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將合於 y ＝ f ( x ) 關係的所有點 ( x , y ) 在坐標平面上描畫出來， 所得到的圖形就是函數圖形。

設 y ＝ f ( x ) 為一函數，我們可以將函數中每個自變數 x 的值當作橫坐標，它所對應的函數值 f ( x ) 當作縱坐標，就可以構成許多點坐標 ( x , y ) ，將這些點坐標逐一畫在坐標平面上，就可以完成該函數的圖形，我們稱之為函數 f ( x ) 的圖形。. 將合於 y ＝ f ( x ) 關係的所有點 ( x , y ) 在坐標平面上描畫出來， 所得到的圖形就是函數圖形。. 將自變數 x 的值當作橫坐標，其對應的函數值 f ( x ) 當作縱坐標，

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將合於 y ＝ f ( x ) 關係的所有點 ( x , y ) 在坐標平面上描畫出來， 所得到的圖形就是函數圖形。

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Presentation Transcript

  1. 設 y＝f (x)為一函數，我們可以將函數中每個自變數 x 的值當作橫坐標，它所對應的函數值 f (x)當作縱坐標，就可以構成許多點坐標(x , y)，將這些點坐標逐一畫在坐標平面上，就可以完成該函數的圖形，我們稱之為函數 • f (x)的圖形。 將合於 y＝f (x)關係的所有點(x , y)在坐標平面上描畫出來， 所得到的圖形就是函數圖形。

  2. 將自變數 x 的值當作橫坐標，其對應的函數值 f(x)當作縱坐標， 可得點坐標(1 , 31)、(2 , 28)、(3 , 31)、(4 , 30)、(5 , 31)、 (6 , 30)、 (7 , 31)、(8 , 31)、(9 , 30)、(10 , 31)、 (11 , 30)、(12 , 31) 將這些點畫在坐標平面上，可得下頁的圖形： • 設 x 代表平年中的月分，f (x)代表該月分的天數，在坐標平面上畫出函數y＝f (x)的圖形。

  3. 下表是某國中 10 位同學的體重，若 x 代表座號，f (x)代表 x 號同學的體重，試在坐標平面上畫出 y＝f (x)的函數圖形。

  4. 有時候，我們無法畫出函數所有的點，因此只需畫出部分重要的點，再將各點連接起來，就可以畫出圖形的大概形狀。例如：下圖是民國97 年 3 月 20日玉山氣象站的時刻及氣溫函數圖。

  5. 以 x 表示玉山氣象站當日的某一時刻，y 表示該 • 地該時刻的氣溫，因為氣溫會隨著時間變化，每一個 • 時刻當地只有一個氣溫，因此一個 x 值恰好有一個 y • 值與它對應，例如：7 時的氣溫是 －3.3°C，12 時的氣 • 溫是 5.3°C，所以氣溫 y 是時刻 x 的函數，可以寫成 • y＝f (x)。又此處的 f (x)不易用一個數學式子 • 表示出來，所以我們可以用列表方式列出部 • 分函數值。下表是民國97 年 3 月 20 日中央 • 氣象局玉山氣象站記錄的氣溫：

  6. 每一個時刻 x 都恰好有一個氣溫 y，由於短時間內氣溫 變化不會太大，而且我們無法記錄每一個時刻的氣溫(例如 2 時 24 分 35 秒的氣溫)，因此我們只需將上表中的各點坐標 (0 , －1.5)、(1 , －2.2)、⋯⋯、(24 , －0.4)描在坐標平面上， 再將各點連接起來，就是前面所示玉山氣象站的時刻及氣 溫函數圖。

  7. 我們在第 2 章學過形如 y＝3x－1 的式子是一個二元一次方程式，因為這樣的對應關係也是函數關係，因此我們也可以將 y＝3x－1 寫成 y＝f (x)＝3x－1，所以函數 • y＝f (x)＝3x－1 的圖形其實就是二元一次方程式 y＝3x－1 的圖形，是一條直線。因此只要找兩個點，再將它們連成直線，即為函數 y＝f (x)＝3x－1的圖形。

  8. 找出函數 y＝f (x)＝3x－1 的任意兩組對應值，例如： 將自變數 x 的值當作橫坐標，其對應的函數值 f (x)當 作縱坐標，可得點坐標(0 , －1)、(2 , 5)，把(0 , －1)、 (2 , 5)這兩點描到坐標平面上，並將兩點用直線連起來， 通過這兩點的直線即為函數 y＝f (x)＝3x－1 的圖形。 • 在坐標平面上畫出函數 y＝f (x)＝3x－1 的圖形。

