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將合於 y = f ( x ) 關係的所有點 ( x , y ) 在坐標平面上描畫出來, 所得到的圖形就是函數圖形。

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將合於 y = f ( x ) 關係的所有點 ( x , y ) 在坐標平面上描畫出來, 所得到的圖形就是函數圖形。 - PowerPoint PPT Presentation


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設 y = f ( x ) 為一函數,我們可以將函數中每個自變數 x 的值當作橫坐標,它所對應的函數值 f ( x ) 當作縱坐標,就可以構成許多點坐標 ( x , y ) ,將這些點坐標逐一畫在坐標平面上,就可以完成該函數的圖形,我們稱之為函數 f ( x ) 的圖形。. 將合於 y = f ( x ) 關係的所有點 ( x , y ) 在坐標平面上描畫出來, 所得到的圖形就是函數圖形。. 將自變數 x 的值當作橫坐標,其對應的函數值 f ( x ) 當作縱坐標,

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Presentation Transcript
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設 y=f (x)為一函數,我們可以將函數中每個自變數 x 的值當作橫坐標,它所對應的函數值 f (x)當作縱坐標,就可以構成許多點坐標(x , y),將這些點坐標逐一畫在坐標平面上,就可以完成該函數的圖形,我們稱之為函數
  • f (x)的圖形。

將合於 y=f (x)關係的所有點(x , y)在坐標平面上描畫出來,

所得到的圖形就是函數圖形。

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將自變數 x 的值當作橫坐標,其對應的函數值 f(x)當作縱坐標,

可得點坐標(1 , 31)、(2 , 28)、(3 , 31)、(4 , 30)、(5 , 31)、

(6 , 30)、 (7 , 31)、(8 , 31)、(9 , 30)、(10 , 31)、

(11 , 30)、(12 , 31)

將這些點畫在坐標平面上,可得下頁的圖形:

  • 設 x 代表平年中的月分,f (x)代表該月分的天數,在坐標平面上畫出函數y=f (x)的圖形。
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下表是某國中 10 位同學的體重,若 x 代表座號,f (x)代表 x 號同學的體重,試在坐標平面上畫出 y=f (x)的函數圖形。
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以 x 表示玉山氣象站當日的某一時刻,y 表示該
  • 地該時刻的氣溫,因為氣溫會隨著時間變化,每一個
  • 時刻當地只有一個氣溫,因此一個 x 值恰好有一個 y
  • 值與它對應,例如:7 時的氣溫是 -3.3°C,12 時的氣
  • 溫是 5.3°C,所以氣溫 y 是時刻 x 的函數,可以寫成
  • y=f (x)。又此處的 f (x)不易用一個數學式子
  • 表示出來,所以我們可以用列表方式列出部
  • 分函數值。下表是民國97 年 3 月 20 日中央
  • 氣象局玉山氣象站記錄的氣溫:
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每一個時刻 x 都恰好有一個氣溫 y,由於短時間內氣溫

變化不會太大,而且我們無法記錄每一個時刻的氣溫(例如

2 時 24 分 35 秒的氣溫),因此我們只需將上表中的各點坐標

(0 , -1.5)、(1 , -2.2)、⋯⋯、(24 , -0.4)描在坐標平面上,

再將各點連接起來,就是前面所示玉山氣象站的時刻及氣

溫函數圖。

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我們在第 2 章學過形如 y=3x-1 的式子是一個二元一次方程式,因為這樣的對應關係也是函數關係,因此我們也可以將 y=3x-1 寫成 y=f (x)=3x-1,所以函數
  • y=f (x)=3x-1 的圖形其實就是二元一次方程式 y=3x-1 的圖形,是一條直線。因此只要找兩個點,再將它們連成直線,即為函數 y=f (x)=3x-1的圖形。
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找出函數 y=f (x)=3x-1 的任意兩組對應值,例如:

