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FNT. AULA 7 NÚMEROS COMPLEXOS. NÚMEROS COMPLEXOS. DEFINIÇÃO.

dinesh
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Presentation Transcript

  1. FNT AULA 7 NÚMEROS COMPLEXOS

  2. NÚMEROS COMPLEXOS DEFINIÇÃO QUANDO A CORRENTE ALTERNADA PASSOU A SER UTILIZADA, NO FINAL DO SÉCULO XIX, SURGIU A NECESSIDADE DE MODELAR MATEMATICAMENTE OS CIRCUITOS E EQUIPAMENTOS ELÉTRICOS RESPECTIVOS, A FIM DE SE ANALISAR O SEU COMPORTAMENTO E VIABILIZAR O SEU DESENVOLVIMENTO. OS NÚMEROS COMPLEXOS SURGIRAM PARA EXPLICAR, POR EXEMPLO, RAÍZES QUADRADAS DE NÚMEROS NEGATIVOS QUE NÃO TINHAM SENTIDO, OU SEJA: -9 ???

  3. NÚMEROS COMPLEXOS PARA DAR SENTIDO A ESSAS RAÍZES, FOI NECESSÁRIO AMPLIAR O CONCEITO DE NÚMERO, OU SEJA: -9 = 9 (-1) = 9 . (-1) = 3 (-1) COMO SENDO O NÚMERO QUE SE REPRESENTA POR j DENOMINADO UNIDADE IMAGINÁRIA A UNIDADE IMAGINÁRIA É DEFINIDA PELA CONDIÇÃO j² = -1 ACEITA-SE, ENTÃO, O SÍMBOLO (-1)

  4. NÚMEROS COMPLEXOS PORTANTO j = (-1) É A UNIDADE IMAGINÁRIA A SOMA a + jb DE UM NÚMERO REAL COM UM IMAGINÁRIO PURO DENOMINA-SE NÚMERO COMPLEXO, SENDO a E b NÚMEROS REAIS DIZ-SE QUE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA z = a + jb ESTÁ NA FORMA CARTESIANA OU RETANGULAR E PODE SER REPRESENTADO EM UM PLANO ORTOGONAL, NO QUAL O EIXO HORIZONTAL É O EIXO DOS NÚMEROS REAIS E O EIXO VERTICAL, O EIXO DOS NÚMEROS IMAGINÁRIOS

  5. NÚMEROS COMPLEXOS EIXO IMAGINÁRIO z(a,b) b a EIXO REAL REPRESENTAÇÃO NO PLANO CARTESIANO DO NÚMERO Z = a + jb

  6. NÚMEROS COMPLEXOS IMPORTANTE P b O SEGMENTO OP REPRESENTA GRAFICAMENTE O MÓDULO DO NÚMERO COMPLEXO z E O ÂNGULO Ɵ É CHAMADO DE ARGUMENTO z Ɵ O a OP = a² + b² = z sen Ɵ = b cos Ɵ = a tg Ɵ = b z z a

  7. NÚMEROS COMPLEXOS COM ESSES NOVOS ELEMENTOS, PODE-SE REPRESENTAR O NÚMERO COMPLEXO z = a + jb NA FORMA: z = z . ( cos Ɵ + j sen Ɵ ) QUE É CHAMADA DE FORMA POLAR ONDE a = z . cos Ɵ E b = z . sen Ɵ DE FORMA SIMPLIFICADA, A FORMA POLAR É ESCRITA z = z Ɵ z b z Ɵ O a

  8. NÚMEROS COMPLEXOS CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO O CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO z = a + jb É DADO POR z E DEFINIDO POR z = a – jb (na forma cartesiana) OU POR z = z - Ɵ

  9. TRANSFORMAÇÃO DA FORMA CARTESIANA EM POLAR SE z = a + jb É A FORMA CARTESIANA, NA FORMA POLAR z = z Ɵ DEVE-SE CALCULAR z = a² + b² E Ɵ = arctg b a EXEMPLOS • z1 = 5 – j10 z = 5² + (-10)² = 125 = 11,18 Ɵ = arctg -10 = arctg (-2) = - 63,43º 5 z1 = 11,18 - 63,43º

  10. TRANSFORMAÇÃO DA FORMA CARTESIANA EM POLAR b) z2 = - 2 + j3 z = (-2)² + 3² = 13 = 3,606 Ɵ = arctg 3 = arctg (-1,5) = - 56,31º -2 z2 = 3,606 - 56,31º c) z3 = 4 + j4 z = 4² + 4² = 5,66 Ɵ = arctg 4 = arctg (1) = 45º 4 z3 = 5,66 45º