  9. 在方格紙上畫一坐標平面，並畫出函數y＝g (x)＝2x＋3 的圖形。

  10. 由例 2 可以發現，函數 y＝f (x)＝3x－1 中 x 的最高次數為一次，所以我們稱它為一次函數。其實舉凡形如 f (x)＝ax＋b(a≠0)的函數都稱為一次函數，例如 f (x)＝2x＋3、g (x)＝－x＋5、h (x)＝4x－9⋯⋯都是一次函數。

  11. 除一次函數之外，還有一類函數其函數值固定為某一數，也就是說，不管自變數 x 值如何改變，所對應的應變數 y 值都固定不變，例如：小靖原有存款 1000元，如果他沒有繼續存款或提款，他的存款總金額就一直維持為 1000 元。假設存了 x 天後存款總金額是 y 元，列表如下：

  12. 因為這種對應關係符合「對於每一個 x 值，都恰好有一個 y 值與之對應」的特性，所以 y 是 x 的函數，而此處的 y 值都等於 1000，所以這個函數可以寫成 y＝1000，也可以寫成 f (x)＝1000，像這種函數值固定為某一數的函數(即 f (x)＝b)統稱為常數函數。

  13. 找出函數 y＝f(x)＝3 的任意兩組對應值， 將自變數 x 的值當作橫坐標，其對應的函 數值 f (x)當作縱坐標，可得點坐標(0 , 3)、 (1 , 3)，把(0 , 3)、(1 , 3)這兩點描到坐標平 面上，並將兩點用直線連起來，通過這兩 點的直線即為函數 y＝f (x)＝3 的圖形。 • 在坐標平面上畫出函數 y＝f (x)＝3 的圖形。

  14. 在方格紙上畫一坐標平面，並畫出函數y＝g (x)＝－5 的圖形。

  15. 由例 2 和例 3 可以發現，無論一次函數或是常數函數，它們在坐標平面上的圖形都是一條直線，所以這兩種函數又稱為線型函數。 形如 f (x)＝ax＋b (a、b 為常數)的函數，圖形都是一條直線， 我們稱為線型函數。當 a≠0 時，f (x)＝ax＋b 為一次函數； 當 a＝0時，f (x)＝b 為常數函數。

  16. 我們知道線型函數 f (x)＝ax＋b 的圖形是一條直線，但並不是所有的函數圖形都是直線，例如前面例 1 和第 152 頁的玉山時刻及氣溫函數圖。 • 接下來再舉一種函數圖形不是直線的例子，例如想在坐標平面上畫出函數 y＝f (x)＝x2＋1 的圖形，可用 x＝－2、－1、0、1、2⋯⋯代入，求出函數值f (x)，列表如下：

  17. 將點坐標(－2 , 5)、(－1 , 2)、(0 , 1)、(1 , 2)、(2 , 5)⋯⋯畫在坐標平面上，再用平滑的曲線連接起來，就是函數 y＝f (x)＝x2＋1 的概略圖形，如下圖所示：

  18. 此種函數圖形我們將在第六冊再詳細說明。

  19. y＝f (x)為一次函數，所以函數 y＝f (x)的圖形為一直線， 在坐標平面上描出(0 , －4)、(－1 , －1)兩點，並連成直線， 此直線即為函數 y＝f (x)的圖形。 • 設 y＝f (x)為一次函數，且其函數圖形通過(0 , －4)、(－1 , －1)兩點，在坐標平面上畫出函數 y＝f (x)的圖形，並找出其函數。

  20. 設 y＝f (x)＝ax＋b， • 因函數圖形通過(0 , －4)、(－1 , －1)兩點， • 當 x＝0 時，f (0)＝a×0＋b＝－4， • 當 x＝－1 時，f (－1)＝a×(－1)＋b＝－1， • 得 b＝－4，a＝－3，所以此一次函數為 f (x)＝－3x－4。

  21. 設 y＝f (x)為常數函數，且其函數圖形通過(7 , 3)，則函數 f (x)＝？ 設 y＝f (x)＝b 因函數圖形通過(7 , 3) 當 x＝7 時，f (7)＝b＝3，得 b＝3 所以此常數函數為 f (x)＝3

  22. 在坐標平面上，函數 y＝f (x)的圖形經過(－2 , 3)、(－1 , 1)、(0 , 3)、(1 , －1)、(2 , 2)、(3 , 0)六個點，則 f (3)－f (1)＋f (0)－f (－2)的值為何？ f (3)＝0，f (1)＝－1，f (0)＝3，f (－2)＝3 所以 f (3)－f (1)＋f (0)－f (－2)＝0－(－1)＋3－3＝1

  23. 在坐標平面上，函數 y＝f (x)的圖形經過(5 , －4)、 • (3 , －1)、(1 , 0)、(0 , －3)、(－1 , －1)、(－4 , 5)六個點，則 f (3)＋f (1)＋f (－1)＋f (－4)的值為何？ f (3)＝－1，f (1)＝0，f (－1)＝－1，f (－4)＝5 f (3)＋f (1)＋f (－1)＋f (－4)＝－1＋0＋(－1)＋5＝3