將自變數 x 的值當作橫坐標,其對應的函數值 f (x)當

作縱坐標,可得點坐標(0 , -1)、(2 , 5),把(0 , -1)、

(2 , 5)這兩點描到坐標平面上,並將兩點用直線連起來,

通過這兩點的直線即為函數 y=f (x)=3x-1 的圖形。

  • 在坐標平面上畫出函數 y=f (x)=3x-1 的圖形。
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由例 2 可以發現,函數 y=f (x)=3x-1 中 x 的最高次數為一次,所以我們稱它為一次函數。其實舉凡形如 f (x)=ax+b(a≠0)的函數都稱為一次函數,例如 f (x)=2x+3、g (x)=-x+5、h (x)=4x-9⋯⋯都是一次函數。
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除一次函數之外,還有一類函數其函數值固定為某一數,也就是說,不管自變數 x 值如何改變,所對應的應變數 y 值都固定不變,例如:小靖原有存款 1000元,如果他沒有繼續存款或提款,他的存款總金額就一直維持為 1000 元。假設存了 x 天後存款總金額是 y 元,列表如下:
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因為這種對應關係符合「對於每一個 x 值,都恰好有一個 y 值與之對應」的特性,所以 y 是 x 的函數,而此處的 y 值都等於 1000,所以這個函數可以寫成 y=1000,也可以寫成 f (x)=1000,像這種函數值固定為某一數的函數(即 f (x)=b)統稱為常數函數。
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找出函數 y=f(x)=3 的任意兩組對應值,

將自變數 x 的值當作橫坐標,其對應的函

數值 f (x)當作縱坐標,可得點坐標(0 , 3)、

(1 , 3),把(0 , 3)、(1 , 3)這兩點描到坐標平

面上,並將兩點用直線連起來,通過這兩

點的直線即為函數 y=f (x)=3 的圖形。

  • 在坐標平面上畫出函數 y=f (x)=3 的圖形。
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由例 2 和例 3 可以發現,無論一次函數或是常數函數,它們在坐標平面上的圖形都是一條直線,所以這兩種函數又稱為線型函數。

形如 f (x)=ax+b (a、b 為常數)的函數,圖形都是一條直線,

我們稱為線型函數。當 a≠0 時,f (x)=ax+b 為一次函數;

當 a=0時,f (x)=b 為常數函數。

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我們知道線型函數 f (x)=ax+b 的圖形是一條直線,但並不是所有的函數圖形都是直線,例如前面例 1 和第 152 頁的玉山時刻及氣溫函數圖。
  • 接下來再舉一種函數圖形不是直線的例子,例如想在坐標平面上畫出函數 y=f (x)=x2+1 的圖形,可用 x=-2、-1、0、1、2⋯⋯代入,求出函數值f (x),列表如下:
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將點坐標(-2 , 5)、(-1 , 2)、(0 , 1)、(1 , 2)、(2 , 5)⋯⋯畫在坐標平面上,再用平滑的曲線連接起來,就是函數 y=f (x)=x2+1 的概略圖形,如下圖所示:
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y=f (x)為一次函數,所以函數 y=f (x)的圖形為一直線,

在坐標平面上描出(0 , -4)、(-1 , -1)兩點,並連成直線,

此直線即為函數 y=f (x)的圖形。

  • 設 y=f (x)為一次函數,且其函數圖形通過(0 , -4)、(-1 , -1)兩點,在坐標平面上畫出函數 y=f (x)的圖形,並找出其函數。
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設 y=f (x)=ax+b,
  • 因函數圖形通過(0 , -4)、(-1 , -1)兩點,
  • 當 x=0 時,f (0)=a×0+b=-4,
  • 當 x=-1 時,f (-1)=a×(-1)+b=-1,
  • 得 b=-4,a=-3,所以此一次函數為 f (x)=-3x-4。
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設 y=f (x)為常數函數,且其函數圖形通過(7 , 3),則函數 f (x)=?

設 y=f (x)=b

因函數圖形通過(7 , 3)

當 x=7 時,f (7)=b=3,得 b=3

所以此常數函數為 f (x)=3

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在坐標平面上,函數 y=f (x)的圖形經過(-2 , 3)、(-1 , 1)、(0 , 3)、(1 , -1)、(2 , 2)、(3 , 0)六個點,則 f (3)-f (1)+f (0)-f (-2)的值為何?

f (3)=0,f (1)=-1,f (0)=3,f (-2)=3

所以 f (3)-f (1)+f (0)-f (-2)=0-(-1)+3-3=1

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在坐標平面上,函數 y=f (x)的圖形經過(5 , -4)、
  • (3 , -1)、(1 , 0)、(0 , -3)、(-1 , -1)、(-4 , 5)六個點,則 f (3)+f (1)+f (-1)+f (-4)的值為何?

f (3)=-1,f (1)=0,f (-1)=-1,f (-4)=5

f (3)+f (1)+f (-1)+f (-4)=-1+0+(-1)+5=3

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如右圖,已知兩函數 y=f (x)=3x-5
  • 與y=g (x)=ax+5 的圖形相交於點
  • P(2 , b),則 a、b 的值分別為多少?

