روش عناصر محدود (برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ) Finite Element Procedures

2. روش عناصر محدود (برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ) Finite Element Procedures کریم عابدی

3. فصل اول مقدمه ای بر روش عناصر محدود

4. 1- تاريخچه روش عناصر محدود • اگرچه نام عناصر محدود اخيرا به اين روش اطلاق گرديده است، اما اين مفهوم چندين قرن پيش نيز مورد استفاده قرار گرفته است. • براي مثال رياضي دانان قديمي محيط دايره را با تقريب آن به يك چند ضلعي (محاطي يا محيطي) بدست مي آوردند. بر حسب نامگذاري امروزي هر ضلع اين چند ضلعي را مي توان يك المان محدود ناميد. با در نظر گرفتن چند ضلعي هاي تقريبي به صورت محاطي و محيطي مي توان به ترتيب يك حد پايين يا يك حد بالا براي مقدار كامل (Exact) محيط به دست آورد. • مشخص است كه با افزايش اضلاع چند ضلعي، دقت جواب ها (Accuracy) افزايش يافته و مقادير تقريبي به مقدار كامل محيط همگرا مي شوند ( Convergence). • بحثی در مورد Exact solution یا Analytical solution یا Closed Form Solution و Approximate Solution یا Numerical Solution • بحثی در مورد Convergence و Accuracy

5. 1- تاريخچه روش عناصر محدود روش عناصر محدودي كه به صورت شناخته شده امروزي است، در سال 1956 به وسيله Clough، Turner، Top و Martin در مقاله مشهور زير ارائه شده است: “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures”, Journal of Aeronautical Sciences, 23, 805-825 (1956). اين مقاله كاربرد عناصر محدود ساده (ميله هاي مفصل شده و ورق مثلثي) براي تحليل سازه هواپيما را نشان مي دهد و به عنوان يكي از پيشرفت هاي كليدي در توسعه روش عناصر محدود در نظر گرفته مي شود. همراه با توسعه كامپيوترهاي ديجيتالي با سرعت هاي بالا، كاربرد روش عناصر محدود هم با نرخ فزاينده اي پيشرفت نمود.

6. 1- تاريخچه روش عناصر محدود - موجودیت یافتن روش های کامپیوتری تحلیل سازه ها مدیون دو عامل مهمی می باشد که در طی دهه های 1955-1945 به وقوع پیوستند: الف) نیاز روزافزون به روش های بهتر و مطلوب تر تحلیل سازه ها طراحی های سازه ای در بسیاری از زمینه های مهندسی به حدی پیچیده شدند که روش هایموجود ناکارایی خود را برای تحلیل آن سیستم های پیچیده به اثبات رساندند. ب)پیدایش کامپیوترهای دیجیتالی (در اواخر دهه 1940) - از طرف دیگر مدت های مدیدی بود که مفاهیم و سیستم علائم جبر ماتریسی به عنوان ابزارهای استاندارد تحلیلی در ریاضیات کاربردی (Applied Mathematics)مورد استفاده قرار می گرفتند. در سال های قبل از 1940 مقالاتی چند منتشر شدند که در آنها از مفاهیم مزبور در حل مسائل مربوط به سازه ها استفاده شده بود، ولی به علت عدم وجود کامپیوتر در آن زمان، این عمل از طرف مهندسین کمتر مورد استقبال قرار گرفت، زیرا احتیاج به عملیات ماتریسی زیاد و ماهرانه داشت.

7. 1- تاريخچه روش عناصر محدود • -پیدایش کامپیوتر، معیارهای قضاوت درباره «خوب» یا «بد» بودن یک روش تحلیلی را تغییر داد. در مواجهه با یک روش تحلیلی، دیگر سئوال این نبود که «آیا این روش حجم عملیات عددی را به حداقل می رساند یا نه؟»، بلکه مسأله به این صورت در ذهن ها شکل گرفت که « آیا این روشی است که بتوان آن را به سادگی به صورت یک برنامه کامپیوتری تنظیم کرد یا نه؟» • - حقیقت این است که روشهای مبتنی بر جبر ماتریسی (Matrix Algebra)از این نظر در حد ایده ال هستند. • - روش های تحلیل ماتریسی سازه ها (از جمله روش عناصر محدود) براین مفهوم بنا شده اند که سازه واقعی را با مدلی ریاضی، شامل اجزایی با خواص مشخص، که بتوان آنها را به فرم ماتریسی درآورد، جایگزین می نماییم. • - به عبارت دیگر وجه تمایز «روش های تحلیل ماتریسی سازه ها ( از جمله روش عناصر محدود)» و روش های کلاسیک تحلیل سازه ها در دو عامل است: • نحوه مدل سازی ریاضی (با استفاده از ماتریس ها) • نحوه حل مدل ریاضی (با استفاده از کامپیوتر)

