4 双因素试验的方差分析品种和土壤对农作物的影响

影响试验结果的因素不止一个，要用双因素或 多因素的方差分析； • 确定哪些因素是主要的，它们对试验结果的影响是否显著； • 它们之间是否有交互作用。

（一）双因素等重复试验（有交互作用）的方差分析 设有两个因素A，B作用于试验的指标。因素A有r个水平因素B有s个水平对因素 A,B的水平的每对组合(Ai,Bj)，都作t (t≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下结果

设：各独立，均为未知参数。或写成：（4.1）

引入记号： 易见：称为总平均，为水平的效应，称为水平的效应.

表示成 （4.2）记（4.3）此时（2.4）称为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai, Bj联合作用引起的，易见：

（4.1）可写成 （4.5）其中都是未知参数。（4.5）式就是双因素试验方差分析的数学模型。

对于这一模型要检验以下三个假设： （4.6）（4.7）（4.8）

与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是建立在平方和的分解上。引入记号：与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是建立在平方和的分解上。引入记号：

总偏差平方和（称为总变差） ST写成：即得平方和的分解式：（4.9）

其中（4.10）（4.11） (4.12) （4.13） SE称为误差平方和，SA,SB分别称为因素A、因素B的效应平方和，称为A,B交互效应平方和。

可以证明 的自由度依次为且有：（4.14）（4.15）（4.16）

（4.17） 当为真时，可以证明（4.18）取显著性水平为，得假设的拒绝域为（4.19）类似地，在显著性水平下，假设H02的拒绝域为（4.20）

在显著性水平 下，假设H03的拒绝域为（4.21）上述结果可汇总成下列的方差分析表：

表9.9 双因素试验的方差分析表

可以按照下述（4.22）式来计算上表中的各个平方和。可以按照下述（4.22）式来计算上表中的各个平方和。（4.22）

例1：在上一节例3中，假设符合双因素方差分析模型所需的条件，试在水平0.05下，检验不同燃料（因素A），不同推进器（因素B）下的射程是否有显著差异？交互作用是否显著？例1：在上一节例3中，假设符合双因素方差分析模型所需的条件，试在水平0.05下，检验不同燃料（因素A），不同推进器（因素B）下的射程是否有显著差异？交互作用是否显著？解：需检验假设计算，故有现在

得方差分析表如下：

表9.11 例1的方差分析表

由于拒绝假设即，燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是显著的。又，拒绝H03。交互作用效应是高度显著的。

例2：在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度（因素B）与时间（因素A）各取两个水平，产品强度的测定结果（相对值）如表9.12所示。在同一条件下每个实验重复两次。设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同。各样本独立。问热处理温度、时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响（取例2：在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度（因素B）与时间（因素A）各取两个水平，产品强度的测定结果（相对值）如表9.12所示。在同一条件下每个实验重复两次。设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同。各样本独立。问热处理温度、时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响（取 =0.05）？

表9.12

解：按题意需检验假设(4.6)~(4.8)，作计算如下：解：按题意需检验假设(4.6)~(4.8)，作计算如下：得方差分析表如表9.13

表9.13 例2的方差分析表 由于所以认为时间对强度的影响不显著，而温度的影响显著，且交互作用的影响也显著。

（二）双因素无重复试验的方差分析 为要检验交互作用的效应是否显著，对于两个因素的每一组合至少要做2次试验。如果已经知道不存在交互作用，或交互作用对试验的指标影响很小，则可以不考虑交互作用，减少试验次数。也能对因素A、因素B的效应进行分析。现设对于两个因素的每一组合只做一次试验，所得结果如下：

设其中各独立，均为未知参数，或写成（4.23）

现在假设不存在交互作用，此时 故由(4.4)式知于是（4.23）可写成（4.24）这就是双因素无重复试验要研究的方差分析的模型。

这个模型要检验的假设有以下两个： （4.25）可得方差分析表如下：

取显著性水平为 ，得假设的拒绝域为假设的拒绝域为

表9.15中的平方和可按下述式子来计算： （4.27）其中

例3 下面给出了在某5个不同地点、不同时间空气中的颗粒状物（以mg/m3计）的含量的数据：

设本题符合模型（4.24）中的条件，试在水平 下检验：在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异，在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异。解现在由（2.27）得到：

得方差分析表如下：表9.16 例3的方差分析表 由于故拒绝及及，即认为不同时间下颗粒状物含量的均值有显著差异，也认为不同地点下颗粒状物含量的均值有显著差异。即时间和地点对颗粒物的含量的影响均为显著。

5. 正交试验设计简介 正交设计是一种安排和分析试验的方法。特点： • 一对因素的任一水平组合必须在试验中出现，且出现次数相同。 • 试验次数比全面试验次数（所有因素的任一水平组合都要进行搭配）要少许多，例如7因素2水平的全面试验要进行27＝128次，而用正交表安排试验只需8次。

例. 某印染厂生产漂白布，增白处理配方是： A：增白剂3g/L B：100％FFG蓝6mg/L C：300％FFRN莲4.8mg/L 长期以来，漂白白度总是在99左右。为提高白度，降低成本，需提出合理配方。解：（1）确定试验因素。三因素：A 增白剂、B FFG蓝、C FFRN莲；（2）确定因素变化范围：A 1.7~2.5, B 13~18, 10~15; （3）确定每个因素所取的水平。每个因素取二个水平，见表。

（4）试验设计。一种办法全面试验：共需做23＝8次A1B1C1,A1B2C1,A1B2C2,A1B1C2 A2B1C1,A2B2C2,A2B2C1,A2B1C2按正交表试验：用L4（23）：L表示正交表，4表示试验次数4次，2表示2水平，3表示最多可安排3个因素。

按正交表安排试验： 比较，较好的生产方案是A1B2C2

4 双因素 试验的方差分析 品种 和 土壤 对农作物的影响