第    四   章
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第 四 章. 静定刚架. § 4-1 静定平面刚架的几何组成及特点. 一、平面刚架的特点 1、刚架 : 由梁柱相互刚结(或部分铰接)组成,主要由刚结点维持的几何不变的体系。 优点: 结构整体性好,刚度大,内力分布较均匀合理,净空大,应用广。. 下图是常见的几种刚架:图( a )是车站雨蓬,图( b )是多层多跨房屋,图( c )是具有部分铰结点的刚架。. ( a ). ( b ). ( c ). 刚结点与铰结点的区别:. ( 1 )在受力分析方面 :刚结点能传递力和力矩,而铰结点则只能传递力。. (d). (e). F P1. F P2.

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第 四 章

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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4099770

第 四 章

静定刚架


4099770

§4-1 静定平面刚架的几何组成及特点

  • 一、平面刚架的特点

  • 1、刚架:由梁柱相互刚结(或部分铰接)组成,主要由刚结点维持的几何不变的体系。

  • 优点:结构整体性好,刚度大,内力分布较均匀合理,净空大,应用广。

下图是常见的几种刚架:图(a)是车站雨蓬,图(b)是多层多跨房屋,图(c)是具有部分铰结点的刚架。


4099770

(a)

(b)

(c)

刚结点与铰结点的区别:

(1)在受力分析方面:刚结点能传递力和力矩,而铰结点则只能传递力。

(d)

(e)


4099770

FP1

FP2

(2)在几何变形方面:刚结点处连接的各杆端的轴线不能发生相对转动,因而受力变形后,各杆之间的夹角保持不变,但各杆件可以产生弯曲、剪切、轴向变形。铰结点所连接的各杆可以发生相对转动。

受力特点:内力相应有M,FQ,FN。杆件可称为“梁式杆”。


4099770

二、常见的静定平面刚架类型

1、悬臂刚架

2、简支刚架

3、三铰刚架

5、多层刚架

4、多跨刚架


4099770

§4-2 静定刚架支座反力的计算

刚架分析的步骤一般是先求出支座反力,再求出各杆控制截面的内力,然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。

简支刚架和悬臂刚架支座反力计算较简单,这里主要讨论三铰刚架和多跨刚架的支座反力计算。

在支座反力的计算过程中,应尽可能建立独立方程。


4099770

  计算如下图(a)所示三铰刚架的支座反力。

【解】此刚架具有四个支座反力,可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件,一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。

C

C

q

f

(a)

(b)

q

f

B

A

XA

XB

l /2

l /2

YA

YB

B

A

l /2

l /2


4099770

C

O

XC

C

YC

q

f

f

B

B

A

l /2

l /2

l /2

XA

XB

XB

(c)

(b)

YA

YB

YB

对O点取矩即得:

多跨刚架支座反力计算见P44例4.2

于是


4099770

§4-3 用截面法求静定刚架杆端截面内力

  • 1、刚架的内力及正负号规定

  • 弯矩M —不规定正负方向,弯矩图纵坐标画在杆件受拉纤维一边。

  • 剪力Q —规定同材力。

  • 轴力N —规定同材力。

  • 2、刚结点处的杆端截面及杆端截面内力的表示方法

  • 内力符号双脚标,两个字母表示两个杆端,第一个字母表示杆端力是哪一端的,第二个字母表示杆远端的标号。如MAB为AB杆A端的弯矩。


4099770

  • 3、杆端截面内力计算

  • 每一个杆件有两个杆端截面,沿杆端截面截开,在截开的截面处有三个未知内力M、Q、N,Q和N按正方向画,M可按任意假设方向画,一般假设未知M按顺时针旋转方向画。如计算结果为正,说明内力方向与图中方向相同;否则,与图中方向相反。

  • 4、刚结点处力和力矩的平衡校核

  • 刚结点上各杆端截面的内力应满足三个平衡条件:

  • ΣX=0 ΣY=0 ΣM=0

  • 用以校核杆件内力的计算结果。见P47例4.3


4099770

§4-4 静定平面刚架内力图的绘制

静定刚架内力图有弯矩图、剪力图和轴力图。刚架的内力图是由各杆的内力图组合而成的,而各杆的内力图,在求出杆端截面的内力值后,即可按梁中绘制内力图的方法画出。

一、一般绘制要点:

1、分段:根据荷载不连续点、结点分段。

2、定形:根据每段内的荷载情况,定出内力图的形状。


4099770

  • 3、求值:由截面法或内力算式,求出各控制截面的内力值。

4、画图:刚架内力图的纵坐标垂直于各杆轴线绘制。画M图时,将两端弯矩竖标画在受拉侧,不记正负号,连以直线,再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图(即分段叠加法)。Q,N 图可画在杆件任一边要标+,-号;内力图上应注明量纲。


4099770

40 kN

160 kN·m

D

C

B

B

B

20 kN/m

4m

4m

4m

20 kN/m

20 kN/m

A

A

A

B

2m

2m

A

(d)

M图

例1 试计算图(a)所示简支刚架的支座反力,并绘制M、Q和N图。

(1)支座反力

[解]

(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。

160

40

(a)

(b)

(c)


4099770

40kN

40kN

D

B

D

B

D

2m

2m

B

40kN

60

60

2m

2m

D

C

B

B

160kN·m

20kN/m

4m

4m

20

20kN/m

A

A

160

D

B

2m

2m

160

40

40

A

80

M图

40

160

20

60

80

Q图(kN)

M图 (kN·m)


4099770

20

B

0

20

60

160

D

80

B

Q图(kN)

160

40

20

40

A

N图(kN)

M 图 (kN·m)


4099770

作刚架Q、N图的另一种方法

首先作出M图;然后取杆件为分离体,建立力矩平衡方程,由杆端弯矩求杆端剪力;最后取结点为隔离体,利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。

qa2/2

↑↑↑↑↑↑↑↑

q

qa2/2

C

C

B

B

QCB

qa2/2

QCB

a

qa2/8

qa2/2

A

↑↑↑↑↑↑↑↑

QCA

M图

a

q

qa/2

NCB

QAC

0

NCA

qa/2

∑MC=qa2/2+ QCBa=0

QBC=QCB=-qa/2

qa

  • ∑MC=qa2/2+ qa2/2 -QACa=0

  • QAC=(qa2/2+ qa2/2 )/a

    • =qa

  • ∑MA=0

  • Q CA=(qa2/2 - qa2/2 )/a

    • =0

qa/2

  • ∑X=0,NCB =0

  • ∑Y=0,NCA=qa/2  ∥


4099770

q=4kN/m

↓↓↓↓↓↓

3.58

1.79

1.5m

C

6

6

α

4.5

D

E

3m

7.16

2

B

A

2

4kN/m

↓↓↓↓↓↓↓

NDC

C

NEC

QCE

C

3.58

1.79

α

α

α

7.16

E

Q CD

2kN

6

2kN

Q EC

D

3m

3m

1.79

NCE

3kN

3.13

2

9kN

0.45

2

QDC

9

3

å

=

+

a

-

+

a

=

X

(

N

3

.

13

)

cos

(

3

.

58

1

.

79

)

sin

0

CE

=

-

N

0

.

45

kN

CE

å

=

+

a

+

-

a

Y

(

3

.

13

0

.

45

)

sin

(

1

.

79

3

.

58

)

cos

校核

3

3

.

58

2

9

=

-

×

=

1

.

79

0

5

5

3.35m

3.35m

Q图(kN)

M图(kN.m)

α

3.13

∑MC=6+3 × 4×1.5+3.35QEC=0

QEC= -7.16kN

∑ME=6- 3 × 4 ×1.5+3.35QCE=0

QCE= 3.58kN

∑MD=6-QCD×3.35=0

QCD=1.79(kN)=QDC

5.82

N图(kN)


4099770

二、各类静定刚架的内力图绘制

FP1=1kN

FP2=4kN

1、悬臂刚架

解:

(1) 计算支座反力。

(2) 作弯矩图。

先求各杆杆端弯矩,再用分段叠加法作弯矩图。

FP3=1kN

q=0.4kN/m

FxA=3kN

MA=15kN·m

FyA =3kN


4099770

C

B

FP1=1kN

作隔离体图,如左图:

FQBC=1

MBC=1

FP1=1kN

FP2=4kN

FP2=4kN

MBE=4

FNBC=0

B

MA=15kN·m

B D E

FNBE=0

MBA=5

FP3=1kN

FP3=1kN

FQBE=3

FQBA=1

B

q=0.4kN/m

FNBA=-3

q=0.4kN/m

FxA =3kN

A

FyA =3kN


4099770

A、作弯矩图:

