Fyzika II pro FEI KZI / P1AFB

1. Fyzika II pro FEIKZI/P1AFB Stránka předmětu: http://stein.upce.cz/msfei14.html

2. Úvod do předmětu • Přednášející: Doc. Miloš Steinhart • Adresa: Studentská 84, 06 036 (514), 466 036 029 • stein@imc.cas.cz • http://stein.upce.cz/msfei14.html • Přednášky Út: 13:30 – 16:30, R-KH • Semináře:

3. FIIFEI-01 Nejdůležitější partie z fyziky I http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_01.ppt Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)

4. Hlavní body • Základní zákony • Kinematika a dynamika hmotného bodu • Základní dynamické veličiny. Newtonovy zákony. • Konzervativní pole – gravitační a elektrostatické • Důsledky základních zákonů a zachování veličin • Pohyb v prostoru. Vrhy. • Kinematika a dynamika soustavy hmotných bodů • Rozložení náboje na tělesech a pole v blízkém okolí • Stacionární elektrický proud

5. Smysl této přednášky • Zopakovat hlavní myšlenky a základní zákony, přednesené v předchozím semestru • Ilustrovat jejich důsledky a upozornit na souvislosti a analogie napříč probranými podobory • Vytvořit základ pro probrání dalších partií

6. Kinematika a dynamika hmotného bodu • Kinematika se zabývá pouze popisempohybu a nepátrá po příčinách jeho změn. • Dynamika se zabývá pohybem včetně příčin a zachováním veličin. • Nejprve se zabýváme klasickoumechanikou. • Studované objekty jsou nadmolekulárníchvelikostí a • Pohybují se rychlostmi mnohem menšími než c. • Hmotný bod má nenulovou hmotnost a zanedbatelné geometrické rozměry(jde hlavně o oddělení rotací, Kallysto, kulečníková koule, moucha, motýl ).

7. Kinematika I • Kinematika se přednáší zvláště proto, že zde lze na známých a snadno pochopitelných představách a veličinách ilustrovat postupy řešení problémů ve složitějších oblastech. Například: • Prvním krokem řešení problému je zjištění jeho skutečného rozměru a zavedení příslušných souřadnic. • Obdobnýaparát jako je používán u rovnoměrného přímočarého pohybu, který lze popsat jednorozměrně, lze aplikovat při popisu časového vývoje všech skalárníchveličin, např. koncentrace.

8. Kinematika II • Poloha hmotného bodu je určena polohovým vektorem = (x1, x2, x3). • Průměrná rychlost v = s/t = celková dráha/čas. Obecně se v průběhu času mění velikost i směr. • Okamžitá rychlost = d/dt . (vi = dxi/dt). V daném okamžiku mávždy směr tečný k dráze. • Zrychlení= d/dt = d2/dt2 . (ai = d2xi/dt2). Je to “rychlost rychlosti”. Směrvůči vektoru rychlosti může být obecně různý, podle okolností.

9. Kinematika III • Vzhledem ke směru rychlosti je účelné rozložit zrychlení na tečné a normálové: Budiž = = v, potom

10. Kinematika IV • Zde  je poloměr křivosti. Je-li  =  , je obecně a jedná se o pohyb přímočarý. • Je-li hmotný bod v určitém místě vychýlen z přímočaré trajektorie, musí zde existovat nenulovénormálovézrychlení směřující dookamžitéhostředukřivosti – dostředivé zrychlení. • Čím menší je poloměr křivosti, tím ‘ostřejší’ je zatáčka a tím větší musí být normálové zrychlení, aby bylo příslušného zakřivení dráhy dosaženo.

11. Pohyb přímočarý I • Souřadnou soustavu zavádíme tak, aby se jedna osa(např. x) ztotožňovala se směrem pohybu, potom vystačíme se skalárnírychlostív a se skalárnímzrychleníma. Pozůstatkem vektorové povahy těchto veličin je jejich orientace. • Pohyb rovnoměrnýpřímočarý v = dx/dt => x(t) = x0 + v t , kde x0≡ x(t=0) jeintegrační konstanta -počátečnípodmínky.

