Materi Pokok 24
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 20

Materi Pokok 24 LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1 Konvergen Dalam Fungsi Sebaran PowerPoint PPT Presentation


  • 166 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Materi Pokok 24 LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1 Konvergen Dalam Fungsi Sebaran Definisi :

Download Presentation

Materi Pokok 24 LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1 Konvergen Dalam Fungsi Sebaran

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Materi Pokok 24

LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1

Konvergen Dalam Fungsi Sebaran

Definisi :

Misalkan Fn(y) merupakan fungsi sebaran dari peubah acak Yn yang tergantung pada ukuran contoh = n. Jika F(y) adalah fungsi sebaran bagi Y dan jika untuk setiap y dan F(y) kontinu maka peubah acak Yn disebut mempunyai sebaran limit terhadap fungsi sebaran F(y); sekuens Y1, Y2,..., Yn adalah konvergen dalam fungsi sebaran F(y).


  • Aplikasi Limit Sebaran

    Contoh 1.

    Misalkan X1, X2,..., Xn merupakan contoh acak berukuran n dan Yn merupakan urutan ke n dalam contoh, fungsi kepekatan peluang dari X1, X2,..., Xn adalah

    Fungsi kepekatan peluang dari Yn adalah


Fungsi sebaran dari Yn adalah

Suatu sebaran diskrit yang peluangnya sama dengan satu pada satu titik disebut degenerate distribution dan Yn konvergen dalam f. Sebaran pada titik y = 


Contoh 2 :

Misalkan mempunyai fungsi sebaran


Contoh 3

Jika sekuens konvergen dalam sebaran untuk peubah acak X umumnya tidak dapat menentukan sebaran X dengan menentukan limit fungsi kepekatan peluang dari Xn.

Bila fungsi kepekatan peluang

maka untuk semua nilai x sehingga Xn, n = 1, 2, 3,.... tidak konvergen dalam fungsi sebaran.

Fungsi sebaran dari Xn adalah


untuk semua titik kontinu dari F(x),

sekuens X1, X2, X3,… konvergen dalam sebaran untuk contoh acak dalam fungsi sebaran F(x)

Contoh 4 :

Misalkan Yn melambangkan statistik urutan ke n contoh acak dari sebaran seragam (uniform)dengan fungsi kepekatan


Ambil Zn = n (-Yn) maka fungsi kepekatan peluang dari Zn adalah


Contoh 5 :

Peubah acak Tnmempunyai sebaran t dengan nderajat bebas,

n =1, 2, 3,…

Fungsi sebarannya:


  • Materi pokok 25

  • LIMIT SEBARAN (LIMIT DISTRIBUTION) - 2

  • Konvergensi dalam Peluang

    Definisi:

    Suatu sekuens peubah acak X1, X2, X3, ….. Konvergen dalam peluang terhadap peubah acah X, jika untuk setiap  > 0,


Contoh 1

Misalkan melambangkan nilai tengah contoh acak berukuran n dari sebaran yang mempunyai nilai tengah  dan ragam 2maka nilai tengah dan ragam dari adalah berturut-turut  dan 2/n.

Perhatikan untuk  > 0:

Berdasarkan ketaksamaan chebyshev peluang tersebut kurang atau sama dengan 1/k2 = 2/ne2 sehingga


Akibatnya konvergen dalam peluang terhadap  jika 2 tertentu (finite). Jika  finite makakonvergen dalam peluang dan hasil ini disebut WLLN (The Weak Law of Large Numbers).

Suatu sifat konvergensi yang lebih kuat diberikan oleh

dan dalam hal ini disebut Yn , n = 1, 2, 3, …. konvergen ke c dengan peluang 1. Jadi bila sebagai nilai tengah contoh acak yang konvergen dengan peluang 1 terhadap nilai tengah sebaran =  maka bentuk ini merupakan bentuk SLLN (The Strong Law of Large Numbers).


  • Teorema I

  • Bila Fn (y) melambangkan fungsi sebaran peubah acak Yn yang sebarannya tergantung pada bilangan bulat positif n dan c merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n.

  • Sekuens Yn , n = 1, 2, 3,…. konvergen dalam peluang terhadap c jika dan hanya jika limit sebaran degenerate pada y = c.

  • Limit Fungsi pembangkit Momen

    Untuk menentukan Limit fungsi sebaran suatu peubah acak Yn perlu mengetahui fungsi kepekatan peluang f(y) atau fungsi sebaran Fn(y) untuk setiap n bulat positif, tetapi jika ada fungsi pembangkit momen Yn = M (t; n) dapat digunakan untuk menentukan limit fungsi sebaran.


  • Teorema 2

    Misalkan peubah acak Yn mempunyai fungsi sebaran Fn(y) dan fungsi pembangkit momen M(t; n) ada pada selang –h < t < h untuk semua n. Jika ada fungsi sebaran F(y), dengan fungsi pembangkit momen M(t) yang ada pada |t|  h1 < h sedemikian sehingga maka Yn mempunyai limit fungsi

    sebaran dengan fungsi sebaran F(y).


    Contoh 2

    Misalkan Yn mempunyai sebaran binomial b(n,p),  = np adalah sama untuk setiap n sehingga dimana  adalah konstanta. Tentukan

    Untuk semua nilai t yang nyata akibatnya:


    Karena ada sebaran yang mempunyai fungsi pembangkit momen seperti itu yakni sebaran Poisson maka limit dari Yn adalah sebaran Poisson.

    Hasil dari contoh di atas menunjukkan bahwa dapat digunakan sebaran Poisson untuk memperkirakan sebaran binomial bila n besar dan p kecil misalnya untuk n = 50, dan p = maka

    dan dengan pendekatan Poisson  = np = 2 maka

    P (Y  1) = e-2 + 2e-2 = 0, 406


    Contoh 3

    Misalkan Zn ~ X12

    maka fungsi pembangkit momen Zn = M (t; n) = (1 – 2t) –n/2, untuk ½. Nilai tengah dan ragam Zn berturut-turut n dan 2n.

    Cari limit sebaran .

    Fungsi pembangkit momen Yn adalah


    Menurut Taylor ada bilangan (n) antara 0 dan

    sehingga

    Maka


  • Login