4

4

5

1

求各杆杆端弯矩:

CB段:MCB=0

MBC=1kN·m (左侧受拉)

BE段:MEB=0

MBE= - 4kN·m(上侧受拉)

BA段:

MBA=5kN·m (左侧受拉)

MAB=15kN·m(左侧受拉)

1.25

2

M 图

(kN·m)

15


4099770

C

B

FP1=1kN

FQBC

MBC

FP2=4kN

MBE

B

B D E

MBA

FP3=1kN

FQBE

FQBA

B

q=0.4kN/m

A

MA=15kN·m

B、作剪力图:

由杆件平衡计算杆端剪力,再由规律作剪力图。

CB杆:FQBC=+1kN

FQCB= +1kN

BE杆:FQBE=+3kN

FQEB= - 1kN

BA杆:FQBA=+1kN

FQAB=+3kN


4099770

3

+

+

1

-

由杆件平衡计算杆端剪力,再由规律作剪力图。

CB杆:FQBC=+1kN

FQCB= +1kN

BE杆:FQBE=+3kN

FQEB= - 1kN

BA杆:FQBA=+1kN

FQAB=+3kN

1

+

FQ图

( kN )

3


4099770

C、作轴力图:

由结点平衡计算杆端轴力,再由规律作轴力图。

FNBC=0

-

3

FNBE=0

1

B

1

FNBC= - 3kN

3

FN图

( kN )


4099770

D、校核:

MBC=1kN·m

B

MBE= 4kN·m

由结点弯矩平衡校核弯矩计算是否正确。

MBA=5kN·m

用计算中未使用过的隔离体平衡条件校核结构内力计算是否正确。

FP1=1kN

FP2=4kN

1kN

5kN·m

FP3=1kN

3kN


4099770

2m

2m

q

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

qL²

↓↓↓↓↓

L

q

L

如静定刚架仅绘制其弯矩图,并不需要求出全部反力。

如图所示悬臂刚架,可以不求反力,由自由端开始直接求作内力图。

2q

2q

½qL²

qL²

6q


4099770

40kN

2、简支刚架

40kN ·m

20kN/m

解:

(1)求支座反力

∑y=0

FCy =80kN(↑)

FAx=120kN

FCy=80kN

O

FBx=80kN

∑m0=0

FAx=120kN(←)

  • 校核:∑mC=0

∑x=0

FBx=80kN(→)


4099770

(2)、求杆端弯矩,作弯矩图

40kN

40kN ·m

20kN/m

可利用特点,直接作弯矩图。

MAD=0

MDA=120×3

=360kN·m

(右侧受拉)

MBE=0

MEB=80×4

=320kN·m

(左侧受拉)

FCy=80kN

FAx=120kN

FBx=80kN

  • MGF=0

  • MFG=40×2=80kN·m(左边受拉)

  • MFC=40×2=80kN·m(上边受拉)

=MCF


4099770

40kN

40kN ·m

20kN/m

求MDE、MED和MEC。

MDE=120×3+40

=400 kN·m

=MED

(下侧受拉)

FCy=80kN

FAx=120kN

FBx=80kN

MEC=80×4 - 20×4×2-40×2

40kN

40kN ·m

20kN/m

=80kN·m

MDE

(下侧受拉)

MEC

FCy=80kN

FAx=120kN


4099770

80

320

360

(3)、校核:

各刚结点弯矩是否平衡。

80

400

40

作弯矩图。

M图(kN ·m)

40kN ·m

MEC=80kN·m

MED=400kN·m

E

D

MDE=400kN·m

MEB=320kN·m

MDA =360kN·m


4099770

q

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

ql

D

C

ql

a

l/2

l/2

O

q

B

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

A

qa2/8

qa

a

a

l

简单的简支刚架绘制弯矩图时,往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力,然后由支座作起。

ql2/2

qL2/2

qa2/2

注意:BC杆和CD杆的

剪力等于零,相应的

弯矩图与轴线平行

qa2/2


4099770

3、三铰刚架

8kN/m

6.325m

2

6

(包括有斜杆的静定刚架)

解:

(1)求支座反力。

11.077kN

11.077kN

∑MB=0

FAy =36kN(↑)

12kN

36kN

∑x=0 FAx = FBx = Fx

∑MA=0

FBy =12kN(↑)

∑MC=0 6.5FBx – 6 FBy =0

FBx = Fx=11.077kN(←)


