(Lekce V )

1. Časová propagace vlnové funkce na mřížce IV.- metoda (t,t’)pro časově závislý Hamiltonián - odchozí okrajová podmínka: metoda komplexního škálování a neskalární absorpční potenciál (Lekce V)

2. Metoda (t,t’) • řešení časově závislých Hamiltoniánů: • propagace po velmi krátkých časových krocích, na nichž lze Hamiltonián považovat přibližně za konstantní např. rozděleným propagátorem • Adams-Moulton prediktor-korektor,… • metoda (t,t’) – velmi efektivní • princip (t,t’) : • zavedeme novou funkci s dvěma časovými souřadnicemi. Podmínka: nová funkce se na diagonále rovná propagované funkci.

3. Metoda (t,t’) • časová závislost na diagonále musí splňovat časovou Schrödingerovu rovnici: • derivujeme podle času • derivace diagonály – pomocí substituce • dosazení ze Schrödingerovy rovnice:

4. Metoda (t,t’) • různé zápisy pravé strany (která musí platit pro diagonálu) pomocí dvou rozměrů: • omezíme se na to, že Hamiltonián závisí na čase jen jako skalární operátor, takže lze napsat také např. • rovnice pro dva rozměry, kde diagonála splňuje časově závislou Schr. r.

5. Metoda (t,t’) • řešení rovnice pro dvě časové souřadnice: • proměnná t’ slouží jako nová souřadnice • Hamiltonián je zobecněný operátor Floquetova typu • propagujeme v t“, Floquet Hamiltonián nezávisí na t“, čili můžeme evoluční operátor napsat v obvyklém tvaru • počáteční stav může být závislý na t’ libovolně

6. Metoda (t,t’) • shrnutí rovnic (t,t’) :

7. Elektromagnetické pole • náš případ bude Hamiltonián popisující účinek elektromagnetického pole na molekulu • definice Hamiltoniánu a „gauge invariance“ • Lorentzova síla na náboj q dána el. polem a magn. indukcí • zavedení elektromagnetického vektorového a skalárního potenciálu: • klasický Hamiltonián

8. Elektromagnetické pole • volnost v definici A a phi – můžeme měnit definici, aniž by se změnila Lorentzova síla takto: • Hamiltonián neníinvariantní vůči těmto transformacím (gauges) • po kvantizaci získáme různé formy Hamiltoniánu pro různé „gauges“ • jejich řešení (vlnové funkce) se navzájem liší ve fázi • měřitelné veličiny se neliší

9. Elektromagnetické pole • dipólová aproximace: • zanedbáme prostorovou závislost pole • podmínka: vlnová délka mnohem delší než rozměry molekuly • Hamiltonián interakce molekuly s elektromagnetickým polem v dipólové aproximaci některých známých „gauges“ • „length gauge“ • „reduced momentum gauge“ … Hamiltonián molekuly bez pole

10. Periodický Hamiltonián • po excitaci adiabatickým pulsem (tj. intensita narůstá pomalu ve srovnání s kmitočtem sin(ωt) ) se molekula postupně dostane do kvazistacionárního stavu. Toto platí i pro velmi silná pole indukující generaci vyšších harm. frekvencí řádu TW/cm2. • Definice el.mag. pole • Hamiltonián: • length gauge • red. mom. gauge • obě varianty reprez. periodickým Hamiltoniánem

11. Periodický Hamiltonián • kvazistacionární stavy periodického Ham. • kde je periodické řešení Floquetova operátoru HF (Floq. stav) Příklad: Ukažte, že Floq. stavy pro případ, že nemáme žádné pole, jsou dány vlastními stavy molekuly. (návod: separace proměnných x a t)

12. Periodický Hamiltonián • Řešení Floq. op. ve Fourierově bázi: • Floq. matice vlastní stavy molekuly n -1 0 1 n’ -1 0 1

13. Periodický Hamiltonián • využijeme, že HF je součet H0, dipólu a d/dt • část H0 • část dipólu • length gauge dipólová matice

14. Periodický Hamiltonián • reduced momentum gauge • část d/dt • pro M funkcí psi(x) a N frekvenčních kanálů získáme MxN kvazi-energií, ale jen M je netriviálních, ostatní jsou posunuté o (n hbar ω) oproti centrální Brillouinově zóně

