圓錐曲線的切線與光學性質
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圓錐曲線的切線與光學性質. 圓錐曲線與直線關係. 1. 切線與割線的意義:. (1) 當直線 L 與曲線  交於 P 、 Q 兩相異點時,. 此時稱 L 為  的一條 割線 。. (2) 固定 P 點,當 Q 點在曲線  上移動逼近 P 點時,. 割線 L 繞 P 點旋轉,當 Q 點一旦與 P 點重合,. L 就不再是割線,此時稱直線 L 為曲線  的 切線 , P 為 切點 。. P. P. . . . . . 切線. . . . Q. Q. 割線 L. 割線 L.

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圓錐曲線的切線與光學性質

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Presentation Transcript


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圓錐曲線的切線與光學性質


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圓錐曲線與直線關係

1. 切線與割線的意義:

(1) 當直線 L與曲線 交於 P、Q 兩相異點時,

此時稱 L為 的一條割線。

(2) 固定 P點,當 Q 點在曲線 上移動逼近 P點時,

割線 L繞 P點旋轉,當 Q 點一旦與 P點重合,

L就不再是割線,此時稱直線 L為曲線 的切線, P 為切點。

P

P

切線

Q

Q

割線 L

割線 L

本段結束


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2. 圓錐曲線與直線關係的判別:

已知圓錐曲線的方程式為 f(x,y)=0及一直線 L:ax+by+c=0,

解聯立方程組

可得 x 的一元二次方程式 px2+qx+r=0,令其判別式 D=q24pr,

則:

(1) 當 D>0時,圓錐曲線與直線 L相交於相異兩點 ( L為割線)。

(2) 當 D=0時,圓錐曲線與直線 L相切於一點 ( L為切線)。

(3) 當 D<0時,圓錐曲線與直線 L沒有交點。

本段結束


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3. 圓錐曲線的切線:

(1) 當直線與橢圓相交於一點時,

此直線必為切線。

(2) 當直線與拋物線相交於一點時,若此直線不與軸平行,

則此直線必為切線,此時,拋物線落在直線的同一側。

(3) 當直線與雙曲線相交於一點時,若此直線不與漸近線平行,

則此直線必為切線,此時,雙曲線的兩支分別落在直線的兩側。

P

P

P

橢圓的切線

雙曲線的切線

拋物線的切線

To be continued


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不一定為切線。

注意:交於一點 (如下圖所示)

( 切線 有重根  判別式 D=0 )

切線 交於一點。

漸近線

L

P

L

P

與拋物線軸平行的直線

與雙曲線之漸近線平行的直線

本段結束


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切線的性質:

  • 過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線,任意與圓或橢圓恰有一交點的直線都是圓或橢圓的切線。

  • 圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點,但一曲線的切線與曲線,不一定只有一交點。反之,與曲線恰有一交點的直線也不一定是切線。

  • (3)平行拋物線的對稱軸的直線與拋物線都恰有一交點,平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交點,但它們都不是切線。

本段結束


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圓錐曲線切線的基本求法

也可假設已知斜率利用公式

也可考慮根與係數兩根之和


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圓錐曲線的切線方程式


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圓錐曲線的切線方程式

1.「已知切點」的切線方程式:

在坐標平面上,軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、

橢圓、雙曲線)方程式皆可表為

Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,其中 A、C 不皆為 0。

二次曲線 :Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 上

一已知點 P(x0 , y0) 為切點的切線方程式為

(見P.63-65)

2. 範例:求過點 (2,2) 且與拋物線 x2+xy8=0 相切的直線方程式。

解:切點P(x0 , y0)=(2 ,2),

整理得切線方程式為 5xy12=0。

Let’s do an exercise !


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馬上練習:

(2) 求過點 (3,1)且與雙曲線 4x2y28x2y9=0

相切的直線方程式。

Ans:(1) 3x+2y12=0。 (2) 4xy11=0。

解:(1) 切點 P(x0 , y0)=(2 , 3),

整理得切線方程式為 3x+2y12=0。

To be continued (2)

(2) 切點 P(x0 , y0)=(3 , 1),

整理得切線方程式為 4xy11=0。


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圓錐曲線的切線方程式

圓、橢圓與雙曲線可用

來推導切線公式


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3.「已知斜率」的切線方程式:

證明:設切線 L:y=mx+k,

得 Bx2+A(mx+k)2AB=0,

代入 Bx2+Ay2AB=0,

以 x 集項整理得 (B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0,

因為相切 x 有重根

 (2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0,

(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)=0。

得 k2=Am2+B,

To be continued


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注意:

設斜率為 m 的切線為 y=mx+k,代入拋物線方程式,

利用相切 判別式 D=0,即可求得 k。

本段結束


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拋物線已知斜率之切線


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4. 範例:

解:

且 m=1

y = x3,

即 x+y3=0 或 x+y+3=0。

Let’s do an exercise !


