Programación Lineal Resolución Gráfica (1)

Programación Lineal Resolución Gráfica (1)

Producción de Fertilizantes • Dos productos: Vitsódico y Vitpotásico • Tres Recursos: • potasio: 18 kg • sodio: 14 kg • mezcladora: 15 h-maq Variables de Decisión: x1= cantidad de vitsódico que se debe fabricar (toneladas) x2= cantidad de vitpotásico que se debe fabricar (toneladas)

Restricciones Disponibilidad Potasio: se puede utilizar en la producción total hasta 18 [kg] 1 x1 + 4 x2 18 Disponibilidad Sodio: se puede utilizar en la producción total hasta 14 [kg] 2 x1 + 2 x2 14 Disponibilidad Mezcladora: se puede utilizar hasta 15 [hrs] a la semana 2x1 + 3 x2 15 Variables de Decisión: x1= cantidad de vitsódico que se debe fabricar (toneladas) x2= cantidad de vitpotásico que se debe fabricar (toneladas)

No negatividad: x1, x2 0 Función objetivo Max ingresos totales Ingreso total = z = 300 x1 + 500 x2(Miles de $ = M$) Max z = 300 x1 + 500 x2

Modelo de Programación Lineal Max z = 300 x1 + 500 x2 s.a. 1 x1 + 4 x2 18(1) 2 x1 + 2 x2 14 (2) 2x1 + 3 x2 15 (3) x1, x2 0

x2 x1 1 x1 + 4 x2 18 (1) 2 x1 + 2 x2 14 (2) 2x1 + 3 x2 15 (3) x1, x2 0

x2 10 5 x1 5 10 15 20 1 x1 + 4 x2 18(1) 2 x1 + 2 x2 14 (2) 2x1 + 3 x2 15 (3) x1, x2 0

x2 10 5 x1 5 10 15 20 1 x1 + 4 x2 18(1) 2 x1 + 2 x2 14(2) 2x1 + 3 x2 15 (3) x1, x2 0

x2 10 5 x1 5 10 15 20 1 x1 + 4 x2 18(1) 2 x1 + 2 x2 14(2) 2x1 + 3 x2 15(3) x1, x2 0

x2 10 5 x1 5 10 15 20 1 x1 + 4 x2 18(1) 2 x1 + 2 x2 14(2) 2x1 + 3 x2 15(3) x1, x2 0 Espacio/ conjunto factible

Max z = 300 x1 + 500 x2 s.a. 1 x1 + 4 x2 18(1) 2 x1 + 2 x2 14(2) 2x1 + 3 x2 15(3) x1, x2 0 x2 Z = 2460 5 Z = 1800 Z = 1500 x1 5 10

Z = 2460 4.2 1.2 Max z = 300 x1 + 500 x2 s.a. 1 x1 + 4 x2 18(1) 2 x1 + 2 x2 14(2) 2x1 + 3 x2 15(3) x1, x2 0 x2 5 Solución óptima z* = valor óptimo = $ 2460 x1* = 1.2 ton x2 * = 4.2 ton x1 5 10

Recursos Utilizados x1 = 1.2 y x2 = 4.2, entonces se utiliza: Potasio 18 kg ( Sobra = 0 ) Sodio 10.8 kg ( Sobra = 3.2) Mezcladora 15 h-m ( Sobra = 0) Definición: Variable de Holgura = diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo de una restricción. Restricción es activa variable de holgura igual a cero. Restricción es no activa variable de holgura es distinta de cero.

Min / Max z = cx s.a.  Ax = b  x 0 Restricciones generales Restricciones de signo Conjunto factible = { x / x verifica restricciones generales y de signo }

Problema infactible Max z = 4x1 + x2 s.a. 3x1 + 6x2 18 (1) x1 + 2x2 8 (2) x1, x2 0 x2 4 3 (2) (1) x1 6 8 Tipos de Soluciones de un P. Lineal

Problema infactible Max z = 4x1 + x2 s.a. 3x1 - 6x2 18 (1) 2x1 + x2 6 (2) x1, x2 0 x2 6 (2) (1) 3 6 x1 -3 Tipos de Soluciones de un P. Lineal

Problema con solución óptima única x2 6 (2) 3 (1) x1 3 9 Tipos de Soluciones de un P. Lineal Max z = 2x1 + 2x2 s.a. x1 + 3x2 9 (1) 2x1 + x2 6 (2) x1, x2 0

Problema con solución óptima única x3 4 2 x2 4 2 4 x1 Tipos de Soluciones de un P. Lineal Max z = 2x2 + x3 s.a. x1 + x2 + x3 4 x2 2 x3  3 x1, x2 , x3 0

-x1 + 3x2 9 (1) 3x1 + x2 6 (2) x1, x2 0 x2 3 2 x1 Tipos de Soluciones de un P. Lineal Conjunto factible no acotado

Min z = x1 + x2 -x1 + 3x2 9 (1) 3x1 + x2 6 (2) x1, x2 0 x2 3 2 x1 Tipos de Soluciones de un P. Lineal Conjunto factible no acotado ¡¡ Solución óptima finita!!

Max z = x1 + x2 -x1 + 3x2 9 (1) 3x1 + x2 6 (2) x1, x2 0 x2 3 2 x1 Tipos de Soluciones de un P. Lineal Conjunto factible no acotado Problema no acotado (z*   )

Max z = 2x1 + x2 s.a. -x1 + 3x2 9 (1) 2x1 + x2  6 (2) x1, x2 0 x2 6 3 x1 3 Tipos de Soluciones de un P. Lineal Problema con infinitas soluciones óptimas

c x c x Tipos de Soluciones de un P. Lineal Problema con infinitas soluciones óptimas

x2 10 5 B A C E D x1 5 10 15 20 Max z = 300 x1 + 500 x2 s.a. 1 x1 + 4 x2 18(1) 2 x1 + 2 x2 14(2) 2x1 + 3 x2 15(3) x1, x2 0 Vértices factibles

2250 0 4.5 1.2 4.2 2460 6 1 2300 7 0 2100 0 0 0 Vértices Factibles PUNTO x1 x2 z A B C D E

0 5 1.5 0 4.2 0 8 0 0 11 0 1 18 14 15 Variables de Holgura PUNTO x3 x4 x5 A B C D E

Programación Lineal Resolución Gráfica (1)