第二类拉格朗日方程的初积分

1. (i=1,2,…,n) 第二类拉格朗日方程的初积分

2. 即: 最高为广义速度的二次方 令： 再令： 广义速度的二次方项 广义速度的一次方项 广义速度的零次方项

3. 若L中不显含qs，则 则: T=T2+T1+T0 对主动力均为有势力系统 1. 循环积分 广义动量守恒 缺省的qs为循环坐标。

4. 每一式上乘上相应的 后，并求和有 ( j=1, …,k ) 2. 广义能量积分（能量积分） 在L中不显含时间t时，在 ①

5. 另从拉氏函数(不显含时间t)，即 得: ① ② 式②代入到式① ③ 将L=T-V=T2+T1+T0-V代入式③

6. 欧拉齐次函数定理 其中： 则式③为：2T2+T1-（T2+T1+T0-V）=常量 即：T2-T0+V=常量，为广义能量积分 对定常系统，T1=T0=0，T=T2，则T2+V=常量，为能量积分

7. 得： mg O q C j 例12 半径为R的匀质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中心水平轴O转动，绕其转动惯量为JO，另一半径为r、质量为m的匀质圆球C沿其内壁作纯滚动。试写出系统的运动微分方程。 解： 零势位 以球与圆柱的接触点为基点研究球心，有

8. 因为 即： q为循环坐标，有 又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由 保守系统 积分常数C1、C2由系统运动的初始状态决定。

9. 零势面 b 点的运动学 m1g m1g m2g l2 O l1 j C l2 l2 A B w 例13 一离心调速器。设小 球A、B的质量为m1，大小不 计，套筒C的质量为m2，杆重力不计、长如图示。试求转动的角速度w与张角j的关系。 解：

10. 得：L=T-V=T2+T0-V，为非定常系统，不显含t的，则：得：L=T-V=T2+T0-V，为非定常系统，不显含t的，则： T2-T0+V=C 上式对时间t求导，得 整理后为

11. 当w恒定时，有 ，则[ ]=0 上式中任意瞬时存在 即： 得：

12. j O R w 例14 系统如图示 。已知半径为R的半圆环已匀角速w 绕铅直轴转动，一质量为m 、半径为r匀质圆盘相对圆环作纯滚动。试求圆盘的运动微分方程。 C 解：当圆环的运动规律已知，且只需求圆盘的运动规律时，将系统看作为一个自由度，取广义坐标为j。 式中：

13. 势能为： 拉氏函数为： 存在广义能量积分为：T2-T0+V=C 即：

15. 哈密顿原理 1834年，哈密顿发表了历史性论文 “一种动力学的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成为动力学发展 过程中的新里程碑．文中的观点主要 是从光学研究中抽象出来的． 哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年 建立的经典力学的重新表述。它由拉格 朗日力学演变而来，那是经典力学的另 一表述，由拉格朗日于1788年建立。但 它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力 学表述。

16. q 可能运动1 真实运动 可能运动2 A B t 哈密顿原理 哈密顿原理是一种积分形式的变分原理，是哈密顿于1834年建立的。 哈密顿原理为：在相同的始终位置、相同，约束条件下，完整、主动力有势的系统在所有的可能运动中，真实运动使哈密顿作用量取驻值。 哈密顿原理在数学上是某个泛函的极值（驻定值）问题，或变分问题。

17. q dq 切线 q(t) q dq q1(t) dt t 一、变分的概念 1. 变分与微分的差别 q=q(t) q1=q(t)+eh(t) dq=q1-q(t)=eh(t) 变分： dq是同一时刻t，函数q1与q的差值，是等时变分。 微分： dq是同一函数、不同时刻（dt）的增量。 例：质点坐标x=x(q,t)，其中q=q(t)，计算其微分与变分。 解： 变分： 微分：

18. 二、变分运算的两个法则： 1. 变分与微分的运算次序互换性 证明：

19. 1. 变分与积分的运算次序互换性 证明：

20. 即 代回得 由动力学普遍方程 因为 所以 式中: 完整系统的哈密顿原理推导：（条件等同于拉格朗日方程） 惯性力的虚功

21. 于是得： 为了在(t2-t1)时间内区分真实运动和可能运动,将上式积分 在t2与t1瞬时，真实运动与可能运动具有相同的位置，即

22. S为哈密顿作用量 于是上式改变为： 令： 当系统上的主动力为有势力时，主动力的功为： 具有理想、完整约束的质点系，在有势力作用下，对于真实运动，哈密顿作用量有驻值（变分等于零）。

23. 0 广义坐标: A r j B 例15：物体A重力为P，放光滑表面，被绳索约束，绳的另一端悬挂重力为P的B物体，试用哈密顿求运动的微分方程。 解： 自由度2

24. 于是代入到： 中有： 式中：

25. 因为在t1和t2时，dr=0、dj=0；又dr、dj彼此独立，且其积分区间t1、t2是任意的，所以必有：

26. 广义坐标: 1 例16：半径为r、质量为m的匀质圆盘在地面做纯滚动，其质心悬挂长为3r、质量为m 的匀质杆。试求系统微摆动方程。 解： 自由度2 微振动时 sinq1=q1，cosq1=1 x q2 1

27. 零势位 式中： q2 1 mg

28. 于是代入到： 中有： 及

29. 略去高阶微量 微振动

30. x1 m2g 广义坐标: x2 b q m1g 例17：无重绳索一端悬挂质量m1物块，另一端绕质量m2，作滚动的空心圆柱，放光滑表面。试求：运动微分方程。 自由度2 解

31. 式中：

32. 于是代入到： 中有： 得