4099770

8×62/8=36

8kN/m

49.487

49.487

(2)作弯矩图

MAD=0

MDA=MDC

=11.077×4.5

=49.847kN·m

(外侧受拉)

MCD=0

MBE=0

MEB= MEC

=49.847kN·m

(外侧受拉)

M 图 (kN·m)

11.077kN

11.077kN

12kN

36kN


4099770

8kN/m

30.648

7.811

FNDA

49.847kN·m

-

+

FQDA

11.077

= -11.077

14.886

(3)作剪力图

-

+

11.077

FQ图 (kN)

11.077kN

11.077kN

11.077kN

36kN

12kN

36kN

8kN/m

FNCE

6.325

FNCD

49.847kN·m

49.847kN·m

2

ΣMD=0

α

6

FQCD

= - 14.886kN

FQCE

= - 7.881

FNDC

FQDC

FNEC

=30.648kN

FQEC

ΣMC=0


4099770

8kN/m

-

36

-

根据刚结点平衡的投影方程,求出各杆端轴力。

12

6.713

(4)作轴力图

14.303

-

-

21.892

11.077

FN图 (kN)

11.077kN

12kN

36kN

30.648kN

14.886kN

7.881kN

FNDC

= - 21.892kN

11.077kN

FNCE

= - 14.303

FNCD

= - 6.713kN

36kN


4099770

小结:

(1)三铰刚架在竖向荷载作用下,有水平反力。用整体三个平衡方程不能求出所有反力,需用铰C处弯矩为零的条件。(三刚片组成的体系,求反力的特点)

(2)注意斜杆的弯矩、剪力、轴力的计算。


4099770

速绘弯矩图:

M

M

M

M/2

M/2

M

M

l/2

2M/l

M/l

M/l

2M/l

l/2

l/2

M/l

M/l

FP

FP

FP l/4

FP l/4

FP l/4

FP l/4

FP /2

FP /2

FP /2

FP /2

FP /2

FP /2

FP /2

FP /2


4099770

4、多层多跨刚架

多层多跨静定刚架一般有两种基本组成形式:

①基本部分+附属部分组成形式。

②三刚片组成形式。

(1)基本部分+附属部分组成形式

计算原则:

①进行组成分析,找出基本部分和附属部分;

②先计算附属部分,再计算基本部分。


4099770

M=24kN ·m

举例说明:

FP=8kN

解:

1、组成:

基本部分:AFGB

附属部分:FHJG

2、计算:

先计算FHJG部分,

再计算AFGB部分。

计算图示于下。


4099770

M=24kN ·m

M=24kN ·m

3

FP=8kN

3

3

3

3

3

3

3

FP=8kN

1

1

1

7


4099770

24

M=24kN ·m

12

12

3

3

3

3

16

16

3

3

3

3

FP=8kN

4

4

12

12

M 图

1

1

( kN ·m)

1

7


4099770

M=24kN ·m

3

3

-

3

-

+

3

3

3

3

4

3

+

3

3

3

3

3

FP=8kN

-

-

+

1

4

1

1

1

FQ图 (kN)

1

7


4099770

M=24kN ·m

3

3

-

3

3

-

+

3

3

3

2

3

3

3

3

+

7

FP=8kN

-

-

1

1

1

FN图 (kN)

1

7


4099770

(2)三刚片组成的复杂刚架

FP=8kN

解:

1、上部体系为三刚片组成规律,上部体系与基础两刚片组成规律。

2、先计算支座反力,再计算上部体系。

8kN

12kN

12kN


4099770

FP=8kN

FP=8kN

8

4

4

4

4

0

8

8kN

8kN

12kN

12kN

先计算ABFG刚片F、G铰处的约束力,再反作用于HJFG刚片上。

12kN

12kN


4099770

FP=8kN

32

8

4

4

4

4

32

0

32

8kN

M 图 (kN·m)

12kN

12kN


4099770

FP=8kN

-

8

4

8

4

4

+

4

4

0

8

-

+

8

8kN

FQ 图 (kN)

12kN

12kN


4099770

FP=8kN

4

4

8

-

4

4

8

+

-

4

4

8

+

0

12

+

-

12

8kN

FN图 (kN)

