Módulo 2 Segunda Parte

1. Módulo 2Segunda Parte Especialidad en Métodos Estadísticos Centro de Investigación en Matemáticas, A. C. rabreu@cimat.mx

2. Módulo 2 1.  Nociones de Probabilidad 2.Distribuciones Discretas. 3.  Distribuciones Continuas. 4.  Distribuciones muestrales. 5.  Distribución Normal. 6.  La distribución Ji-cuadrada. 1erParte 2daParte

3. Módulo 2 1. Nociones de Probabilidad. 2.Algunas distribuciones de probabilidad discretas. 3. Algunas distribuciones continuas de probabilidad. 4.  Distribuciones muestrales. 5.  Distribución Normal. 6.  La distribución Ji-cuadrada. 1erParte 2daParte

4. Segunda Parte Módulo 2 • 4.   Distribuciones muestrales. • 4.1. Muestra Aleatoria Simple  • 4.2. Distribución de Muestreo • 4.3. Distribución muestral de promedios en poblaciones. • 4.4. Distribución muestral de proporciones. • 5.   Distribución Normal. • 5.1.  Importancia de la distribución Normal. • 5.2.  Áreas tabuladas de la distribución de probabilidad normal. • 5.3.  El teorema del límite central. • 5.4.  Distribución binomial. • 5.5.  La aproximación normal para la distribución binomial. • 5.6.  Papel de probabilidad Normal. • 6.   La distribución Ji-cuadrada. • 6.1.  Importancia de la Ji-cuadrada. • 6.2.  Bondad de ajuste. • 6.3.  Empleo de Ji-Cuadrada en normalidad y estimación de varianzas. • 6.4.  Tablas de contingencia. • 6.5.  Pruebas de significancia en cuadros mayores de 2 x 2. • 6.6.  Restricciones en el empleo de la Ji-Cuadrada. • 7 Teorema de Chebyshev

5. Módulo 2 4.  Distribuciones muestrales. 5.  Distribución Normal. 6.  La distribución Ji-cuadrada. 2daParte

6. 4. Distribuciones Muestrales.

7. Objetivo • Entender el concepto e importancia de distribución de muestreo. • Aprender a utilizar las distribuciones de muetreo, su uso y aplicaciones. Para que sirven y como aplicarlas en casos prácticos.

8. 4. Distribuciones muestrales. Muestreo. • El muestreo es una herramienta de la investigación científica. • Su función básica es determinar que parte de una realidad en estudio (población o universo) debe examinarse con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población. (Ejemplo)

9. RevisiónConceptos de Muestreo • La información de los estudios de muestreo es parte de nuestra vida diaria, casi en su totalidad. Tal información determina el rumbo que deberán tomar algunas políticas gubernamentales como, por ejemplo, la promoción de programas sociales o el control de la economía.

10. RevisiónConceptos de Muestreo • Las encuestas de opinión son la base de muchas de las noticias proporcionadas en los medios. Los estudios de rating televisivo determinan cuales son los programas que permanecerán al aire en el futuro. • No se diga los estudios de preferencias electorales, para definir estrategias por parte de los partidos políticos.

11. RevisiónConceptos de Muestreo • Las investigaciones de mercado indicaran cuales productos y con que características son los preferidos de los consumidores • Por otro lado, están los estudios de muestreo en las ciencias biológicas, geológicas, del medio ambiente, marítimas entre otras. • Muestreo de Aceptación (Industrial)

12. RevisiónConceptos de Muestreo • Aún cuando la terminología de las ciencias sociales difiere de las ciencias exactas, los científicos sociales conducen estudios de muestreo y los científicos de las áreas físicas realizan en su mayoria experimentos, ambos tienen el propósito de captar información en torno a los fenómenos naturales.

13. RevisiónConceptos de Muestreo • Sin embargo, esas diferencias existen en el campo de la ciencia, debido a la naturaleza de las poblaciones y a la manera en que una muestra puede ser extraída. Por ejemplo, poblaciones de votantes, de cuentas financieras, o de animales de una especie particular pueden contener un número relativamente pequeño de elementos (finito).

14. RevisiónConceptos de Muestreo • En contraste, la población conceptual de respuestas generadas por la medición de la producción de un proceso químico, es muy grande (infinito). Las limitaciones del procedimiento de muestreo también varían de un área de la ciencia a otra.

15. RevisiónConceptos de Muestreo • El muestreo en las ciencias biológicas y físicas, puede frecuentemente ser realizado bajo condiciones experimentales controladas. Tal control es frecuentemente imposible en las ciencias sociales, negocios, y administración de recursos naturales (observación).

16. Un Ejemplo: Población y Muestra ¿Cómo realizar un inventario? 1.- Censo: es un conteo exhaustivo de los individuos o elementos de la población bajo estudio. • Desventajas: • Costos elevados. • Estático. • Requiere mucho tiempo. 2.- Muestreo: una parte representativa del recurso. • Ventajas: • Reduce costos. • Puede ser dinámico. • Reduce tiempos.

17. Conceptos de Población y Muestra Se ha manejado que la estadística moderna es la teoría de la información, cuyo objetivo es la inferencia. Nuestro interés se centra en un grupo de mediciones que existen o pueden ser generadas, una población. El medio de la inferencia es la muestra, la cual es un subgrupo de mediciones seleccionadas de la población.

18. Conceptos de Población y Muestra Deseamos entonces realizar inferencias sobre la población basándonos en las características que observamos en la muestra, o equivalentemente, en la información contenida en la muestra.

19. Población vs. Muestra Conceptos de Población y Muestra N elementos en la población n- elementos en la muestra

20. Conceptos de Población y Muestra • El error que se comete debido al hecho de que se obtienen conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observación de sólo una parte de ella, se denomina error de muestreo. • Obtener una muestra adecuada, significa lograr una versión simplificada de la población, que reproduzca de algún modo sus rasgos y características básicas o de interés.

21. Terminología • Elemento: es un objeto o persona en el cual se toman las mediciones. • Población objetivo: conjunto de individuos de los que se quiere obtener una información. • Unidades de muestreo: el conjunto de elementos no traslapados de la población que cubren a la población completa. Todo miembro de la población pertenecerá a una y sólo una unidad de muestreo.

22. Terminología • Unidades de análisis: objeto o individuo del que hay que obtener la información. • Marco muestral: lista de unidades o elementos de muestreo. • Muestra: conjunto de unidades o elementos de análisis seleccionadas de un marco o varios marcos.

23. Terminología • Muestreo probabilístico. El planteamiento clásico del problema de estimación estadística requiere que la aleatoriedad esté comprendida en el diseño de muestreo para así poder evaluar probabilísticamente, las propiedades de los estimadores. Al diseño de muestreo que plantea la selección, de unidades de muestreo, basada en la aleatoriedad se le llama muestreo probabilístico.

24. Terminología • Límite para el error de estimación. Si q es la característica poblacional de interés y es un estimador (basándose en la información de la muestra) de , debemos especificar un límite para el error de estimación; esto es, debemos especificar que y difieran en valor absoluto a lo más en cierto valor B. Simbólicamente,

25. Terminología • puede ser cualquier característica de la población (el promedio, el total, un porcentaje, el valor mediano, el valor mínimo, etcétera) Se le llama parámetro • es el estadístico obtenido a partir de la información de la muestra. En algunas veces llamado estadístico de prueba. (el promedio de la muestra, el total de la muestra, el mínimo de la muestra, la mediana de la muestra, etcétera)

26. Parámetro poblacional vs. Estadístico muestral Parámetros m = media poblacional P = proporción Max = Máximo Mediana poblacional s = desviación poblacional Estadísticos x= media muestral P = proporción Max = Máximo Mediana muestral s = desviación muestral

27. Terminología • También debemos definir una probabilidad, (1-a) que especifique la fracción de veces en muestreo repetido, que requeriremos que el error de estimación sea menor que B. Esto es

28. Terminología • Muestreo no probabilístico. El muestreo no probabilístico no involucra ningún elemento aleatorio en el proceso de selección.

29. 4.1  Muestras aleatorias. Definición 1: Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, decimos que constituyen una muestra aleatoria de la población infinita dada por su distribución común. Si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad y X es una función con valor real definida con respecto a los elementos de S, entonces X se denomina Variable Aleatoria.