8. 1- تاريخچه روش عناصر محدود بعد از اينكه روابط عناصر محدود در حالت استاتيكي خطي توسعه يافت، كاربرد روش عناصر محدود در زمينه هاي ديگر نيز ادامه يافت. براي مثال مي توان زمينه هايي مانند پاسخ ديناميكي و ارتعاشي، كمانشي، غيرخطي هندسي و مادي، اثرات حرارتي، اندركنش سازه و سيال، اندركنش سازه و اكوستيك، شكست، مواد مركب لايه اي، انتشار موج، ديناميك سازه هاي فضايي و هواپيما را نام برد.

9. 2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود مراحل كلي تحليل يك سيستم مهندسي عبارتند از: انتخاب يك مدل رياضي براي يك مساله فيزيكي، فرمول بندي مدل رياضي و حل آن و يافتن و تفسير نتايج. 1- مدل پارامتر متمركز (Lumped parameter model‌) يا مدل گسسته سيستم (Discrete system model) 2- مدل مبتني بر مكانيك محيط پيوسته (Continuum mechanics-based model) يا مدل پيوسته سيستم ( Continues system) مدل هاي رياضي :

10. 2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود • در يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم: • پاسخ واقعي سيستم مستقيما به وسيله حل تعداد محدودي متغير حالت (State Variable) توصيف مي گردد (بحثی در مورد متغیر حالت). • براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، مجموعه اي از معادلات جبري بدست مي آيند. • مثال: مدل رياضي يك سازه اسكلتي، يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم است.

11. 2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود • در يك مدل رياضي پيوسته سيستم : • پاسخ واقعي سيستم به وسيله بينهايت متغير حالت توصيف مي گردد. • براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، به جاي يك مجموعه از معادلات جبري، معادلات ديفرانسيل بر پاسخ سيستم حاكم مي باشد. • مثال: مدل رياضي يك سازه پيوسته صفحه اي يا پوسته اي يك مدل رياضي پيوسته سيستم است. - حل كامل معادلات ديفرانسيل كه همراه با ارضاء تمامي شرايط مرزي باشد، تنها براي مدل هاي رياضي نسبتا ساده امكان پذير است. روش هاي عددي

12. 2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود روش هاي عددي، مدل هاي رياضي پيوسته سيستم را به صورت يك ايده آل سازي گسسته در مي آورند كه مي تواند به طريق مشابه مدل هاي پارامتر متمركز حل شود. • روش Ritz • روش Galerkin به عنوان يك روش باقيمانده وزن دار • روش تفاضلات محدود روش هاي مهم كلاسيك عددی: روش هاي فوق در واقع شالوده اصلي روش هاي نوين عناصر محدود را فراهم مي آورند. روش عناصر محدود يك روش عددي است براي گسسته سازی مدل ریاضی پیوسته به مدل ریاضی گسسته (تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلات جبری).

13. 3- حوزه هاي كاربرد روش عناصر محدود:

14. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود اساس يك روش حل عناصر محدود يك مساله فيزيكي مهندسي، ايجاد و حل يك مجموعه معادلات جبري حاكم است. ايده آل سازي مساله فيزيكي به يك مدل رياضي، در نظر گرفتن فرض هاي معيني را ايجاب مي كند كه منجر به معادلات ديفرانسيل حاكم بر يك مدل رياضي مي شود (مانند معادله ديفرانسيل تغيير شكل تير): تحليل عناصر محدود اين مدل رياضي را حل مي كند.

15. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود - روش عناصر محدود يك روش عددي است و بايد دقت حل آن مورد ارزيابي قرار گيرد. اگر معيارهاي دقت ارضا نشوند، در اين صورت روش عددي عناصر محدود با پارامترهاي حل تظريف شده بايد تكرار شود، تا اينكه دقت كافي حاصل گردد. - روشن است كه روش عناصر محدود، تنها مدل رياضي را به دقت حل خواهد كرد و تمامي فرضيات در پيش بيني پاسخ انعكاس خواهد يافت. - بنابراين انتخاب مدل رياضي، نقش بنيادي و كليدي در يك روش عناصر محدود ايفا مي كند.

16. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود - يك نكته مهم اين است كه نمي توان پاسخ يك مساله فيزيكي را به طور كامل (Exact) پيش بيني نمود. - ولي مي توان يك مدل رياضي كاملا جامع ( very comprehensive mathematical model) را تعريف كرد و سپس پاسخ مدل رياضي انتخابي را با آن مقايسه كرد (مثلا مدل رياضي بسيار جامع مي تواند يك مدل سه بعدي به همراه اثرات غير خطي باشد). - مدل رياضي بسته به پديده مورد پيش بيني انتخاب مي شود و داراي دو مشخصه اصلي موثر بودن (Effectiveness) و قابليت اطمينان ( Reliability) آن مدل است. تعريف موثر بودن و قابلیت اطمینان يك مدل رياضي :يك مدل رياضي بسيار موثر و قابل اطمینان مدلي است كه منجر به پاسخ مورد نياز با دقت كافي و با هزينه حداقل شود.

17. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود سلسله مراتب مدل ها: دنباله اي از مدل ها كه به طور فزاينده اثرات پيچيده تر را در بر دارند. مثال 1 تحليل با استفاده از نظريه تير یک بعدی Euler-Bernoulli ( با اثرات غيرخطي) تحليل با استفاده از نظريه تير یک بعدی Timoshenko( با لحاظ برش و اثرات غيرخطي) نظريه تنش مسطح دو بعدي ( با اثرات غير خطي) مدل سه بعدي (با اثرات غير خطي) سازه تيري:

18. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود مثال 2 مدل تیر یکبعدی مدل تنش مسطح دوبعدی

19. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود نكات عمده اي كه در يك تحليل عناصر محدود بايد در نظر گرفت (چالش هاي روش عناصر محدود): • نحوه انتخاب مدل رياضي با توجه به نوع مساله و خواسته هاي آن (فرضيات مورد استفاده در مدل سازي ها)، • انتخاب نوع عناصر محدود و هندسه آن، • ميزان تظريف شبكه عناصر محدود، • تعيين ماتريس سختي المان، • معيارهاي ارزيابي دقت ( بررسي موثر بودن و قابليت اطمينان مدل رياضي).

20. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود حل كامل معادله ديفرانسيل حاكم، مدل رياضي كاملا جامع، نتايج آزمايشگاهي، بررسي همگرايي جواب ها، تجربيات و قضاوت مهندسي در محدوده تحليل. معيارهاي بررسي دقت حل عناصر محدود:

21. 5- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه های اسکلتی روش عناصر محدود بسط روش هاي ماتريسي تحليل اسكلت هاي ساختماني Skeletal structures تحليل سازه هاي پيوسته Continuum structures سطح سازه به جاي تشكيل يافتن از تعدادي اعضا، به صورت پيوسته است. صفحات، پوسته ها، سازه هاي پليسه اي، لینینگ تونل ها و ديوارهاي سدها متشكل از مجموعه اي از اعضا كه در تعدادي نقاط –Nodal points - به يكديگر متصل شده اند. خرپاها، تيرهاي سرتاسري و قاب ها

22. 5- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه های اسکلتی مجموعه اي از عناصر محدود كه فقط در نقاط گرهي به همديگر متصل هستند ( مجموعه همبسته عناصر محدود) يك سيستم با درجات آزادي محدود محيط پيوسته با درجات آزادي نامحدود روش عناصر محدود - در روش عناصر محدود، تقريب طبيعت فيزيكي داشته و احتياج به هيچگونه تخمين در تحليل رياضي سيستم جايگزين شده نمي باشد. به عبارت ديگر معادلات سيستم تقريبي فيزيكي با روش هاي دقيق رياضي حل مي شوند.

23. 5- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه های اسکلتی یک نکته مهم در مورد عناصر محدود: • عناصر محدود فقط در گره ها به يكديگر متصل هستند، يعني شرايط پيوستگي فقط در نقاط گرهي ارضا خواهند شد. • ولي، تغيير شكل عناصر به يك فرم خاصي مقيد مي شود. بنابراين هر چند پيوستگي فقط در نقاط مشخص شده گرهي ارضاء مي شود، ولي با انتخاب توابع تغيير شكل مناسب براي عناصر، پيوستگي در تمام يا لااقل قسمتي از كناره هاي عناصر مجاور هم ارضاء مي گردد. بنابراين همان طوري كه Clough بيان نموده است: • “عناصر محدود صرفا قطعات بريده شده از سازه نبوده، بلكه يك نوع عناصر ارتجاعي بوده و تغيير شكل آنها طوري مقيد گرديده كه پيوستگي كلي مجموعه حتي الامكان حفظ شود”.

