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{ 范例 3.8} 火箭发射的高度,速度和加速度 PowerPoint PPT Presentation


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{ 范例 3.8} 火箭发射的高度,速度和加速度. 火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力的发动机。如果火箭在自由空间飞行,不受引力或空气阻力等任何外力的影响,其飞行速度公式是什么?. 如果火箭在地球表面从静止竖直向上发射,燃料的燃烧速率为 α ,在不太高的范围内,不计空气阻力,其飞行速度公式是什么?高度和加速度的公式是什么?.

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{ 范例 3.8} 火箭发射的高度,速度和加速度

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Presentation Transcript


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{范例3.8} 火箭发射的高度,速度和加速度

火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力的发动机。如果火箭在自由空间飞行,不受引力或空气阻力等任何外力的影响,其飞行速度公式是什么?

如果火箭在地球表面从静止竖直向上发射,燃料的燃烧速率为α,在不太高的范围内,不计空气阻力,其飞行速度公式是什么?高度和加速度的公式是什么?

假设火箭发射前的质量为M0 = 2.5×106kg,燃料的燃烧速率为α= 1.0×104kg/s,燃料燃烧后喷出的气体相对火箭的速率为u = 3.0×103m/s,火箭点燃的60s内,高度、速度和加速度随时间变化的规律是什么?最后达到什么值?


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{范例3.8} 火箭发射的高度,速度和加速度

[解析]在无重力的空间,把火箭和剩下的燃料作为研究对象。

如图所示,在t时刻火箭的质量为M,速度大小为v,则动量大小为p = Mv。

经过时间dt,火箭喷出质量为dm的气体,喷出的速度相对火箭为定值u,相对自由空间的速度为v - u,动量为(v - u)dm。

v

v+dv

M

M-dm

v-u

火箭的质量为M – dm,速度增为v + dv,动量为(M - dm)(v + dv)。

dm

v

u

u

总动量为p' = (M - dm)(v + dv) + (v - u)dm。

由于M0 = M + m,所以dm = -dM。

即火箭喷出的质量等于其质量的减小量。

根据动量守恒定律得Mv = (M + dM)(v + dv) - (v - u)dM。

化简后略去二阶无穷小量dMdv,可得Mdv + udM = 0。


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{范例3.8} 火箭发射的高度,速度和加速度

Mdv + udM = 0

积分得v = -ulnM + C

分离变量得

这是著名的齐奥尔科夫斯基公式。

设火箭的质量为M0时,其速度为v0,可得C = v0 + ulnM0,因此

火箭质量从M0减少到M时,火箭的速度则由v0增加到v。

如果火箭开始飞行时速度为零,质量为M0,燃料烧尽时火箭剩下的质量为m0,由上式可计算火箭能够达到的最大速度。

但是这两项都受到技术限制。

M0/m0称为质量比,火箭的喷气速度越大,质量比越大,所能达到的速度就越大。

火箭起飞时,第一级火箭开始工作;当燃料烧尽后,第一级的外壳就自动脱落,第二级火箭接着工作,使火箭进一步加速。

这就是多级火箭的工作原理。

前一级火箭脱落,使后一级火箭减负,提高了质量比,因而可获得更大的最终速度。


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{范例3.8} 火箭发射的高度,速度和加速度

假设火箭在地球表面向上发射,其初速度为零,初始质量为M0。

取向上的方向为正,经过飞行时间t,火箭剩下的质量为M = M0 - αt,α是燃料燃烧的速率dm/dt;

重力加速度g使火箭速度减少gt,因此火箭在地面上发射的速度为

依速度公式v = dz/dt,可得dz = [ulnM0 – uln(M0 – αt) – gt]dt,

积分得

当t = 0时,z = 0,可得

火箭上升的高度为

否则,火箭无法起飞。

火箭的加速度为

当t = 0时,由于a > 0,必有条件αu > M0g,


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火箭的速度随时间的延长而加速增加,最后的速度达到235.3m/s。

火箭的高度随时间的延长也是加速增加的,最后的高度达到5931m。

火箭一点火,加速度就不为零,约为2.2m/s2;火箭的加速度随时间的延长仍然是加速增加的,最后的加速度接近6m/s2。


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