已知點 P(2 , b)在函數 y=f (x)=3x-5 的圖形上,

當 x=2 時,y=f (2)=3×2-5=1,得 b=1,

所以 P 點坐標為(2 , 1)。

點 P(2 , 1)也在函數 y=g (x)=ax+5 的圖形上,

當 x=2 時,y=g (2)=2×a+5=1,得 a=-2。

所以 a=-2,b=1。

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如右圖,已知兩函數 y=f (x)=2x+b
  • 與y=g (x)=-x-2 的圖形相交於點
  • P (a , -4),則 a、b 的值分別為多少?

已知點 P (a , -4)在函數 y=g (x)=-x-2 的圖形上,

當 x=a 時,y=g (a)=-a-2=-4,得 a=2,

所以 P 點坐標為(2 , -4)。

點 P(2 , -4)也在函數 y=f (x)=2x+b 的圖形上,

當 x=2 時,y=f (2)=2×2+b=-4,得 b=-8。

所以 a=2,b=-8。

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找出函數 f (x)=ax-3 的任意兩組對應值,

因為(0 , -3)與 y 軸交於 x 軸下方,

又 a>0,所以函數與 x 軸交於 y 軸右方,

故圖形可能為 (A)。

  • 若一次函數 f (x)=ax-3,其中 a>0,則下列何者可能是此函數的圖形?
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若一次函數 f (x)=ax+5,其中 a<0,則下列何者可能是此函數圖形?

(D)

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⑴ 承例 7,當自變數 x 的值越大時,函數值 f (x)是否也會 變大?
  • ⑵ 承例 7 的隨堂練習,當自變數 x 的值越大時,函數值 f (x)是否也會變大?

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右圖為小靖影印資料時,影印機中紙張剩
  • 下張數 y 和時間 x 的關係圖,假設從開始
  • 影印到紙張印完期間的影印速度保持一
  • 定,則:
  • ⑴ 寫出 x、y 的關係式。
  • ⑵ 從開始影印經過多久剛好將紙張印完?
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⑴ 紙張剩下張數 y 和時間 x 的關係為一次函數,
  • 設函數 y=f (x)=ax+b,
  • 因函數圖形通過(3 , 1800)、(9 , 720)兩點,
  • 當 x=3 時,f (3)=3a+b=1800 ⋯⋯①
  • 當 x=9 時,f (9)=9a+b=720 ⋯⋯②
  • 由②-①得 6a=-1080,a=-180
  • 將 a=-180 代入①得 b=2340
  • 所以 x、y 的關係式為 y=f (x)=-180x+2340。
  • ⑵ 根據題意,將紙張印完即表示 y=f (x)=0,
  • 代入關係式得 0=-180x+2340,得 x=13,
  • 所以從開始影印到紙張印完為 13 分鐘。
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⑴ 開始影印前表示時間 x=0,得 f(0)=2340,所以有 2340 張紙

⑵ 印了一半的紙量表示剩下張數為 ×2340=1170 張

則 1170=-180x+2340,得 x=6.5

所以剛好印了一半的紙量時為上午 9:06:30

  • 承例 8,
  • ⑴ 開始影印前共有多少張紙?
  • ⑵ 若小靖從上午九點開始影印,則剛好印了一半的紙量 時為幾點幾分?
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小翊參加全長 8 公里的慢跑活動,假
  • 設出發x 分鐘後,離終點還有 y 公里,
  • 右圖為 x 與y 的關係圖。則:
  • ⑴ 寫出 x、y 的關係式。
  • ⑵ 出發 8 分鐘後,小翊離終點還有多遠?
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⑴ 行走時間 x 和剩餘距離 y 的關係為一次函數,
  • 設函數 y=f (x)=ax+b,
  • 因函數圖形通過(0 , 8)、(32 , 0)兩點,
  • 當 x=0 時,f (0)=0a+b=8 ⋯⋯①
  • 當 x=32 時,f (32)=32a+b=0 ⋯⋯②
  • 由①得 b=8
  • 將 b=8 代入②得 a=
  • 所以 x、y 的關係式為 y=f (x)= x+8
  • ⑵ 根據題意,出發 8 分鐘即 x=8
  • 代入關係式得 f (8)= ×8+8=6
  • 所以出發 8 分鐘後,小翊離終點還有 6 公里。
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⑴ y=f (x)=

⑵ y=f (8)= ×8=

所以離終點還有 8- = 公里。

  • 承例 9,小妍也參加了同樣的慢跑比賽,
  • 假設出發 x 分鐘,她共跑了 y 公里,右圖
  • 為 x 與 y的關係圖。則:
  • ⑴ 寫出 x、y 的關係式。
  • ⑵ 出發 8 分鐘後,小妍離終點還有多遠?
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將自變數 x 的值當作橫坐標,其對應的函數值 y=f (x)當作縱坐標,就可以在坐標平面上畫出圖形,我們稱它為 y=f (x)的函數圖形。
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形如 f (x)=ax+b (a、b 為常數)的函數,圖形都是一條直線,我們稱為線型函數。當 a≠0 時,f (x)=ax+b 為一次函數;當 a=0 時,f (x)=b 為常數函數。
  • 例 f (x)=3x+1、g (x)=-5x-3 為一次函數;
  • h (x)=6、k (x)=-1 為常數函數。
slide42

