’B·sinA’ 即 a = 2RsinA’ = 2RsinA 同理 扩充正弦定理

  6. C B A 例 已知圆O是△ABC的外接圆，直径为2R，试用R与 角A、B、C的三角比来表示三角形的三条边a、b、c C 解：过B作直径BD，联结CD 可知，△BCD是直角三角形，且∠A=∠D O B D △BCD中，BC=BD·sinD 即 a=2RsinD=2RsinA 整理得 由正弦定理得

  7. 合理选用正、余弦定理和三角形平几性质， • 可求解三角形的边角及其它元素 （如：面积、周长、中线、高、角平分线、内切圆半径、外接圆半径） 外接圆半径

  8. 证：

  9. 例. 根据下列条件，判断三角形的形状 1）在ΔABC中，a cosB = b cosA； 2）在ΔABC中，cosA : cosB = b : a

  10. 由余弦定理 例. 根据下列条件，判断三角形的形状 1）在ΔABC中，a cosB = b cosA 解法一： 由正弦定理 2RsinAcosB =2RsinBcosA 整理得 sinAcosB - sinBcosA = 0 即 sin(A – B ) = 0 即 A – B = 0 ∴ ΔABC是等腰三角形 解法二： 即 a = b 整理得 a2 = b2 ∴ ΔABC是等腰三角形

  11. 由正弦定理 即 即 由余弦定理 整理得 例. 根据下列条件，判断三角形的形状 2）在ΔABC中，cosA : cosB = b : a 解法一： 即 sin 2A = sin 2B 整理得 sinAcosA = sinBcosB ∴ ΔABC是等腰三角形或直角三角形 a·cosA = b·cosB 解法二： ∴ ΔABC是等腰三角形或直角三角形

  12. 复习 • 利用正、余弦定理求解三角形的元素 （边、角、面积、周长、高、中线、角平分线、内切圆和外接圆半径） 外接圆半径 • 利用正、余弦定理实现边角互换，判断三角形形状

  13. 判断三角形的形状

  14. 判断三角形的形状

  15. 判断三角形的形状

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