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第 23 讲. 三重积分坐标变换. 一般坐标变换. 定理 1. 设. 为有界闭域,函数 f ( x, y, z ) 在. 上连续 ,. 变换. 具有连续偏导数,且将. 一一地映成. 而在. 上. 则. 雅可比行列式. 柱坐标. 将空间点的 x , y 坐标用极坐标代替, z 坐标不变。. z. 从 x 轴正向到 OM 0 的角,. 称. 为点 M 的 柱坐标 。. O. 空间除 x 轴上的点外,每点都有. y. x. 有时也可规定. 唯一 的柱坐标。. 的柱坐标表示。. 其中. 为. 柱面坐标变换. 考虑变换.

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第 23 讲

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Presentation Transcript


23

第 23 讲

三重积分坐标变换


23

一般坐标变换

定理 1.设

为有界闭域,函数f(x, y, z) 在

上连续,

变换

具有连续偏导数,且将

一一地映成

而在

雅可比行列式


23

柱坐标

将空间点的 x, y坐标用极坐标代替,z坐标不变。

z

从 x轴正向到 OM0的角,

为点 M的柱坐标。

O

空间除 x轴上的点外,每点都有

y

x

有时也可规定

唯一 的柱坐标。


23

的柱坐标表示。

其中

柱面坐标变换

考虑变换

对应的雅可比行列式

成立


23

在 x y 面的投影区域 为 D,

z

例 1. 计算

其中

围成。

解:

则在柱坐标变换

O

y

下,

D表示为 :

x

因此


23

例 2. 求抛物面

z

截得的有界体的体积。

被平面

解:

有界体为

其体积为 V,

在 x y 面的投影区域 为 D,

O

则在柱坐标变换

y

x

下,

D表示为 :

因此


23

练习. 计算球面

z

围成的区域的体积 V。

2

o

y

x


23

z

球坐标

z轴正

向与 OM的夹角,

从 x轴正向到 OM0的角,

y

为点 M的球坐标。

O

x

空间除 x轴上的点外,每点都有

唯一 的球坐标。

有时也可规定


23

特殊曲面

z

球面。

锥面。

半平面。

O

y

x


23

的球坐标表示。

其中

球坐标变换

考虑变换

对应的雅可比行列式

成立


23

表示为

其中

例 3. 计算

z

球面

及锥面

围成。

作球坐标变换

解:

o

y

x

则锥面为

球面为


23

作球坐标变换

解:

z

则锥面为

球面为

表示为

o

y

x


23

是由

其中

例 4. 计算

z

球面

围成的区域。

作球坐标变换

解:

1

o

则球面方程为

表示为

x

y


23

z

作球坐标变换

解:

则球面方程为

表示为

1

o

x

y


23

练习. 计算球面

z

围成的区域 W的体积 V。(用球坐标)

2

o

y

x


23

围成的区域

例 5. 计算曲面

w

的体积 V.

作变换

解:

则在 u v w坐标系内,所给曲面变为

v

变换对应的雅可比行列式为

u

因此


23

作变换

解:

则在 u v w坐标系内,所给曲面变为

w

变换对应的雅可比行列式为

因此

v

u


P 103 2 2 3 4 6 8

作业:P103. 2. (2) (3) (4) (6) .8.


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