1 / 18

BÀI 3

Toán cao cấp 2. BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH. Ngày 03/11/2008. Gv TRẦN XUÂN THIỆN. Kiểm tra bài cũ. Giải phương trình sau : y’’ - 5y’ + 6y = 0. Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + py’ + qy = 0 (11.30). Kiểm tra bài cũ. Giải phương trình sau :

diata
Download Presentation

BÀI 3

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Toán cao cấp 2 BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH Ngày 03/11/2008 Gv TRẦN XUÂN THIỆN

  2. Kiểm tra bài cũ Giải phương trình sau : y’’ - 5y’ + 6y = 0

  3. Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + py’ + qy = 0 (11.30)

  4. Kiểm tra bài cũ Giải phương trình sau : y’’ -5y’+6y = 0 Giải : Phương trình đặc trưng : r2 – 5r + 6 = 0 (*) Phương trình (*) có nghiệm : Vậy nghiệm tổng quát tương ứng là :

  5. Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính 3.4 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi. 3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n. 3.4.2. f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn(x) là một đa thức bậc n.

  6. Nghiệmriêngcủaphươngtrình (11.32) códạng: Y = e αx.Qn(x) (11.33) vớiQn(x) làđathứcbậc n CáchệsốQn(x) đượcxácđịnhbằngcáchlấyđạohàmcáccấpcủa Y thayvàophươngtrìnhđãchorồicânbằngcáchệsốcủacáclũythừacùngbộicủa x. 3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n. α2 + pα + q ≠ 0 PTVTC2 códạng y’’ + py’ + qy = eαx.Pn(x) Nghiệmriêngcủaphươngtrình (11.32) códạng : Y = x. e αx.Qn(x) Nghiệmriêngcủaphươngtrình (11.32) códạng : Y = x2. e αx.Qn(x)

  7. Ví dụ • Giải các phương trình sau : 1. y’’ + y’ - 2y = 1 – x 2. y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) 3. y’’ -2y + y = x.ex

  8. 1.Giải phương trình : y’’ + y’-2y = 1 – x • Giải : Vế phải có dạng : f(x) = e 0x.P1(x) , α = 0, P1(x) = 1 - x Phương trình đặc trưng : r2 + r – 2 = 0  r = 1; r = -2 Nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + y’-2y = 0 là : y = C1ex + C2e- 2x Vì α = 0 không là nghiệm phương trình đặc trưng vậy nghiệm riêng Y có dạng: Y = e 0x.P1(x) = P1(x)  y = Ax + B ( A, B là hằng số ) Y’ = A , Y’’ = 0 . Thay vào phương trình đã cho ta được : Y’’ + Y’ – 2Y = A – 2(Ax + B) = -2Ax + A – 2B = 1 - x Đồng nhất hệ số ta được : Vậy :

  9. 2.Giải phương trình : y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) • Giải : Vế phải có dạng : eαx.P1(x) , trong đó α = 1: P1(x) là đa thức bậc một. Phương trình đặc trưng : r2 - 4r + 3 = 0  r = 1 và r = 3 . Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : y’’ – 4y’ + 3y = 0 là : y = C1ex + C2e3x Vì α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng : Y = ex. x.(Ax + B) = ex.(Ax2 + Bx) Do đó : Y’ = ex.(Ax2 + Bx) + ex.(2Ax + B) = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] Y’’ = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] + ex [2Ax2 + (B + 2A)] = ex [Ax2 + (B + 4A)x + 2B + 2A] Thế vào phương trình đã cho: ex [- 4Ax + 2A – 2B] = ex (x + 2) Vậy : Nghiệm tổng quát phải tìm là :

