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XXII Olimpiada Thales

¡Ten amigos. pa'esto!. XXII Olimpiada Thales. ¡TEN AMIGOS “PA’ESTO”!.

deirdre-wilson
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XXII Olimpiada Thales

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Presentation Transcript

  1. ¡Ten amigos... pa'esto! XXII Olimpiada Thales

  2. ¡TEN AMIGOS “PA’ESTO”! Me ha llegado un aviso de correos para recoger un paquete. Aprovechando que mi amiga Carlota trabaja allí, la llamo para preguntarle las dimensiones y así saber si puedo ir en bici a recogerlo. En seguida me arrepentí, porque Carlota, que es una “pirá” de las matemáticas me dio la siguiente respuesta: Sólo te diré que tiene la misma forma que una caja de zapatos y que la superficie de sus caras es 120 cm2, 80 cm2 y 96 cm2 respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones del paquete? Solución Menú

  3. ¿POR CUAL QUIERES COMENZAR? Solución 2 Solución 1 Solución Menú

  4. Solución: Para empezar daremos un nombre a las incógnitas: las medidas de los lados a c b Sabemos que a · b = 120; b · c = 96; a · c = 80 Enunciado Solución 2 Menú

  5. Solución: ¿Qué me dice esto que tengo? • 120 es un múltiplo de a y de b, o bien, a y b son divisores de 120. • 96 es un múltiplo de b y de c, o bien, b y c son divisores de 96. • 80 es un múltiplo de a y de c, o bien, a y c son divisores de 80. a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 • a es divisor común de 120 y de 80. • b es divisor común de 120 y de 96. • c es divisor común de 96 y de 80. Enunciado Solución 2 Menú

  6. a c b Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 Escribimos los divisores de los tres números. De 120: 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 De 96: 1 2 3 4 6 8 12 16 24 32 48 96 De 80: 1 2 4 5 8 10 16 20 40 80 Y marcamos los divisores comunes a dos de ellos. Enunciado Solución 2 Menú

  7. a c b Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 Por tanto: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 Bastará buscar parejas cuyos productos sean los deseados. Enunciado Solución 2 Menú

  8. Si c vale: a b a·b = 120 ¿? Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 1 ¡Pero a≠ 80! 80 Enunciado Solución 2 Menú

  9. Si c vale: a b a·b = 120 ¿? Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 1 80 2 ¡Pero b≠48! 48 Enunciado Solución 2 Menú

  10. Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 1 80 2 48 ¡20·24≠120! 4 20 24 No Enunciado Solución 2 Menú

  11. Si c vale: a b a·b = 120 b = 12 cm c = 8 cm a = 10 cm Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 1 80 2 48 4 20 24 No 8 10 12 ¡Siii! Enunciado Solución 2 Menú

  12. Si c vale: a b a·b = 120 Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 1 80 2 48 b = 12 cm 4 20 24 No c = 8 cm 8 10 12 ¡Siii! ¡5·6≠120! 16 5 6 No a = 10 cm Enunciado Solución 2 Menú

  13. b = 12 cm c = 8 cm ¡A por la bici! a = 10 cm Solución: Demostrado por tanto que a = 10, b = 12 y c = 8 es la única solución Enunciado Solución 2 Menú

  14. a b c Solución: Para empezar daremos un nombre a las incógnitas: las medidas de los lados. Si desplegamos la caja tenemos que: a 120 c 80 96 b Sabemos que a · b = 120; b · c = 96; a · c = 80 Solución 1 Enunciado Menú

  15. Solución: Descomponiendo estos números tenemos que: 120= 23x3x5; 80= 24x5 y 96= 25x3 Si sustituímos los números por sus descomposiciones, tenemos a a b 2x2x2x3x5 120 c 2x22x22x3 80 96 c 2x2x2x2x5 b Solución 1 Enunciado Menú

  16. Solución: Ahora bien, fijémonos en el 5 que aparece... Como 5 no aparece en la descomposición de 96, necesariamente es un factor de “a”. Y tenemos que: a =5x a b 2x2x2x3x5 120 120 c 2x22x22x3 96 80 80 96 c 2x2x2x2x5 b Quitemos pues el cinco de las descomposiciones Solución 1 Enunciado Menú