12. Pohyb přímočarý II • Přímočaré pohyby mohou mít i zrychlení vyššího řádu, ale často je nenulové jen z. řádu prvního: • Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený • a = dv/dt => v(t) = v0 + a t , kdev0≡ x(t=0) je druhá integrační konstanta • x(t) = x0 + v0 t + a t2/2. Po druhé integraci přibyla další integrační konstanta. Počáteční podmínky jsou určeny dvěma nezávislými parametry x0 a v0. • Na počátečních podmínkách záleží, zda se jedná o pohyb zrychlený nebo o pohyb zpomalený!

13. Pohyb přímočarý III • Závisí to na zrychlení ai na počáteční rychlostiv0! • Je-li v0>0 znamená a > 0 pohyb zrychlený a < 0 pohyb zpomalený • Ale je-li v0<0 je tomu naopak (!) a > 0 pohyb zpomalený a < 0 pohyb zrychlený

14. Pohyb křivočarý • Normálová složka zrychlení musí být obecně alespoň někde nenulová a poloměr křivosti se může měnit. • Speciální případ je pohyb po kružnici.Odehrává se v jedné rovině a poloměr křivosti je konstantní = r.

15. Časová závislost veličin nemechanických • Jedním z důvodů, proč se vyučuje již celkem probádaná kinematika jsou analogie kinematických a nemechanických veličin. • Porozumění časových průběhů takových veličin je značně usnadněno díky tomu, že vzhledem ke každodenní zkušenosti je chápání mechanických veličin je relativně nejsnadnější. • Příkladem může být radioaktivní rozpad.

16. Pohyb po kružnici I • Pohyb rovnoměrný je konstantnía zrychlení směřuje neustále do středu otáčení je to tedy zrychlenídostředivé. • Při zjednodušeném skalárním popisu ztotožníme osu otáčení s jednou z os souřadné soustavy (z). • Hmotný bod prochází pravidelně kruhovou dráhu s = 2 r rychlostí o konstantní velikostív. • Doba jedné otáčky nebo-li perioda je T[s]. • Počet otáček za jednotku časuf = 1/T se nazývá frekvencef[s-1  Hz].

17. Pohyb po kružnici II • Při popisu pohybů bodů v konstantnívzdálenosti od středu otáčení je výhodné požívat úhlové veličiny : • ds = r d • v = ds/dt = r d/dt = r  = 2 r / T •  = 2 f = 2 / T • Takto se zavádí úhlová rychlost  [s-1], která je v tomto případě konstantní.

18. Pohyb po kružnici III • Po integraci: • (t) = 0 +  t • s(t) = s0 + r t • 0nebos0jsou integrační konstanty opět dané počátečními podmínkami. • Skutečná dráha a rychlost mohou záviset na čase: • s(t) = r (t) • v(t) = r (t)

19. Pohyb po kružnici IV • Při rovnoměrném pohybu po kružnici : • Jsou průměty určitého bodu do kolmých os harmonickékmity. Tedy souřadnice hmotného bodu jsou : x(t)=cos (t) = cos(0 +  t) y(t)=sin (t) = sin(0 +  t) 0se zde nazývá počáteční fáze • Dostředivé zrychlení má konstantní velikost: ad = v2/r = 2r = v

20. Pohyb po kružniciV • Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici. • Hmotný bod se pohybuje s konstantním tečnýmat nebo úhlovým zrychlením  : •  = d /dt • at = r • Po integraci • (t)= 0 +  t • (t) = 0 + 0 t +  t2/2

21. Pohyb po kružniciVI • Zda se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený nebo zpomalený, opět závisí na počátečních podmínkách, konkrétně počáteční úhlové rychlosti 0 ,která určuje smysl počáteční rotace : • Je-li0> 0 a  > 0jde o pohyb zrychlený. Při  < 0 jde o pohyb zpomalený. • Je-li0< 0 je tomu samozřejmě naopak.