24. 6-بسته هاي نرم افزاري عناصر محدود و نحوه توسعه و حوزه كاركردي آنها نرم افزارهاي موجود را مي توان از ديدگاه هاي مختلف و با در نظر گرفتن محورهاي گوناگون مورد مقايسه قرار داد. برخي از محورها عبارتند از: • هدف بسته نرم افزار ( از قبيل عمومي، تجاري، تحقيقاتي، آموزشي و ... )، • نوع كامپيوتري كه بسته نرم افزار مي تواند در آن عمل كند، • نوع ارائه و سند بندي ( Documentation) بسته نرم افزار، • نوع عناصري كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند، • نوع تحليل هايي كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند، • نوع فرمول بندي هاي مورد استفاده، • نوع روش هاي حل كه در بسته نرم افزار مورد استفاده قرار گرفته اند، • نوع بارگذاري هاي ممكن كه بسته نرم افزار اجازه استفاده از آنها را مي دهد، • نوع شرايط مرزي و قيدهاي مورد استفاده در نرم افزار، • نوع رفتارهاي مصالحي كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند، • نوع ظرفيت هاي مدل سازي در بسته نرم افزاري، • نوع عمليات پيش پردازي و پس پردازي مورد استفاده در بسته نرم افزاري.

25. لنگر در پای ستون لنگر در پای ستون فرض تغییر شکل های بزرگ فرض تغییر شکل های کوچک 7- فرض های مورد استفاده در روش عناصر محدود (که در این ترم تدریس خواهد شد) • الف) تئوری تغییر شکل های کوچک (Small Displacement Theory) - فرض می شود که تحت اثر بارهای وارده هندسه یک سازه به مقدار قابل ملاحظهای تغییر نمی کند.

26. ب) رفتار خطی مصالح (Linear Behavior of Material) • -فرض مذکور بیانگر این واقعیت است که در هیچ کدام از مقاطع سازه، تنش و یا کرنش نباید از مقادیر مربوط به نقطه تسلیم (yield point)این مصالح فزونی یابد. • بحثی در مورد Geometric Nonlinearityو Material Nonlinearity. • *بر مبنای دو فرض “تغییر شکل های کوچک و رفتار خطی مصالح“ اصلی پدید می آید که به آن اصل جمع آثار قوا (principle of superposition)اطلاق می شود. اصل مذکور بیانگر آن است که پاسخ یک سازه به مجموعه ای از بارهای وارده، مستقل از ترتیب اعمال آن بارها است، به عبارت دیگر ترتیب اثر بارها، نتایج نهایی را تغییر نمی دهد. - فرض می شود که رابطه بار - تغییر مکان، خطی است. - اگر بار در αضرب شود، تغییرمکان نیز در α ضرب خواهد شد.

27. 8- روش سختی در تحلیل عناصر محدود • بسته به این که هدف اصلی از تحلیل سازه، یافتن تغییرشکل قسمت های مختلف سازه باشد یا یافتن نیروها یا تنش های داخلی، تحلیل سازه به دو روش متفاوت انجام می گیرد: • اگر هدف اصلی تحلیل سازه، تعیین تغییرمکان های گره های سازه (یا در واقع مجموعه همبسته عناصر محدود) باشد، در این صورت تحلیل سازه به روش سختی (Stiffness Method)یا روش تغییرمکان ها (Displacement Method)انجام می گیرد. • - اگر هدف اصلی تحلیل سازه، تعیین نیروهای داخلی یا تنش ها در عناصر محدود باشد، در این صورت تحلیل سازه به روش نرمی (Flexibility Method)یا روش نیروها (Force Method)انجام می گیرد.

28. در هر دو روش شرایط سازگاری و شرایط تعادل ارضا می شوند، لیکن ترتیب آنها در دو روش متفاوت است. • در روش سختی ابتدا تعادل ارضاء می شود و سپس شرط سازگاری ارضا می گردد. از این رو نتایج اولیه روش سختی، تغییر مکان های گرهی است (در واقع گاهی به روش سختی، روش تعادل (Equilibrium Method)نیز اطلاق می شود). • در روش نرمی ابتدا سازگاری و سپس تعادل ارضاء می گردد. از این رو نتایج اولیه روش نرمی نیروها یا تنش های داخلی عناصر می باشند (در واقع گاهی به روش نرمی، روش سازگاری (Compatibility Method)نیز اطلاق می شود). • در نهایت هر دو روش مذکور منجر به حل معادلاتی می گردد. • در روش سختی (یا روش تغییر مکان ها)، مجهولات شامل تغییر مکان های گره های مجموعه همبسته عناصر محدود سازه می باشد. • در روشسختی،تعدادمعادلاتبرابر تعداد درجات آزادی کل گرههایمجموعه همبسته عناصر محدود سازه میباشد (Degree of Freedom). - درجات آزادی یک مجموعه همبسته عناصر محدود، مساوی تعداد تغییرمکان های مجهول مربوط به گره های مجموعه همبسته می باشد.

29. چند مثال در مورد درجات آزادی در یک گره خاص تعداد مجهولات در یک گره صلب در یک قاب فضایی (6) تعداد مجهولات در یک گره صلب در یک قاب مستوی ”صفحه x,y“ (3) تعداد مجهولات در یک گره مفصلی در یک خرپای فضایی (3) تعداد مجهولات در یک گره مفصلی در یک خرپای مستوی ”صفحه x,y“ (2) تعداد مجهولات در یک گره در مسئله تنش مسطح یا کرنش مسطح (2) تعداد مجهولات در یک گره در مسئله خمش صفحه (3) تعداد مجهولات در یک گره در مسئله پوسته ای (6) تعداد مجهولات در یک تکیه گاه گیردار در یک قاب مستوی یا فضایی (0) تعداد مجهولات در یک تکیه گاه ساده در یک قاب فضایی (3) تعداد مجهولات در یک تکیه گاه ساده در یک قاب مستوی (1) تعداد مجهولات در یک تکیه گاه غلتکی در یک قاب مستوی (2) تعداد مجهولات در یک تکیه گاه ساده در یک خرپای مستوی (0) تعداد مجهولات در یک تکیه گاه غلتکی در یک خرپای مستوی (1)

30. در تحلیل ماتریسی سازه ها (از جمله روش عناصر محدود) به روش سختی، در واقع معادلات مذکور در فرم ماتریسی استخراج می شوند و مبانی جبر ماتریسی به کار گرفته می شوند. این معادلات ماتریسی شامل بردار بار، بردار تغییر مکان و در ضمن ماتریس دیگری خواهد بود که به ماتریس سختی معروف است و بستگی به هندسه مجموعه همبسته عناصر محدود سازه، خواص هندسی و خواص مصالح عناصر، تعداد درجات آزادی گره های مجموعه همبسته عناصر، تکیه گاه ها، نحوه اتصال عناصر و ... دارد. :یک مثال ساده

31. 9- تبدیلات دورانی مختصات (Rotational Transformation of Coordinates) - می دانیم که که یک بردار و یا یک ماتریس نسبت به دستگاه مختصات خاصی تعریفی می شود و اگر آن دستگاه مختصات تغییر نماید، مؤلفه های آن بردار و آن ماتریس نیز تغییر خواهد نمود. - از طرفی جمع دو بردار (ci=ai+bi, C=A+B)و جمع دو ماتریس (cij=aij+bij, C=A+B)هنگامی صادق و درست خواهد بود که بردارهای A و B یا ماتریس های A و B در یک دستگاه مختصات بیان شده باشند. - تبدیلات مختصات دو کاربرد اساسی در تحلیل عناصر محدود دارند: الف) معادلات تعادل و سازگاری تغییر مکان ها فقط هنگامی ایجاد می شوند که بردارهای نیروها و تغییرمکان های گره های مشترک عناصر متصل به هم، در یک دستگاه محورهای مختصات نوشته شود. ب) تبدیل مختصات در تحلیل عناصر محدود ممکن است باعث ساده شدن مقادیر مربوط به یک معادله گردد (به عنوان مثال: انتخاب دستگاه محورهای مختصات محلی (Local) و کلی (Global) متفاوت در تحلیل عناصر محدود سازه ها). توضیح در مورد دستگاه محورهای مختصات محلی (Local) و کلی (Global)

32. دستگاه محورهای مختصات (Coordinate axes system) • - انواع دستگاه های مختصات: • دستگاه مختصات دکارتی، • دستگاه مختصات استوانه ای، • دستگاه مختصات کروی. • - این که چه دستگاه مختصاتی را در رابطه با حل مسأله خود باید انتخاب بکنیم؟ به طور قطع جواب ساده ای برای این سؤال وجود ندارد. این انتخاب بستگی به سه پارامتر دارد: • نوع مسأله، • آشنایی شخص با دستگاه های مختلف مختصات، • سلیقه شخصی. در درس تحلیل عناصر محدود عموماً از دستگاه مختصات متعامد (مستقیم) سه بعدی(یا دو بعدی) راستگرد استفاده خواهیم نمود، لذا در این مبحث، تبدیلات دورانی این دستگاه مختصات شرح داده می شود.