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馬上練習:

Ans: x2y+4=0 或 x2y4=0。

解:

即 x2y+4=0 或 x2y4=0。


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5. 範例:

解:設切線 L:x2y=k,

x2y=k

x2y8=0

x2y+2=0

即 x2y+2=0或 x2y8=0。

2x+y+12=0


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6. 範例:求斜率為 3 且與拋物線 y=x2+5x+3 相切

的直線方程式,及其切點。

解:設所求 y=3x+k,代入 y=x2+5x+3,

x28x+(k3)=0

相切 判別式 D=0

 k=19。

得切線為 y=3x+19。

x=4。

且x28x+(193)=0

故切點為 (4,7)。

Let’s do an exercise !


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馬上練習:設拋物線 y=2x23x+1,求斜率為 5

的切線方程式,及其切點。

Ans:切線y=5x7,切點(2,3)。

解:設所求 y=5x+k,代入 y=2x23x+1,

相切 判別式 D=0

得切線為 y=5x7。

且2x28x+(1+7)=0

x=2。

故切點為 (2,3)。


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7. 「曲線外」已知點的切線方程式:

P

(1) 過拋物線外一點 P,有兩條切線。

P

(2) 過橢圓外一點 P,有兩條切線。

(3) 過雙曲線外一點 P,切線有三種情形:

當 P點為中心時,過點 P的任意直線都不是切線

沒有切線。

只有一條切線。

當 P點不是中心且落在漸近線上時

有兩條切線。

當 P點不在漸近線上且不在雙曲線內部時

P

P

P

本段結束


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8. 範例:

解:點 P(1,4)在橢圓外,故有兩條切線。

故所求切線為 x+y3=0 或 5xy+9=0。

To be continued  注意


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注意:可設過 (1,4) 的切線其切點為 (x0 , y0),

(1,4)

(x0 , y0)

得切線為 x+y3=0 或 5xy+9=0。

Let’s do an exercise !


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馬上練習:求過點 (1,3)且與雙曲線 4x2y2=4 相切的直線方程式。

Ans:13x6y+5=0,x=1。

點 (1,3) 不在雙曲線上,

解:

又點 (1,3) 非中心且不在漸近線 2xy=0 上

 兩條切線。

故所求切線為 13x6y+5=0 或 x=1 (鉛直線)。


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9. 範例:求過點 (2,0)且與拋物線 y=x22x+4 相切的直線方程式。

解:點 (2,0)不在拋物線上,

設切線方程式為 y=m(x2),代入 y=x22x+4,

相切 判別式 D=0

解得 m=2 或 6。

故所求切線為 2x+y4=0 或 6xy12=0。

Let’s do an exercise !


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馬上練習:求過點 (4,1)且與拋物線 2x=y2相切的直線方程式。

Ans:x+4y+8=0,x2y+2=0。

解:點 (4 ,1)不在拋物線上,設切線 y+1=m(x+4),

相切 判別式 D=0,

故所求切線為 x+4y+8=0 或 x2y+2=0。


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圓錐曲線的光學性質

1. 拋物線的的光學性質:

由拋物線焦點F射出的光線,

射到拋物線上經反射後,都會與軸平行。

反之,與軸平行的入射光,

射到拋物線上經反射後,都會通過焦點 F。

F

F

平行軸的光線反射後必過焦點

焦點射出的光線反射後必平行軸

To be continued


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證明:設點 P為拋物線上任一點

準線 L

Q

H

P

1

A

3

2

M

F

又 QHA 為直角 

切線

所以 Q點不在拋物線上,

故 1=2。

且此時 2=3,

1=3 (對頂角相等),

注意:準線 L上任一點 A 與焦點 F

本段結束


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2. 範例:一光線經過點 (7,4) 沿水平方向前進,

遇到拋物線 :y2=4x 上一點 P,

經反射後通過  上的點 Q,求 Q 的坐標。

解:光線碰到 上的點 P(4,4) 後,

反射必過 y2=4x的焦點 F(1,0),

P

(7,4)

F

Q

Let’s do an exercise !


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馬上練習:一光線經過點 (4,6) 沿鉛直方向前進,

遇到拋物線 :x2=16y 上一點 P,

經反射後通過 上的點 Q,求 Q 的坐標。

Ans:(16 ,16)

解:光線碰到 上的點 P(4,1) 後,

反射必過x2=16y的焦點 F(0,4),

(4,6)

F

Q

P


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馬上練習:一光線經過點 (4,6) 沿鉛直方向前進,

遇到拋物線 :x2=16y 上一點 P,

經反射後通過 上的點 Q,求 Q 的坐標。

Ans:(16 ,16)

解:光線碰到 上的點 P(4,1) 後,

反射必過x2=16y的焦點 F(0,4),

(4,6)