  11. TRANSFORMAÇÃO DA FORMA POLAR EM CARTESIANA SE z = z Ɵ É A FORMA POLAR, NA FORMA CARTESIANA DEVE- SE CALCULAR z = a + jb a = z . cosƟ b = z . senƟ EXEMPLOS • z1 = 10 60º a = z1 . cosƟ = 10 . cos60º = 5 b = z1 . senƟ = 10. sen60º = 8,66 z1 = 5 + j8,66 b) z2 = 50 -90º a = z2 . cosƟ = 50 . cos(-90º) = 0 b = z2 . senƟ = 50. sen(-90º) = -50 z2 = 0 – j50

  12. OBTENÇÃO DO CONJUGADO EXEMPLOS • z1 = 5 – j4 z1 = 5 + j4 • z2 = 10 60º z2 = 10 - 60º

  13. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 1) A FORMA a + jb de z = 1 + j2 é: 1 - j • z = 1 + j2 . 1 + j = 1 + j + j2 + j²2 = 1 + j3 + (-1).2 = -1 + j3 • 1 – j 1 + j 1 + j – j - j² 1 – (-1) 2 • Portanto: -1 + j3 2 2 2) NO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS z = 1 + j VALE? 1 - j z = 1 + j . 1 + j = 1 + j + j + j² = 1 + j2 + (-1) = j2 = j 1 – j 1 + j 1 + j – j - j² 1 – (-1) 2

  14. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 3) ESCREVER O NÚMERO COMPLEXO z = 3 + j4 na forma a + jb 2 + j Resp: z = 10 + j 5 3 3 4) QUAL É O VALOR DE m PARA QUE O PRODUTO DE ( 2 + jm). (3 + j) SEJA IMAGINÁRIO PURO? (2 + jm). (3 + j) = 6 + j2 + j3m + j²m = 6 + j2 + j3m – m = (6 - m) + j(2 + 3m) Para que seja um imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero. Nesse caso: 6 - m = 0, onde m = 6

  15. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 1 . SOMA E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS REALIZAR COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA CARTESIANA • SOMAR OS NÚMEROS COMPLEXOS z1 = 5 + j10 E z2 = 15 – j25 z1 + z2 = 5 + j10 + 15 – j25 = (5 +15) + j(10 - 25), portanto z1 + z2 = 20 – j15

  16. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS b) OBTER z1 – z2 COM z1 = 18 55º E z2 = 19 46º a = z1 . cosƟ = 18 . cos 55º = 10,324 b = z1 . senƟ = 18 . sen 55º = 14,745 a = z2 . cosƟ = 19 . cos 46º = 13,199 b = z2 . senƟ = 19 . sen 46º = 13,667 z1 - z2 = 10,324 + j14,745 – (13,199 + j13,667) z1 – z2 = (10,324 – 13,199) + j(14,745 -13,667), portanto z1 – z2 = -2,875 + j1,078

  17. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 2. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS REALIZAR COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLAR • MULTIPLICAR OS NÚMEROS COMPLEXOS z1 = 5 + j12 E z2 = 3 – j4,5 z1 = 5 + j12 = 13 67,38º z2 = 3 – j4,5 = 5,408 -56,31º z1 . z2 = 13 67,38º . 5,408 -56,31º = (13 . 5,408) 67,38 + (-56,31) z1 . z2 = 70,304 11,07º

  18. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS b) DIVIDIR OS NÚMEROS COMPLEXOS z1 = 26,926 -68,20º E z2 = 36,056 56,31º z1 = 26,926 -68,20º = 0,747 -68,20º - 56,31º = 0,747 -124,51º z2 36,056 56,31º

  19. EXERCÍCIOS 1) TRANSFORME PARA A FORMA POLAR OS SEGUINTES NÚMEROS COMPLEXOS: z1 = 6,1 + j13 z2 = 0,5 – j0,67 z3 = -2 – j3 z4 = -5 – j4 z5 = -j5 2) TRANSFORME PARA A FORMA CARTESIANA: • z1 = 3,5 15° B) z2 = 0,7 - 20° C) z3 = 3,8 90° D) z4 = 7,35 112° E) z5 = 1967 - 90° F) z6 = 245 198°

  20. EXERCÍCIOS 3) DADOS: PEDE-SE 4) DADOS: PEDE-SE

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