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§12.1 实数的概念

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§12.1 实数的概念. 复习引入:. (1) 我们已经学习了有理数,你能举出几个有理数吗? (2) 有理数都可以表示为哪种统一的形式? (3) 是不是所有的数都能表示为分数 的形式?. 操作思考:. 能否将两个边长为 1 的正方形剪拼成一个大正方形?怎样剪拼?它的面积是多少?边长如何用代数符号表示?.

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复习引入:

(1)我们已经学习了有理数,你能举出几个有理数吗?

(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式?

(3)是不是所有的数都能表示为分数 的形式?

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操作思考:

能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形?怎样剪拼?它的面积是多少?边长如何用代数符号表示?

如果设该正方形的边长为x,那么 ,即x是这样一个数,它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长,是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关,我们现在用 符号 (读作“根号2”)来表示.

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是不是有理数呢?

假设 是一个有理数,设 (p、q表示整数

且互素,同时q≠0),等式两边分别平方,可以得

到2=,则 =,由此可知p一定是

一个(填“奇”或“偶”)数,再设p=2n(n表示

整数),代入上式,那么 =,同理可知q也

是.这时发现p、q有了共同的因数2,这与

之前假设中的“”矛盾.因此假设不成立,

即 不是,那么 是无限不循环小数.

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我们已经知道, 不是有理数,而是无限不循环小数.那么,还有哪些数也是无限不循环小数呢?

我们熟悉的圆周率 也是无限不循环小数.

此外,我们还可以构造几个无限不循环小数,如:0.202002000200002……、0.123456789101112131415161718192021222324……等.

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无理数和实数的概念:

无限不循环小数叫做无理数.

无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数,它们互为相反数.

有理数和无理数统称为实数.

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实数的分类:

正有理数

有理数零——有限小数或无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无理数——无限不循环小数

负无理数

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巩固练习:

1.将下列各数填入适当的括号内:

0、-3、 、6、3.14159、 、 、 、

π、0.3737737773….

有理数:﹛ ﹜;无理数:﹛ ﹜;

正实数:﹛ ﹜;负实数:﹛ ﹜;

非负数:﹛ ﹜;整 数:﹛ ﹜.

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巩固练习:

2.判断下列说法是否正确,并说明理由:

(1)无限小数都是无理数;

(2)无理数都是无限小数;

(3)正实数包括正有理数和正无理数;

(4)实数可以分为正实数和负实数两类.

3.请构造几个大小在3和4之间的无理数.

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巩固练习:

4.用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空,并体会这些词的含义:

(1) 0有理数.

(2) 无限不循环小数无理数.

(3) 实数有理数和无理数.

(4) 正整数、0和负整数整数.

(5) 有理数有限小数或无限循环小数.

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课堂小结:

请同学们谈谈:

这节课你学到了什么,有什么样的疑问?

你有什么收获、体会或想法,以及你还想知道什么?

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