SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE IN FISICA SANITARIA CORSO di MODELLISTICA Modulo di

1. SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE IN FISICA SANITARIA CORSO di MODELLISTICA Modulo di ELEMENTI DI TEORIA DELL’ANALISI COMPARTIMENTALE Sito internet: http://users.unimi.it/agiuss/modelli.html TEL 02.50317432 e-mail: augusto.giussani@unimi.it

2. SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE IN FISICA SANITARIA CORSO di MODELLISTICA Modulo di ELEMENTI DI TEORIA DELL’ANALISI COMPARTIMENTALE Sito internet: http://users.unimi.it/agiuss/modelli.html ARGOMENTI Teoria del tracciante Integrale di convoluzione Analisi compartimentale Identificabilità a priori Stima dei parametri incogniti Tecniche di minimizzazione ai minimi quadrati Modelli di varianza Esempi ed esercizi pratici col software SAAMII (Forcing functions, fit bayesiano….) Analisi di sensibilità. Metodi per la raccolta di dati sperimentali.

3. SISTEMA IN STATO STAZIONARIO COSTANTE E SENZA INPUT DALL’ESTERNO Pool non accessibile Ipotesi: ho un solo compartimento accessibile, tutto il resto lo vedo come un unico insieme Rate of appearance: Ra(t) = R10(t)+E1(t) Rate of disappearance:

4. SISTEMA IN STATO STAZIONARIO COSTANTE E SENZA INPUT DALL’ESTERNO Ra=Rd Se si vuole conoscere Ra, bisogna trovare il collegamento tra Ra e la variabile accessibile alla misura (es. concentrazione della sostanza). Questo collegamento è dato dalla relazione: h(t) è il “kernel” (nocciolo) del sistema: dà la risposta del sistema ad uno stimolo (che è Ra). Nel caso stazionario, Ra e C sono costanti, e la relazione precedente può essere espressa come

5. DETERMINAZIONE DELLA FUNZIONE h(t) UTILIZZO DEL TRACCIANTE • Condizioni che deve soddisfare il tracciante: • Comportarsi come la sostanza da tracciare (tracee) • Quantità trascurabile rispetto al tracee • Discriminabile dal tracee per mezzo di opportune tecniche analitiche di misura (traccianti radioattivi, traccianti stabili) Quindi: si somministra un tracciante, se ne determina la concentrazione nel compartimento accessibile (funzione risposta), si ricava h. SOMMINISTRAZIONE IN BOLO INFUSIONE A TASSO COSTANTE “PRIMED INFUSION”

6. SOMMINISTRAZIONE IN BOLO

7. INFUSIONE A TASSO COSTANTE

8. “PRIMED INFUSION”

9. Equazioni della cinetica del tracciante Siccome nello stato stazionario Rijs e Qjs sono costanti, allora l’equazione che regola la cinetica del tracciante è un’equazione lineare, QUALE CHE SIA LA DINAMICA DEL TRACEE. Non è possibile però ricavare informazioni sulle eventuali variabili di controllo (non entrano nell’equazione del tracciante).

10. Equazioni della cinetica del tracciante: small signal perturbation. L’equazione del tracciante è sempre lineare, ma in questo caso i parametri kij corrispondono alla derivata del flusso rispetto alla quantità di tracee.

11. Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante. Due compartimenti accessibili Si vuole studiare la risposta del secondo compartimento ad un input generato nel primo

12. Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante. Due compartimenti accessibili Si vuole studiare la risposta del secondo compartimento ad un input generato nel primo

13. Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante. Due compartimenti accessibili Si vuole studiare la risposta del secondo compartimento ad un input generato nel primo

14. Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante. L’integrale di convoluzione può essere risolto facendo ricorso alle trasformate di Laplace:

15. Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante. Nel caso in cui si preferisca non ricorrere alle trasformate di Laplace, si può effettuare una discretizzazione dell’integrale di convoluzione

16. Metodo della convoluzione: calcolo della f1 con isotopi stabili.