  24. 如右圖，已知兩函數 y＝f (x)＝3x－5 • 與y＝g (x)＝ax＋5 的圖形相交於點 • P(2 , b)，則 a、b 的值分別為多少？ 已知點 P(2 , b)在函數 y＝f (x)＝3x－5 的圖形上， 當 x＝2 時，y＝f (2)＝3×2－5＝1，得 b＝1， 所以 P 點坐標為(2 , 1)。 點 P(2 , 1)也在函數 y＝g (x)＝ax＋5 的圖形上， 當 x＝2 時，y＝g (2)＝2×a＋5＝1，得 a＝－2。 所以 a＝－2，b＝1。

  25. 如右圖，已知兩函數 y＝f (x)＝2x＋b • 與y＝g (x)＝－x－2 的圖形相交於點 • P (a , －4)，則 a、b 的值分別為多少？ 已知點 P (a , －4)在函數 y＝g (x)＝－x－2 的圖形上， 當 x＝a 時，y＝g (a)＝－a－2＝－4，得 a＝2， 所以 P 點坐標為(2 , －4)。 點 P(2 , －4)也在函數 y＝f (x)＝2x＋b 的圖形上， 當 x＝2 時，y＝f (2)＝2×2＋b＝－4，得 b＝－8。 所以 a＝2，b＝－8。

  26. 找出函數 f (x)＝ax－3 的任意兩組對應值， 因為(0 , －3)與 y 軸交於 x 軸下方， 又 a＞0，所以函數與 x 軸交於 y 軸右方， 故圖形可能為 (A)。 • 若一次函數 f (x)＝ax－3，其中 a＞0，則下列何者可能是此函數的圖形？

  27. 若一次函數 f (x)＝ax＋5，其中 a＜0，則下列何者可能是此函數圖形？ (D)

  28. ⑴ 承例 7，當自變數 x 的值越大時，函數值 f (x)是否也會 變大？ • ⑵ 承例 7 的隨堂練習，當自變數 x 的值越大時，函數值 f (x)是否也會變大？ 是 否

  29. 右圖為小靖影印資料時，影印機中紙張剩 • 下張數 y 和時間 x 的關係圖，假設從開始 • 影印到紙張印完期間的影印速度保持一 • 定，則： • ⑴ 寫出 x、y 的關係式。 • ⑵ 從開始影印經過多久剛好將紙張印完？

  30. ⑴ 紙張剩下張數 y 和時間 x 的關係為一次函數， • 設函數 y＝f (x)＝ax＋b， • 因函數圖形通過(3 , 1800)、(9 , 720)兩點， • 當 x＝3 時，f (3)＝3a＋b＝1800 ⋯⋯① • 當 x＝9 時，f (9)＝9a＋b＝720 ⋯⋯② • 由②－①得 6a＝－1080，a＝－180 • 將 a＝－180 代入①得 b＝2340 • 所以 x、y 的關係式為 y＝f (x)＝－180x＋2340。 • ⑵ 根據題意，將紙張印完即表示 y＝f (x)＝0， • 代入關係式得 0＝－180x＋2340，得 x＝13， • 所以從開始影印到紙張印完為 13 分鐘。

  31. ⑴ 開始影印前表示時間 x＝0，得 f(0)＝2340，所以有 2340 張紙 ⑵ 印了一半的紙量表示剩下張數為 ×2340＝1170 張 則 1170＝－180x＋2340，得 x＝6.5 所以剛好印了一半的紙量時為上午 9：06：30 • 承例 8， • ⑴ 開始影印前共有多少張紙？ • ⑵ 若小靖從上午九點開始影印，則剛好印了一半的紙量 時為幾點幾分？

  32. 小翊參加全長 8 公里的慢跑活動，假 • 設出發x 分鐘後，離終點還有 y 公里， • 右圖為 x 與y 的關係圖。則： • ⑴ 寫出 x、y 的關係式。 • ⑵ 出發 8 分鐘後，小翊離終點還有多遠？

  33. ⑴ 行走時間 x 和剩餘距離 y 的關係為一次函數， • 設函數 y＝f (x)＝ax＋b， • 因函數圖形通過(0 , 8)、(32 , 0)兩點， • 當 x＝0 時，f (0)＝0a＋b＝8 ⋯⋯① • 當 x＝32 時，f (32)＝32a＋b＝0 ⋯⋯② • 由①得 b＝8 • 將 b＝8 代入②得 a＝ • 所以 x、y 的關係式為 y＝f (x)＝ x＋8 • ⑵ 根據題意，出發 8 分鐘即 x＝8 • 代入關係式得 f (8)＝ ×8＋8＝6 • 所以出發 8 分鐘後，小翊離終點還有 6 公里。

