非線形方程式に対する
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非線形方程式に対する 反復解法. 非線形方程式とは?. 方程式    f ( x )=0  ( f ( x )は x の関数). f ( x )は 線形(一次)    f ( x )= ax + b. f ( x )は 非線形    それ以外 の関数. コンピュータ+アルゴリズムの利用. 反復解法. x を繰り返し更新、近似的な解を求める. 反復解法の必要性. 一次、二次の方程式: 公式を使えば簡単! 三次の方程式: 頑張れば手計算で解けるかも … 一般の非線形方程式: 手計算で解くのはほとんど無理. 反復解法の種類. 二分法 はさみうち法

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非線形方程式に対する 反復解法

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Presentation Transcript


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非線形方程式に対する反復解法


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非線形方程式とは?

方程式   f(x)=0  (f(x)はxの関数)

f(x)は線形(一次)   f(x)=ax + b

f(x)は非線形  それ以外の関数


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コンピュータ+アルゴリズムの利用

反復解法

xを繰り返し更新、近似的な解を求める

反復解法の必要性

一次、二次の方程式: 公式を使えば簡単!

三次の方程式: 頑張れば手計算で解けるかも…

一般の非線形方程式: 手計算で解くのはほとんど無理


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反復解法の種類

  • 二分法

  • はさみうち法

  • 割線法(セカント法)

  • ニュートン‐ラフソン法

  • 減速ニュートン法

今週説明

来週説明


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f(c)=0

f(b)>0

a

c

b

f(a)<0

二分法(その1)

「中間値の定理」に基づく方法


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f(b)>0

f(c)の絶対値は大きい

a

b

f(a)<0

c=(a+b)/2

二分法(その2)

  • f(a)<0 なる aと f(b)>0 なる b を求める

2. c=(a+b)/2 とおく

3.  f(c) の絶対値が十分小さい => 終了

4. f(c)>0 ならば b = c,f (c)<0 ならば a = cとおく

5. 1へ戻る

f(c)>0 なので b = c


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c=(a+b)/2

f(b)>0

a

b

f(a)<0

f(c)の絶対値はまだ大きい

二分法(その3)

2. c=(a+b)/2 とおく

3.  f(c) の絶対値が十分小さい => 終了

4. f(c)>0 ならば b = c,f (c)<0 ならば a = cとおく

5. 1へ戻る

f(c)<0 なので a = c


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a

a

b

b

b

方程式の解が見つかる!

二分法(その4)

f(b)>0

f(a)<0


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f(b)>0

a

c

b

f(a)<0

はさみうち法(その1)

二分法の場合:

はさみうち法の場合:

f(c)>0 なので b = c


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c

a

b

f(a)<0

はさみうち法(その2)

f(b)>0

f(c)<0 なので a = c


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a

f(b)>0

a

方程式の解が見つかる!

b

b

f(a)<0

はさみうち法(その3)


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反復解法の性能評価

よい反復解法とは?

  • わかりやすい

  • プログラムを組みやすい

  • 反復回数が少ない

  • 解の精度が良い

  •  f(x) の絶対値がほとんど0


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今週の課題(その1)

1. レポート用紙に書かれた関数に対して自分の手で二分    法・はさみうち法を実行し、解を求めよ。

また、二分法及びはさみうち法それぞれが得意・不得意   とするする関数はどのようなものか、自分の考えを      述べよ。

  締め切り:12月15日(金)11時まで  

         問題1:所定のレポート用紙に書いて提出

問題2,3:PCを使って提出


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今週の課題(その2)

2. はさみうち法のプログラムを作れ。

  (二分法のプログラムを参考に)

3. 下記の3種類の方程式に対して二分法、はさみうち法を

  適用し、反復回数および解の精度を比べて2つの解法を

  評価せよ。

なお、上記の式の中で

a =学籍番号の下二桁目(0の場合は10)

b = 学籍番号の下一桁目(0の場合は10)  とする。

例えば、A0071321の学生の場合 a = 2, b = 1


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