  17. Solución: Ahora bien, fijémonos en el 5 que aparece... Como 5 no aparece en la descomposición de 96, necesariamente es un factor de “a”. Y tenemos que: a =5x a b 2x2x2x3x5 120 c 2x22x22x3 96 80 96 c 2x2x2x2x5 b Quitemos pues el cinco de las descomposiciones Solución 1 Enunciado Menú

  18. Solución: Vamos a seguir con el 3... Como 3 no aparece en la descomposición de 80, necesariamente es un factor de “b”. Y tenemos que: a =5x a b =3x 2x2x2x3x5 120 120 c 2x22x22x3 96 80 80 96 c 2x2x2x2x5 b Quitando el 3 nos queda... Solución 1 Enunciado Menú

  19. Solución: Vamos a seguir con el 3... Como 3 no aparece en la descomposición de 80, necesariamente es un factor de “b”. Y tenemos que: a =5x a b =3x 2x2x2x3x5 120 120 c 2x22x22x3 96 80 80 96 c 2x2x2x2x5 b Quitando el 3 nos queda... Solución 1 Enunciado Menú

  20. Solución: Ahora sólo nos quedan potencias de 2 Si “a” tuviese a 2x2x2 como factores, entonces quitando estos factores de las descomposiciones: a =5x a b =3x 2x2x2x3x5 2x2x2 120 c 2x22x22x3 96 80 96 c 2x2x2x2 2x2x2x2x5 b El lado “c” tendría obligatoriamente el 2 en su descomposición y por tanto, “b” tendría a 24 en la suya lo que es imposible Solución 1 Enunciado Menú

  21. Solución: Lo que significa que “b” tiene algún 2 en la suya. Los quitamos a =5x a b =3 =3x2 2x2x2 120 120 c 2x22x22x3 96 80 80 96 c 2x2x2x2 b Solución 1 Enunciado Menú

  22. Solución: Lo que significa que “b” tiene algún 2 en la suya. Los quitamos Si “a” tuviese a 2x2, entonces quitando dichos factores tenemos que: a =5x a b 2x2 =3x2 2x2 120 120 c 2x22x2 96 80 80 96 c 2x2x2x2 2x2x2x2 b El lado “c” tendría obligatoriamente el 22 en su descomposición y por tanto, “b” tendría en la suya a 22 lo que es imposible Solución 1 Enunciado Menú

  23. Solución: Razonando de la misma forma, si “b” tuviese a 2x2 como factores, entonces quitando estos factores de las descomposiciones: a =5x a b =3x2 2x2 120 2x2 120 c 2x22x2 2x22x2 96 80 80 96 c 2x2x2x2 b El lado “c” tendría obligatoriamente a 24 en su descomposición lo que no es posible. Solución 1 Enunciado Menú

  24. Solución: Por tanto, tanto “a” como “b”, tienen algún factor 2 en sus respectivas descomposiciones. Es decir: a =5x2 =5 a b =3x2x2 =3x2 2x2 120 120 c 2x22x2 96 80 80 96 c 2x2x2x2 b Y si los quitamos... Solución 1 Enunciado Menú

  25. Solución: Por tanto, tanto “a” como “b”, tienen algún factor 2 en sus respectivas descomposiciones. Es decir: a =5x2 a b =3x2x2 120 c 2x22 96 80 80 96 c =2x2x2 2x2x2 b Y si los quitamos... Es evidente que c=2x2x2 Solución 1 Enunciado Menú

  26. a =10 b =12 c =8 Solución: ¡Ya está!, vamos a comprobarlo: Tenemos que a · b = 120; b · c = 96 y a · c = 80 a 120 120 c 96 80 80 96 b Solución 1 Enunciado Menú

  27. b = 12 cm c = 8 cm ¡A por la bici! a = 10 cm Solución: Demostrado por tanto que a = 10, b = 12 y c = 8 es la única solución Solución 1 Enunciado Menú

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