  34. ⑴ y＝f (x)＝ ⑵ y＝f (8)＝ ×8＝ 所以離終點還有 8－ ＝ 公里。 • 承例 9，小妍也參加了同樣的慢跑比賽， • 假設出發 x 分鐘，她共跑了 y 公里，右圖 • 為 x 與 y的關係圖。則： • ⑴ 寫出 x、y 的關係式。 • ⑵ 出發 8 分鐘後，小妍離終點還有多遠？

  35. 將自變數 x 的值當作橫坐標，其對應的函數值 y＝f (x)當作縱坐標，就可以在坐標平面上畫出圖形，我們稱它為 y＝f (x)的函數圖形。

  36. 形如 f (x)＝ax＋b (a、b 為常數)的函數，圖形都是一條直線，我們稱為線型函數。當 a≠0 時，f (x)＝ax＋b 為一次函數；當 a＝0 時，f (x)＝b 為常數函數。 • 例 f (x)＝3x＋1、g (x)＝－5x－3 為一次函數； • h (x)＝6、k (x)＝－1 為常數函數。

  37. (D) • 下列何者不是線型函數？答： 。 • (A) f (x)＝2x－9(B) f (x)＝－5 • (C) f (x)＝x(D) f (x)＝x2

  38. 設函數 f (x)＝ax＋b (a、b 為常數)，下列敘述何者錯誤？答： 。 • (A) 若 a＝0，b≠0，則函數 f (x)的圖形為水平線。 • (B) 若 a＝0，b＝0，則函數 f (x)的圖形為水平線。 • (C) 若 a≠0，b＝0，則函數 f (x)的圖形經過原點。 • (D) 若 a≠0，b≠0，則函數 f (x)的圖形經過原點。 (D)

  39. 在方格紙上畫出坐標平面，並畫出下列各函數的圖形。在方格紙上畫出坐標平面，並畫出下列各函數的圖形。 • ⑴ y＝f (x)＝2x＋5

  40. ⑵ y＝f (x)＝－3

  41. 在坐標平面上，函數 f (x)的圖形經過(2 , 0)、(3 , 3)、 • (4 , 1)、(5 , －3)四個點，函數 g (x)的圖形經過(2 , －4)、(3 , －1)、(4 , 0)、(5 , 5)四個點，則f (2)－g (3)－f (4)＋ • g (5)的值為何？ f (2)＝0，g (3)＝－1，f (4)＝1，g (5)＝5 所以 f (2)－g (3)－f (4)＋g (5)＝0－(－1)－1＋5＝5

  42. 設 y＝f (x)為一次函數，且其函數圖形通過(1 , －1)、 • (3 , －7)兩點，則： • ⑴ 此函數為何？ • ⑵ 若此函數圖形也通過(k , 2)，則 k＝？ ⑴ 設 y＝f (x)＝ax＋b 因函數圖形通過(1 , －1)、(3 , －7)兩點 當 x＝1 時，f (1)＝a＋b＝－1 當 x＝3 時，f (3)＝3a＋b＝－7 得 a＝－3，b＝2 所以此函數為 f (x)＝－3x＋2 ⑵ f (k)＝2 －3k＋2＝2，－3k＝0 得 k＝0

  43. 某次月考班上數學成績普遍偏低，於是老師以下圖的線型函數換算，將同學的分數重新調整。已知原來考 35 分的同學，調整後為 48 分；原來考 60分的同學，調整後為 68 分。則： • ⑴ 寫出此線型函數的數學式。 • ⑵ 若小妍原來考 90 分，則調整後應為幾分？ • ⑶ 若小翊調整後為 80 分，則他原來考幾分？

  44. ⑴ 設函數 y＝f (x)＝ax＋b • 因函數圖形通過(35 , 48)、(60 , 68)兩點 • 當 x＝35 時，f (35)＝35a＋b＝48 • 當 x＝60 時，f (60)＝60a＋b＝68 • 得 a＝45，b＝20 • 所以此線型函數為 f (x)＝ ＋20 • ⑵ 當 x＝90 時，f (90)＝ ×90＋20＝92 • 所以調整後為 92 分 • ⑶ 當 y＝f (x)＝80， ＋20＝80 • 得 x＝75 • 所以小翊原來考 75 分

  45. 腦是 21 世紀人類不可或缺的重要工具，透過電腦軟 體可以幫助人類處理很多複雜的數學運算，當然也可以用來求函數值。接下來我們將簡單介紹如何利用一種常見的電腦軟體「Excel」來求函數值。 • 假設 y 是 x 的函數，它們的關係式為 y＝f (x)＝3x－6。 • 步驟 1：在儲存格 A1 中輸入英 • 文字母 x，在儲存格 B1 • 中輸入英文字母 y，將 • x 當成自變數、y 當成 • 應變數。

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