22. Pohyb po kružniciVII • Protože rovina kruhové dráhy může mít různou polohu v prostoru, je nutné pro úplný popis pohybu použít vektorů • Orientovaný úhel má směr normály ke kružnici, orientované tak, že je úhel vidět jako kladný nebo-li pravotočivý(!). • Obdobně je definován i směr a orientace úhlové rychlosti a úhlového zrychlení .

23. Pohyb po kružniciVIII • Jedná-li se o pohyb rovnoměrně zrychlený je orientace vektorů stejná v případě pohybu zpomaleného je jejich orientace opačná. • Vektorové vyjádření rychlosti a zrychlení:

24. Úvod do dynamiky • Mechanika by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody proč se tělesa dávají do pohybu, zrychlují, zpomalují nebo se zakřivuje jejich dráha. • Pohybují-li se tělesa s nenulovýmzrychlením, musí na ně působitnenulová výslednice sil. • Dojít k tomuto jednoduchému závěru bylo obtížné, protože síly, jako například tření, nemusí být patrné a navíc některé tzv. dalekodosahovésily působí na dálku bez přímého kontaktu těles.

25. Hybnost • Pohybovýstav hmotného bodu lze popsat vektorem hybnosti definovaným jako: • Význam hybnosti spočívá ve skutečnosti, že se zachovává, když je výslednicesil působících na hmotný bod nulová a mění se, když nulová není. Taková situace může nastat v důsledku interakce s jinými hmotnými body nebo se silovými poli.

26. Newtonovy zákony • Isaac Newton (1642-1727) geniálně shrnul poznatky klasické dynamiky do tří zákonů: • Zákonu setrvačnosti • Zákonu síly • Zákonu akceareakce • Upřesnění těchto zákonů je nutné až za hranicemi klasické mechaniky, při vysokýchrychlostech a v mikrosvětě .

27. Zákon setrvačnosti • Nepůsobí-li na hmotný bod síla, pohybuje se rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. • Přesněji: Je-li síla působící na hmotný bod nebo některá její složka nulová, je jeho hybnost nebo její příslušná složka konstantní. • Silou se zde a dále obecně rozumí výslednicevšech působících sil. • V této formulaci jsou zahrnuty i speciální pohyby, kde se měníhmotnost, jako raketový.

28. Zákon síly I • Síla působící na hmotný bod je rovnačasovézměně jeho hybnosti. • Často, ale ne vždy (!) je splněn předpoklad, že hmotnost zůstává konstantní. Potom platí formulace jednodušší : Jednotkou síly je 1newton : N = kg m s-2

29. Zákon síly II • Předchozí vztahy jsou vektorové. Platí tedy i v příslušných složkách. Například: • Nenulová druhá složka síly je rovna změně druhé složky hybnosti v čase. • Je-li třetí složka síly nulová, je třetí složka hybnosti konstantní, atd.

30. Zákon akce a reakce • Působí-li těleso 1 na těleso 2 silou , působí i těleso 2na těleso 1 silou . • Obě síly jsou stejněvelké, ale opačněorientované: . • Každá působí na jiné těleso a proto se tyto síly spolu nedají obecně složit. • Složit se dají jen když je mezi tělesy tzv. vazba, Tedy jsou spojena. Potom je účinek sil nulový.

31. Časový účinek síly - impuls • Za určitých okolností víme, že konstantnísíla působí na jisté těleso po určitoudobu, potom integrací 2. Newtonova dostáváme přímo změnu jeho hybnosti : Změnahybnosti se tedy rovnáimpulsu síly. • Je tedy důležité,jakdlouho síla působí. • Vztah platí samozřejmě opět i ve složkách.

32. Dráhový účinek síly– práce I • Za určitých okolností víme, že konstantnísíla působí na jisté těleso po určitédráze, potom známe jakou práci síla vykonala a tím také, jak se změnila celkováenergie tohoto tělesa. • Proti předchozímu případu konstantní doby je nyní situace komplikovaná tím, že dráha může být 3D a síla může mít konstantní velikost, ale mění svůj směr. • Takovou dráhu dělíme na potřebný počet rovných úseků a řešíme příslušný počet jednorozměrných případů.