  10. 3.Giải phương trình : y’’ -2y + y = x.ex • Giải : Vế phải có dạng : eαx.P1(x) , trong đó α = 1, P1(x) = x là đa thức bậc một. Phương trình đặc trưng : r2 - 2r + 1 = 0  r = 1 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : y’’ – 2y’ + y = 0 là : y = ex (C1+ C2x) Vì α = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng : Y = ex. x2.(Ax + B) = ex.(Ax3 + Bx2) Do đó : Y’ = ex. (Ax3 + Bx2) + ex. (3Ax2 + 2Bx) = ex [Ax3 + (B + 3A)x2 + 2Bx] Y’’ = ex [Ax3 + (B + 3A)x2 + 2Bx] + ex [3Ax2 + 2(B + 3A)x + 2B] = ex [Ax3 + (B + 6A)x2 + 2(2B + 3A)x + 2B] Thế vào ta đc phương trình : ex [6Ax + 2B] = ex x Nghiệm tổng quát phải tìm là :

  11. 3.4.2. f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx ,với Pm(x), Pn(x) lần lượt là đa thức bậc m, n. β là hằng số y’’ + py’ + qy = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx ± iβ khônglànghiệmphươngtrìnhđặctrưng (11.31) thìnghiệmriêngcủa (11.32) códạng : Y= Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx với Q1(x), R1(x)lànhữngđathứcbậc l = max(m,n) ± iβ lànghiệmphươngtrìnhđặctrưng (11.31) thìnghiệmriêngcủa (11.32) códạng : Y = x[Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx] với Q1(x), R1(x)lànhữngđathứcbậc l = max(m,n)

  12. Ví dụ : • Giải các phương trình sau: 1. y’’ - 3y’ + 2y = 2sinx 2. y’’ + y = x.cosx

  13. Ví dụ 1: Giải phương trình : y’’ - 3y’ + 2y = 2sinx Phương trình đặc trưng : r2 - 3r +2 = 0  r = 1, r = 2 Nghiệm tổng quát của phương trình là : y’’ - 3y’ + 2y = 0 là : y = C1ex + C2e2x Phương trình vi phân đã cho có dạng : P0(x)sinβx với P0(x) = 2, β = 1 Do ±iβ = ±i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình đã cho có dạng : Y = A.cosx + B.sinx Y’ = - Asinx + Bcosx Y’’= -Acosx - Bsinx Thế vào phương trình ta được : (A – 3B)cosx + (3A + B)sinx = 2 sinx Nghiệm của phương trình đã cho là :

  14. Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :y’’ + y = x.cosx • Giải : Phương trình đặc trưng : r2 + 1 = 0  r = ±i nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là : y = C1cosx + C2sinx Vế phải của phương trình đã cho có dạng P1(x)cosβx, với P1(x) = x , β = 1 Vì : ±iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng : Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx] = [(Ax2 + Bx)cosx + (Cx2 + Dx)sinx] Do đó :Y’ = [Cx2 + (D + 2A)x + B]cosx + [-Ax2 + (2C – B)x + D]sinx Y’’ = [-Ax2 + (4C – B)x + 2D + A]cosx + [-Cx2 – (D + 4A)x + 2C -2B]sinx Thế vào phương trình đã cho ta được: (4C + 2D + 2A)cosx + (-4Ax + 2C – 2B)sinx = xcosx Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là :

  15. Nhiệm vụ về nhà • 1. Lý thuyết : cách giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi. • 2. Bài tập : bài 11(Tr.206)

  16. Ứng dụng giải phương trình vi phân bằng phần mềm Maple • Cú Pháp: dsolve(ODE) : giải phương trình vi phân ODE. dsolve(ODE, var) : giải phương trình vi phân ODE theo biến var. dsolve({ODE, ICs}, var) : giải phương trình vi phân ODE với điều kiện ban đầu ICs theo biến var.

  17. VD: giải phương trình: y’’ + 4y’ + y = 0 -Khai báo phương trình : > ODE:=diff(y(t),t$2)+4*diff(y(t),t)+y(t)=0; -Giải phương trình: > dsolve(ODE,y(t));

  18. Chaân thaønh caûm ôn quyù Thaày Coâ!

More Related