33. - در حالت دستگاه مختصات متعامد سه بعدیدکارتی باسه بردار پایه ez , ey , ex داریم: y ey x ez ex z

34. تبدیلاتدورانیدستگاهمحورهایمختصاتدوبعدیمتعامدواثراینتبدیلاترویمقادیر برداری • فرض کنید که یک دسته از محورهایمختصات توسطرابطه تبدیل به دستهدیگرمربوط باشند. در این صورت یک مقدار نظیر یک بردار، یک ماتریس و غیره را که در یکی از دستگاه مختصات بیان شده باشد می توان به دستگاه مختصات دیگری تبدیل نموده، مشروط بر این که رابطه فوق در هر نقطه از محدوده تبدیل دارای مقدار منحصر به فرد (Unique)و پیوسته (Continuous)باشد. برای دو دستگاه مختصات نشان داده شده داریم:

35. - اعضای ماتریس دوران را می توان به صورت زیر نمایش داد: - که معمولاً در ریاضیات به ژاکوبین معروف است که به صورت زیر نمایش داده می شود: • - شرط وجود رابطه تبدیل (به ازای هر ،یک وجود داشته باشد): • 1-دارای مقداری منحصر به فرد باشد (متناظر یک به یک)، • ( یعنی دترمینان ماتریس دوران یا دترمینان ژاکوبی (یا همان ژاکوبی) مخالف صفر باشد) • (Jacobian Determinant=Jacobian) • 2-پیوسته باشد، یعنی موجود باشد.

36. - برای مختصات نشان داده شده، دترمینان ماتریس دوران عبارت است از: - در حالتی که باشد، یعنی هر دو دستگاه مختصات متعامد باشند، داریم: • - تبدیل دستگاه جدید (پریم دار) به دستگاه قدیم (بدون پریم): - بنابراین ماتریس دوران یک ماتریس متعامد است و بعبارت دیگر داریم:

37. - بردار V در دستگاه مختصات قدیم دارای مؤلفه های V3 , V2 , V1است و می خواهیم مؤلفه های این بردار را در دستگاه مختصات جدید که با نمایش داده می شود به دست آوریم. • تبدیلاتدورانیدستگاهمحورهایمختصاتسه بعدیمتعامدواثراینتبدیلاترویمقادیر برداری • فرض کنید دو دستگاه مختصات متعامد راستگرد داریم: • دستگاه مختصات قدیم (بدون پریم) • دستگاه مختصات جدید (با پریم) زاویه ای است که محور با محور در خلاف جهت عقربه های ساعت می سازد.

38. نشانگر کسینوس های هادی محورهای مختصات جدید نسبت به سیستم قدیم است. ni , mi , liکوسینوس های هادی محورهای مختصات iام از دستگاه مختصات جدید به دستگاه مختصات قدیم است. می توان ثابت کرد که Rیک ماتریس متعامد است، یعنی: - برای اثبات باید ثابت کنیم که ، یعنی داشته باشیم:

39. اثر تبدیلات دورانی دستگاه محورهای مختصات متعامد روی ماتریسها • یک ماتریس 3*3 را می توان به صورت 3 بردار سطری یا ستونی در فضای 3 بعدی در نظر گرفت. هر عضو در هر کدام از سطرها یا ستون ها را می توان به صورت مؤلفه ای از بردار سطری یا ستونی مربوط تعبیر نمود. بنابراین یک ماتریس در یک دستگاه مختصات در دستگاه مختصات دیگر، فرم دیگری را خواهد داشت. • - ماتریس Aرا در نظر می گیریم که در یک دستگاه مختصاتی تعریف شده و بیان آن در دستگاه مختصات دیگری مورد نظر می باشد( ) . برای انجام این کار دستگاه معادله ای که در آن ماتریس موردنظردر یک بردار اختیاری (V) ضرب شدهو برداردیگری (U)را نتیجه میدهد، در نظر می گیریم: • اگراینمعادلهدردستگاه مختصات قدیمصادق باشد، بایستیدر دستگاهمختصاتجدید نیز درست باشد: • با توجه به تبدیل دورانی محورهای مختصات بر روی بردارها دایم: پیش ضرب در پس ضرب در