(D)

  • 下列何者不是線型函數?答: 。
  • (A) f (x)=2x-9(B) f (x)=-5
  • (C) f (x)=x(D) f (x)=x2
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設函數 f (x)=ax+b (a、b 為常數),下列敘述何者錯誤?答: 。
  • (A) 若 a=0,b≠0,則函數 f (x)的圖形為水平線。
  • (B) 若 a=0,b=0,則函數 f (x)的圖形為水平線。
  • (C) 若 a≠0,b=0,則函數 f (x)的圖形經過原點。
  • (D) 若 a≠0,b≠0,則函數 f (x)的圖形經過原點。

(D)

slide44
在方格紙上畫出坐標平面,並畫出下列各函數的圖形。在方格紙上畫出坐標平面,並畫出下列各函數的圖形。
  • ⑴ y=f (x)=2x+5
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在坐標平面上,函數 f (x)的圖形經過(2 , 0)、(3 , 3)、
  • (4 , 1)、(5 , -3)四個點,函數 g (x)的圖形經過(2 , -4)、(3 , -1)、(4 , 0)、(5 , 5)四個點,則f (2)-g (3)-f (4)+
  • g (5)的值為何?

f (2)=0,g (3)=-1,f (4)=1,g (5)=5

所以 f (2)-g (3)-f (4)+g (5)=0-(-1)-1+5=5

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設 y=f (x)為一次函數,且其函數圖形通過(1 , -1)、
  • (3 , -7)兩點,則:
  • ⑴ 此函數為何?
  • ⑵ 若此函數圖形也通過(k , 2),則 k=?

⑴ 設 y=f (x)=ax+b

因函數圖形通過(1 , -1)、(3 , -7)兩點

當 x=1 時,f (1)=a+b=-1

當 x=3 時,f (3)=3a+b=-7

得 a=-3,b=2

所以此函數為 f (x)=-3x+2

⑵ f (k)=2

-3k+2=2,-3k=0

得 k=0

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某次月考班上數學成績普遍偏低,於是老師以下圖的線型函數換算,將同學的分數重新調整。已知原來考 35 分的同學,調整後為 48 分;原來考 60分的同學,調整後為 68 分。則:
  • ⑴ 寫出此線型函數的數學式。
  • ⑵ 若小妍原來考 90 分,則調整後應為幾分?
  • ⑶ 若小翊調整後為 80 分,則他原來考幾分?
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⑴ 設函數 y=f (x)=ax+b
  • 因函數圖形通過(35 , 48)、(60 , 68)兩點
  • 當 x=35 時,f (35)=35a+b=48
  • 當 x=60 時,f (60)=60a+b=68
  • 得 a=45,b=20
  • 所以此線型函數為 f (x)= +20
  • ⑵ 當 x=90 時,f (90)= ×90+20=92
  • 所以調整後為 92 分
  • ⑶ 當 y=f (x)=80, +20=80
  • 得 x=75
  • 所以小翊原來考 75 分
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腦是 21 世紀人類不可或缺的重要工具,透過電腦軟 體可以幫助人類處理很多複雜的數學運算,當然也可以用來求函數值。接下來我們將簡單介紹如何利用一種常見的電腦軟體「Excel」來求函數值。
  • 假設 y 是 x 的函數,它們的關係式為 y=f (x)=3x-6。
  • 步驟 1:在儲存格 A1 中輸入英
  • 文字母 x,在儲存格 B1
  • 中輸入英文字母 y,將
  • x 當成自變數、y 當成
  • 應變數。
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步驟 2: 在儲存格 A2 中輸入一
  • 個代表自變數 x 的數值
  • 「2」,接著將滑鼠點
  • 在儲存格 B2的位置,
  • 先輸入「=」,再輸入
  • 「3*A2-6」,之後
  • 再按 鍵,此時儲存格 B2 就會自動算出應 變數 y 的數值。
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當 x 值輸入不同的數值,y 值就會跟著改變。例如在儲存格 A2 輸入「-5」,則儲存格 B2 就會自動算出 y 的數值「-21」。
  • 同學們,看完以上的介紹,是不是學會用 Excel 來求函數值了呢?大家不妨自己試試看吧!
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