第一章
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第一章. 函数与极限. — 研究对象. 函数. 极限. — 研究方法. 分析基础. 连续. — 研究桥梁. 第一节. 映射与函数. 一、集合. 二、映射. 三、函数. 几个逻辑符号. 表示“对任意一个”,“对每一个”. 表示“存在一个”,“至少有一个”. 表示“蕴含”,“可推出”. 表示“当且仅当”,“充分必要”,“等价”. 满足. ( 或. ). 一、 集合. 1. 定义 及表示法. 简称集. 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合. 简称元. 组成集合的事物称为 元素.

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Presentation Transcript
第一章

函数与极限

— 研究对象

函数

极限

— 研究方法

分析基础

连续

— 研究桥梁


第一节

映射与函数

一、集合

二、映射

三、函数


几个逻辑符号

表示“对任意一个”,“对每一个”

表示“存在一个”,“至少有一个”

表示“蕴含”,“可推出”

表示“当且仅当”,“充分必要”,“等价”

满足


(

) .

一、 集合

1. 定义及表示法

简称集

定义 1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.

简称元

组成集合的事物称为元素.

元素 a 属于集合 , 记作

元素 a 不属于集合 , 记作

不含任何元素的集合称为空集 ,

记作 .

例如,


表示法

(1) 列举法:

按某种方式列出集合中的全体元素 .

例:

有限集合

自然数集

(2) 描述法:

x所具有的特征

例: 整数集合

p 与 q互质

有理数集

实数集合

x 为有理数或无理数


2. 集合之间的关系及运算

设有集合

则称 A

定义2 .

必有

是 B 的子集, 或称 B 包含 A ,

记作

例如,

则称 A与 B相等,

记作

例如

显然有下列关系 :


B

B

(x,y)

y

x

A

集合的并:

A

集合的交:

集合的差:

集合的直积:


3. 区间

定义3 .

区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.

开区间

闭区间

半开区间

无限区间


4.邻域

设 与 是两个实数,且 ,称数集

定义4.

为点 的 邻域. 记作:

其中, a称为邻域中心 , 称为邻域半径 .

去心邻域

左  邻域 :

右 邻域 :


二、 映射

引例1.

按一定规则编学号

学号的集合

某校学生的集合

按一定规则入座

某班学生的集合

座位的集合


引例2.

投影点

(点集)

引例3.

(点集)

向 y轴投影


X , Y是两个非空集合,

若存在一个对应规

定义4.

则 f ,

使得

有唯一确定的

与之对应,

则称 f为从 X到 Y的映射,

记作

元素y称为元素 x在映射f 下的像,

记作

元素x 称为元素 y在映射f下的原像.

集合 X称为映射 f的定义域 ;

Y的子集

称为 f的 值域.

注意:

1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域.

2) 元素 x的像 y是唯一的, 但 y的原像不一定唯一.


对映射

则称 f为满射;

引例2, 3

则称 f为单射;

引例2

若 f 既是满射又是单射,

则称 f为双射 或一一映射.

引例2


说明:

映射又称为算子.

在不同数学分支中有不同的惯用

名称. 例如:

f 称为X上的泛函

X (≠ )

Y (数集)

f 称为X上的变换

X (≠ )

X

X (数集 或点集)

R

f 称为定义在 X上的函数


三、函数

1. 函数的概念

则称映射

为定义在

定义5. 设数集

D上的函数 ,

记为

定义域

因变量

自变量

称为值域

函数图形:


(对应规则)

(值域)

(定义域)

  • 定义域:

使表达式或实际问题有意义的自变量集合.

对实际问题, 书写函数时必须写出定义域;

对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.

解析法

、图像法

、列表法

  • 对应规律的表示方法:

例: 绝对值函数

定义域

值域


写出 f (x) 的定义域及值域, 并求

例4. 已知函数

f (x) 的定义域

解:

值域


y

.

x

0

2

1

2. 函数的几种特性

(1) 函数的有界性

称为一个上界

(下)

(下)

y

有下界

有上界

x


则称函数

在 上有界,否则称无界.