15. Periodický Hamiltonián • řešení: • přímá diagonalizace Floq. matice je nevýhodná (matice je příliš velká, přičemž se ve výsledku celá informace zbytečně opakuje N-krát ) • Floquetovy stavy pro jeden fixní čas jsou také řešením evolučního operátoru pro jeden optický cyklus: je možné toho využít tak, že se konstruuje příslušný evoluční operátor v bázi stavů psi(x) a diagonalizací se získá M Floq. stavů v daném fixním čase. Jejich další propagací se dopočítá i časová závislost. • důkaz :

16. Periodický Hamiltonián • evoluční operátor v bázi psi(x) • je potřeba propagovat funkce psi(x) s časově závislým Hamiltoniánem – velmi výhodně lze použít metodu (t,t’), viz. str. 6 • 1. počáteční funkce je konstantní v t´: • 2. propagujeme v t od 0 do T: • 3. vyjádříme PSI v bázi pro x a t´:

17. Periodický Hamiltonián • 4. kde koeficienty jsou dány takto (ortogonalita báze) • 5. dosadíme za ket- (viz výše) • 6. koeficienty můžeme zapsat jako nultý sloupec velké matice (srovnej Floquetova matice) • 7. z rovnice 3 získáme matici evolučního operátoru pro jednu periodu pomocí koeficientů c:

18. Periodický Hamiltonián • 8. výpočet koeficientů c pro dosazení do rov. 7, viz. definice rov. 6. Definice zobezněného evolučního operátoru viz str. 6. Nejčastěji se používá rozvoj zobecněného evolučního operátoru do Taylorovy řady, možno použít jakékoli propagační metody pro časově nezávislé Hamiltoniány.

19. Periodický Hamiltonián • 9. z toho vyplývá pro koeficienty: • 10. výpočet elementů <Hm> • aproximace konečné báze – níže uvedené platí přesně jen pro nekonečnou bázi

20. Periodický Hamiltonián • 11. dosazení do rov. 9 • pomocí malých matic • 12. jak vypočítat 0-tý sloupec m-té mocniny Floquetovy matice – využití symetrie této matice (viz str.12-14), takže není třeba ukládat celou Floq. matici.

21. Periodický Hamiltonián • otázka počtu frekvenčních kanálů: • Kdybychom diagonalizovali F. matici, odpovídá počet použitých Fourierových funkcí počtu zahrnutých frekvenčních kanálů. U metody (tt´) se Fourierova báze netýká časové proměnné, ale pomocné proměnné t´. Numerická zkušenost je, že počet zahrnutých frekvenčních kanálů ve Floquetově stavu v metodě (tt´) je několikrát vyšší než počet bází pro t´. • numerické řešení rov. 7 • rov. 7

22. Periodický Hamiltonián • postupným sčítáním matic cn,0 • rychlejší způsob představuje využití maticového násobení ve spojení s použitím knihoven BLAS (LAPACK) • předefinujeme matice takto: • rovnici 7 nahradíme takto: • což lze napsat jako maticové násobení:

23. Periodický Hamiltonián • pozn. s využitím knihoven BLAS vede druhý způsob k násobnému zrychlení výpočtu ve srovnání s optimalizovaným C. Podle platformy jde o urychlení 4x (HP workstation) až 8x (PC). Příklad: Navrhněte, jak realizovat druhý způsob výpočtu výše pomocí Matlabového příkazu reshape.

24. Periodický Hamiltonián • Výpočet spektra vyšších harmonických frekvencí: • genrovaný dipól obsahyje zřetelné složky vyšších harmonických frekvencí • důvod: elektrony jsou urychlovány polem o základní frekvenci, ale přitom naráží na kulombický potenciál jader, který je urychluje a zpomaluje oproti „tahu pole“ kulombický potenciál + vnější proměnné el. pole pro elektron e jádro

25. Periodický Hamiltonián • vztah dipólu a vyzařované intenzity • úprava metodou integrace per partes • vztah vhodný pro výpočty v momentové gauge • vztah vhodný pro výpočty v length gauge

26. Periodický Hamiltonián • časově závislá střední hodnota dipólu – • opět využijeme metodu (tt´) • konstruujeme propagátory pro menší kroky (ne jeden pro celou periodu) v bázi vlastních stavů H0 (bez elmag pole) pro • počáteční funkce je psik propagovaná do v (m-1)tau • propagace z (m-1)tau to m.tau

27. Periodický Hamiltonián • změna v rov. 7 vypadá takto: