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Fonctions trigonométriques inverses

Fonctions trigonométriques inverses. Jacques Paradis Professeur. Plan de la rencontre. Rappel : graphique d’une fonction inverse Définition de la fonction arcsinus x (arc sinus) Dérivée de arcsinus x Définition de arccos x et sa dérivée Définition de arctan x et sa dérivée

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Fonctions trigonométriques inverses

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Presentation Transcript

  1. Fonctions trigonométriques inverses Jacques Paradis Professeur

  2. Plan de la rencontre • Rappel : graphique d’une fonction inverse • Définition de la fonction arcsinus x (arc sinus) • Dérivée de arcsinus x • Définition de arccos x et sa dérivée • Définition de arctan x et sa dérivée • Définition de arccot x et sa dérivée • Définition de arcsec x et sa dérivée • Définition de arccsc x et sa dérivée

  3. Rappel : graphique d’une fonction inverse y x • Soit f(x) une fonction et f-1(x) la fonction inverse de f(x) • Les courbes représentatives de ces fonctions sont symétriques par rapport à la droite y = x

  4. Exemple f(x) = ex h(x) = x g(x) = lnx

  5. Définition de arcsinus x x y • On a y = arcsin x si et seulement si x = sin y • Bien noté que y représente un angle et que arcsin x = angle Domsiny = IR Imasiny = [-1 , 1] Domarcsinx = [-1 , 1] Imaarcsinx = [-/2 , /2]

  6. Exemples /2 -/2 • arcsin x est égal à l’angle y tel que sin y = x • Arcsin 1 = /2 radians (90º) • Arcsin 0 = 0 (0 º) • Arcsin ½ = /6 (30 º) • Arcsin (0,75) = 0,848 rad (ou 48,6 º) • Arcsin 2 n’existe pas*

  7. Dérivée de arcsinus x (1 de 2) • Soit y = arcsin x •  sin y = x •  •  •  • 

  8. Dérivée de arcsinus x (2 de 2) • Exemple : • Trouver la dérivée de f(x) = arcsin (8x – x3) • Exercice : • Trouver la dérivée de g(x) = (arcsin x2)4

  9. Définition de arccos x et sa dérivée • On a y = arccos x si et seulement si x = cos y • On a • Exercice : Démontrer la formule pour dériver y = arccos x. Domcosy = IR Imasiny = [-1 , 1] Domarccosx = [-1 , 1] Imaarccosx = [0 , ]

  10. Définition de arctan x et sa dérivée • On a y = arctan x si et seulement si x = tan y • On a Domarctanx = IR Imaarctanx = ]-/2 , /2[ Domtany = IR/{±/2, ±3/2, …} Imatany = IR

  11. Dérivée de arctan x • Soit y = arctan x •  tan y = x •  •  •  • 

  12. Définition de arccot x et sa dérivée • On a y = arccot x si et seulement si x = cot y • Imaarccotx = ]0 , [ • On a • Démontrer la formule pour dériver y = arctanx.

  13. Définitions et dérivées de arcsec x et arccsc x • On a y = arcsec x si et seulement si x = sec y • On a y = arccsc x si et seulement si x = csc y

  14. Résumé • Soit u = f(x) et du/dx = f’(x),

  15. Exemples • Calculer f’(x) si • a) f(x) = arcsin (3x + 7) • b) f(x) = 3arccos (2x2 – 1) • c) f(x) = (arcsin x)3 • d) f(x)= (arccos x)/x • e) f(x) = x·arctan x

  16. Exercices • Calculer f’(x) si • a) f(x) = arcsin (4x2 – 1) • b) f(x) = arctan (x+2) • c) f(x) = arcsin x3 • d) f(x)= arccos x – x2 • e) f(x) = arcsin [(x +1)/(x – 7)]

  17. Devoir • Exercices 10.1, page 399, nos 1 et 3 (sauf h). • Exercices 10.2, page 406, nos 1 (sauf f), 2 (sauf j et l), 3a et 3b. • Exercices 10.3, page 414, nos 1a, 1b et 2a à 2f. • Exercices 10.4, page 420, no 5 • Exercices récapitulatifs, page423, nos 4aà 4e, 4h, 4i, 4k et 13.

  18. Devoir (suite) Réponse du numéro 13 : a) b) c) -0,12 rad/min et -0,1875 rad/min d) 25 m

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