例如:

有界

的一个上界

的一个下界


注意:讨论函数是否有界,必须指明讨论区域

.

若对任意正数 M , 均存在

使

x

0

2

1

则称 无界.

例如:

有界? 无界?

内无界,

内有界。


(2) 单调性

设函数 的定义域为 , 区间

为 I上的

为 I上的

单调增函数;

单调减函数;

y

y

o

o

x

x


(3) 函数的奇偶性

设 D 关于原点对称,对于 ,

则称 为奇函数,

则称 为偶函数,

y

y

-x

x

o

x

x

-x

o

x

偶函数

奇函数

关于原点对称

关于y轴对称


为奇函数时,

若 在 x = 0 有定义 ,

则当

说明I :

必有

说明II:

给定

偶函数

奇函数


(4) 周期性

则称

为周期函数,

( 一般指最小正周期 ).

称l为周期

周期为

周期为 

周期?

说明:周期函数的定义域必然是无穷延伸的

问题:定义在整个实数轴上?


说明I: 周期函数的定义域必然是无穷延伸的.

说明II: 周期函数的定义域未必是 R.

说明III:周期函数不一定存在最小正周期 .

例如,

常量函数

x为有理数

狄利克雷函数

x 为无理数

任何一个正有理数都是它的周期

最小的正有理数不存在!


3. 函数的四则运算

例:

定义域 D=?


4. 反函数

为单射,

若函数

此时,

则 使得:

习惯上记为

此映射 称为函数 的反函数.

D

D


反函数的求法:

由于习惯上用 x表示自变量,故重新标记变量得到

即为所求。

的反函数.


性质I:函数与其反函数的图形关于直线 对称.

性质II 若函数 单调递增(减), 则其反函数

存在, 且同为单调递增(递减)的图形


2

5. 复合函数

称为中间变量


定义:设 的定义域为 在D 上有

定义,且 , 则

称为由 和 构成的复合函数,

记为:

x: 自变量,u:中间变量 , y:因变量

D: 定义域

约定: 为了简单起见, 书写复合函数时不一定写出其

定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合

函数的条件.


说明:

a. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;

b.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成;

c. 复合运算不满足交换律,

无意义



2. 分析法(关键抓住最外层函数定义域的区间段)

解:



6. 初等函数

1. 基本初等函数

指数函数,

对数函数

常值函数,

幂函数,

三角函数,

反三角函数

2. 初等函数

由常数及基本初等函数

经过有限次四则运算和复合

步骤所构成 ,

并可用一个式子表示的函数 ,

称为

初等函数 . 否则称为非初等函数.

一般不是!

问题: 分段函数是否为初等函数?

故为初等函数.

可表为


y

x

O

y

1

x

o

-1

几个特殊函数:

(1) 绝对值函数

(2) 符号函数


y

4 3 2 1

x

o

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

y

-1

-2

-3

-4

1

x

o

无理数点

有理数点

(3) 取整函数 y=[x]

[x] 表示不超过 x 的最大整数

如:[5.3]=5, [-4.5]= -5.

根据定义有:

阶梯曲线

(4) 狄利克雷函数

x为有理数

x为无理数


(5) 取最值函数

x为有理数

x为有理数

x为无理数

x为无理数

x为有理数

x为无理数

x为有理数

x为无理数


内容小结

基本概念:集合, 区间, 邻域, 映射,

函数, 函数的定义域

函数的初等性质:

有界性、单调性、奇偶性、周期性.

函数的初等运算:

四则运算、复合运算、反函数运算.

基本初等函数,初等函数


思考题

设: 函数值

求:函数 的解析表达式


思考题解答


作 业

  • P21: 4 (3,6,8,10) ,8,12(3,5),

    15(2,4),16

    作业提交时间:2012年10月08日上午8:00


提高题

1. 设

其中

a, b, c为常数,

证明

为奇函数 .

证:令

消去

为奇函数 .

显然


2 . 设函数

的图形与

是周期函数.

均对称, 求证

证:

的对称性知

于是

周期为

是周期函数 ,


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