30. 4.1  Muestras aleatorias. Definimos a S un espacio muestral como al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento (aleatorio).

31. 4.1.  Muestras aleatorias. Para un espacio muestral S dado, una Variable Aleatoria es cualquier regla que asocia un número con cada resultado de S. X = S b f 10 Si a o b c 11 Si c e a d g 12 Si e o f 130 Si g

32. 4.1 Muestra Aleatoria Simple(Población Finita) • Unas muestra aleatoria simple de tamaño n, de una población finita de tamaño N, es una muestra seleccionada de tal manera que cada una de las muestras posibles de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada.

33. 4.2 Distribución de Muestreo • Entrando al tema del muestreo probabilístico es importante definir y entender lo que es una distribución de muestreo. • ¿Qué es una distribución muestral?

34. 4.2 Distribución de Muestreo • ¿Qué es una distribución muestral? • La distribución muestral de un estadístico de prueba proporciona (1) una lista de todos los valores que puede tomar dicho estadístico y (2) la probabilidad de obtener cada valor, suponiendo que éste es producto sólo del azar.

35. 4.2 Distribución de Muestreo • ¿Qué es una distribución muestral? • Definimos Distribución Muestral como la distribución de probabilidad de todos los posibles valores que puede tomar un estadístico, suponiendo que sólo influye el azar (Para un parámetro poblacional dado)

36. 4.3 Distribución muestral de la media • La distribución muestral de la media proporciona todos los valores que puede tomar la media, junto con la probabilidad de obtener cada valor si el muestreo es aleatorio a partir de la población hipotética. La media muestral posee las siguientes características: • 1 mx= es la media de la distribución muestral. • sx = es la desviación estándar de la distribución muestral de la media

37. 4.3 Distribución muestral de la media • 2 La media muestral es igual a la media poblacional, mx= m. • 3. La media muestral tiene una desviación estándar igual a la desviación estándar poblacional de datos crudos, dividida entre la raíz del número de datos. Es decir: • 4. Presenta una forma de campana

38. 4.3 Distribución muestral de la media A pesar que la demostración de la distribución muestral de la media va más allá de los alcances del curso, podemos hacer un ejemplo para la mejor comprensión de la distribución muestral de la media. Supongamos una población de solo cinco elementos 2, 3, 4, 5 y 6. La media m de la población es m = 4.0 y la desviación estándar de la población es s = 1.41.

39. 4.3 Distribución muestral de la media Ahora queremos deducir la distribución muestral de la media para muestras de tamaño 2 de la población. Extraemos todas las distintas muestras de tamaño n = 2. Y observamos cual es el valor de x-barra y su probabilidad.

40. 4.3 Distribución muestral de la media X1, X2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 Estadísticos x= (X1+ X2)/2 n = 2 N = 10

41. 4.3 Distribución muestral de la media

42. Distribución muestral de la media n =2 4.3 Distribución muestral de la media

43. Distribución muestral de la media n =2 4.3 Distribución muestral de la media Media de la población Media de la muestra

44. Distribución muestral de la media n =2 4.3 Distribución muestral de la media Así, y también

45. Distribución muestral de la media n =2 4.3 Distribución muestral de la media La distribución muestral de la media proporciona todos los valores que puede tomar la media, junto con la probabilidad de obtener cada valor, si el muestreo es aleatorio a partir de la población hipotética.

46. 4.3 Distribución muestral de la media X1, X2 Población hipotética 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 N = ____ m = ____ s = ____ Estadísticos x= (X1+ X2)/2 n = 2 EDM

47. 4.3 Distribución muestral de la media X1, X2 Población hipotética 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 N = _10_ m = _4.0 s = _1.0 Estadísticos x= (X1+ X2)/2 n = 2 EDM

48. Distribución muestral de la media, para N = 10 población, con media poblacional =4, varianza poblacional = 1 y tamaño de muestra n =2

49. Distribución muestral de la media para N = 15, con media poblacional =4 y tamaño de muestra n =3

50. Distribución muestral aproximada de la media para N = 10000, con media poblacional = 40 y tamaño de muestra n =300