F

Q

P


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θ

ω

θ

ω

ω

θ

A

F

Q

P

準線

O

R

S


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3. 橢圓的光學性質:

P

由橢圓焦點 F2射出的光線,

射到橢圓上的點 P,

F1

F2

經反射後都會通過另一個焦點 F1。

To be continued  證明


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證明:以 F2為圓心,半徑為 2a (橢圓長軸長)作一圓,

A

設點 A 為圓上任一點

2a

Q

3

切線

M

1

2

P

F1

F2

因此 P點在橢圓上。

法線

切線

P

因此 Q 點不在橢圓上。

1

2

O

O

F1

F2

且此時2=3,

故1=2。

1=3(對頂角相等),

注意:F2PF1的平分線即為過 P點的法線。

本段結束


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4. 範例:已知橢圓  的兩焦點為 F1(1,7)、F2(2,2),

且 P(5,3) 在  上,試求過 P 與  相切的直線方程式。

解:

F1

切線

4k

D

5k

O

O

F2

P

法線

切線的斜率 = 3。

故所求切線為 3xy12=0。

Let’s do an exercise !


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馬上練習:如圖 F1、F2為橢圓  的兩焦點,直線 L 切  於 P 點,

且F1PF2=600。設 F1、F2對 L 的投影點分別為 A、B,

法線

B

Ans:16。

P

A

切線

n

300

300

m

解:

300

300

F2

F1


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5. 雙曲線的光學性質:

P

由焦點 F1射出的光線,

F2

F1

射到雙曲線上的點 P

其反射光所在的直線會通過另一個焦點 F2。

To be continued  證明


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證明:以 F2為圓心,半徑為 2a (雙曲線貫軸長)作一圓,

設點 A 為圓上任一點

Q

P

1

A

2a

3

2

M

因此 P點在雙曲線上。

F1

F2

切線

因此 Q點不在雙曲線上,

且此時 2=3,

1=3(對頂角相等),

故 1=2。

注意:F2PF1 的平分線即為過 P點的切線。

本段結束


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6. 範例:已知 A(4,3) 為雙曲線 x22y2+4x+4y26=0 上一點,且

F1、F2 為雙曲線的兩焦點,求F1AF2 的分角線方程式。

解:所求即為過 A點的切線

切點 A(x0 , y0)=(4 , 3),

整理所求為 3x2y6=0。

A

Let’s do an exercise !

F2

F1

切線


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若一光線從  的焦點 F1(3,0) 發射,

馬上練習:

碰到 上的 P 點,反射後通過點A(9,6),

已知 P 點在第一象限,求 P 點坐標。

Ans:P (5,4)。

解:反射線 PA的延長線必過 F2(3,0),

A(9,6)

P

F2

F1

故所求點 P (5,4)。

本節結束


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圓錐曲線的弦

1. 範例(中點弦):

求以 (1,2) 為中點之弦方程式。

解:設此弦交於 A(x1 , y1),B(x2 , y2),則 x1+x2=2,y1+y2=4,

A(x1,y1)

M(1,2)

B(x2,y2)

所求為 8x+25y58=0。

Let’s do an exercise !


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馬上練習:在拋物線 :y2=6x 的諸弦中,

求以 M(4,3) 為中點之弦方程式。

Ans:xy1=0。

解:設此弦交於 A(x1 , y1),B(x2 , y2),則 x1+x2=8,y1+y2=6,

A(x1,y1)

M(4,3)

B(x2,y2)

所求為 xy1=0。


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2. 範例:若直線 x+2y=1 與橢圓 x2+4y2=4 交於 P,Q 兩點,

解:將 x=12y代入 x2+4y2=4,

得 8y24y3=0,

設交點 P(x1,y1),Q(x2,y2),

根 與 係 數 &

(ab)2與 (a+b)2

Let’s do an exercise !


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馬上練習:設 a、b 為實數。已知坐標平面上拋物線 y=x2+ax+b 與x 軸

交於 P、Q 兩點,

若拋物線 y=x2+ax+(b+2)

(99學測)

與 x 軸交於 R、S 兩點,

Ans:

得 x2+ax+b=0 ,

解:將 y=0 (即 x 軸) 代入 y=x2+ax+b,

設交點 P(x1 , 0),Q(x2 , 0),

得 x2+ax+(b+2)=0,

將 y=0 代入 y=x2+ax+(b+2),

設交點 R(x3, 0),S(x4 , 0),


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10. 範例:如圖,拋物線 y2=x 的圖形中有三條法線, L1、L2、L3(x軸)

通過點 (2,0),試求此拋物線有三條法線通過點 (a,0) 的 a 的範圍。

y

解:設直線 L 與 y2=x相切於 P(x0 , y0)

L1

L3

x

O

2

1

L2

同理,過 P(x0 ,y0)的切線為

y

M

L

P(x0 , y0)

x

O

P(x0, y0)

M

L


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