12kN

12kN


4099770

h

h

m

m

m

q

ql2/8

ql2/8

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

l/2

l/2

  • 5、对称性的利用

  • 对称结构在对称荷载作用下,反力和内力都呈对称分布;对称结构在反对称荷载作用下,反力和内力都呈反对称分布。

ql2/8


4099770

静定刚架的M图正误判别

  • 利用内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系,可在绘制内力图时减少错误,提高效率。

  • 另外,根据这些关系,常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。常见错误有:

  • ① M图与荷载情况不符。

  • ② M图与结点性质、约束情况不符。

  • ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。


  • 4099770

    内力图形状特征

    2.均布荷载区段

    1.无何载区段

    3.集中力作用处

    4.集中力偶作用处

    温故而知新

    发生突变

    ↓↓↓↓↓↓

    平行轴线

    Q图

    无变化

    P

    出现尖点

    尖点指向即P的指向

    发生突变

    二次抛物线

    凸向即q指向

    m

    斜直线

    M图

    两直线平行

    备注

    Q=0区段M图

    平行于轴线

    Q=0处,M

    达到极值

    集中力作用截面剪力无定义

    集中力偶作用点弯矩无定义

    • 5、在自由端、铰支座、铰结点处,无集中力偶作用,截面弯矩等于零,有集中力偶作用,截面弯矩等于集中力偶的值。

    • 6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时,两杆端弯矩等值,同侧受拉。


    4099770

    P

    P

    D

    D

    ↓↓↓↓↓↓↓↓↓

    ↓↓↓↓↓↓↓↓↓

    B

    C

    B

    C

    q

    q

    A

    A

    E

    E

    (b)

    (a)

    ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

    C

    A

    (e)

    (f)

    B

    C

    A

    B

    ×

    ×

    ×

    ×

    ×

    ×


    4099770

    m

    A

    C

    D

    A

    C

    D

    B

    B

    m

    m

    m

    C

    m

    B

    (h)

    A

    (g)

    ×

    ×


    4099770

    (2)

    ( )

    (1)

    ( )

    (3)

    ( )

    ↓↓↓↓↓↓

    (6)

    ( )

    (4)

    ( )

    ↓↓↓↓↓↓↓↓

    (5)

    ( )

    ×

    ×

    ×

    ×

    ×

    ×


    4099770

    q

    2qa2

    E

    C

    6qa

    3a

    B

    D

    4a

    2q

    A

    4a

    2a

    2a

    例1. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力,并绘制M、Q和N图。

    解:(1)计算支座反力


    4099770

    q

    (2)计算各杆端截面力,绘制各杆M图

    2qa2

    E

    C

    6qa

    3a

    2qa2

    C

    B

    D

    D

    4a

    2q

    A

    4a

    2a

    2a

    0

    6qa

    0

    D

    B

    D

    1)杆CD

    2qa2

    M图

    2)杆DB

    结点D

    M图


    4099770

    q

    2qa2

    E

    C

    6qa

    q

    3a

    B

    D

    x

    E

    4a

    2q

    y

    3a

    A

    B

    4a

    2a

    2a

    4a

    B

    2qa

    A

    14qa2

    8qa

    10qa

    3)杆BE

    4)杆AB

    M图

    M图


    4099770

    (3)绘制结构M图

    E

    C

    2qa2

    2qa2

    B

    D

    D

    B

    B

    q

    2qa2

    6qa

    A

    8

    B

    10

    2q

    2

    也可直接从悬臂端开始计算杆件弯矩图

    2qa2

    M图


    4099770

    q

    2qa2

    E

    C

    6qa

    2qa2

    3a

    B

    D

    4a

    2q

    A

    4a

    2a

    2a

    M图

    2.4qa

    3.2qa

    6qa

    10qa

    8qa

    (4)绘制结构Q图和N图

    Q 图

    N 图


    4099770

    30kN

    20kN·m

    4m

    10kN

    10kN

    10kN

    10kN

    2m

    2m

    10kN

    10kN

    20kN

    20kN

    例2 试绘制下图所示刚架的弯矩图。

    40kN·m

    40kN·m

    D

    C

    E

    E

    D

    A

    B

    B

    A

    20

    40

    40

    20

    E

    D

    40

    40

    20kN·m

    40kN·m

    D

    C

    E

    M图(kN·m)


    4099770

    作业:

    • 题4.2 题4.4 题4.6 题4.14

    • 题4.15 题4.21 题4.26 题4.27

    • 题4.28

      课堂作业:

    • 题4.29、题4.30、题4.31、题4.32


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