33. Dráhový účinek síly– práce II • Předpokládejme konstantnísílu, působící na volnou částici konstantníhmotnosti v jednomsměru(po přímce = ose x), v němž se částice pohybuje. • V důsledku působení síly se stav částice změní (t1, x1, v1) -> (t2, x2, v2). *Použijeme vztahu pro souřadnici v čase t při rovnoměrně zrychleném pohybu :

34. Dráhový účinek síly - práce III • Pro čas t2 tedy platí: • Nyní dosadíme : • a = F/m • (t2 – t1) = (v2 – v1)/a = (v2 – v1)m/F • Poúpravě :

35. Dráhový účinek síly– práce IV • Tedy :A = F x = v22 m/2– v21 m/2 = Ek •  Aje práce, kterou vykoná síla F na drázex • mv2/2 = Ek je kinetická(pohybová) energie • Obě veličiny mají rozměr energie a v SI jednotku1joule : J = Nm= kg m2 s-2 • Obecně síla nemusí působit ve směru pohybu a práce jej její průmětdosměrupohybu, tedy skalární součin :

36. * Dráhový účinek síly V • Uvažujme opět jednorozměrný případ působení konstantní síly na kompaktní hmotný bod. V obecnějším případě bychom ztotožnili osu x se směrem posunu a uvažovali pouze složku síly do tohoto směru. • Použili jsme: • Lze ukázat:

37. Výkon působící síly • Často je důležité, za jakou dobu došlo k vykonání určité práce. To charakterizujeme výkonem, který chápeme jako rychlostkonánípráce a definujeme analogicky jako ‘klasickou’ rychlost : • Průměrný výkon :<P> = A/t • Okamžitý výkon : P = dA/dt • Jednotkou výkonu v SI je 1wattW = Js-1

38. Konec přednášky

39. Gravitační síla a pole • Věnujme se první dalekodosahové síle, síle gravitační. Jejím prostřednictvím na sebe hmotné body působí, aniž by byly v přímém vzájemném kontaktu. • Na základě gravitačního působení funguje nebeskámechanika a gravitační zákon vznikl zobecněním dlouhodobých astronomických pozorování. • Tyto představy se mění až v rámci obecné teorie relativity, která chápe gravitaci jako důsledek existence neinerciální vztažné soustavy.

40. *Keplerovy zákovy • Tisíciletá astronomická pozorování a hlavně velmi přesná měření Tychona Braheho (1546-1601) byla shrnuta Johannesem Keplerem (1571-1630) do tří zákonů: • Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách, blízkých kružnicím.Slunce je v jejich společném ohnisku. • Při pohybu určité planety je její plošná rychlost konstantní. • Při srovnání drah dvou různých planet platí pro jejich doby oběhu a dlouhé periody:

41. Newtonův gravitační zákon I • Keplerovy zákony byly později geniálně shrnuty do všeobecného gravitačního zákona Issacem Newtonem : Každé dva hmotné body na sebe působí přitažlivou silou, která působí ve směru jejich spojnice. Je přímo úměrnásoučinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.

42. Newtonův gravitační zákon II • Pro jednoduchost umístíme m1do počátku a poloha m2bude určena polohovým vektorem . Potom síla působící na bod m2 v důsledku existence bodu m1 , resp. její velikost jsou :

43. Newtonův gravitační zákon II • Gravitačně na sebe působí libovolné hmotnosti. •  = 6.67 10-11 Nm2kg-2 … je univerzálnígravitačníkonstanta • “-” znamená, že se vždy jedná o sílu přitažlivou • Při vzájemném působení vícehmotných bodů platí principsuperpozicesilové působení mezi dvěma hmotnými body nezávisí na rozložení jiných hmotností v jejich okolí, dokonce ani na hmotnosti ležící mezi nimi.

44. * Od Keplera k Newtonovi I • 2. K. z.  gravitační síla je centrální • Plošnárychlost je definována: • Zjevně úzce souvisí s momentemhybnosti • Zachováníplošné rychlosti je tedy ekvivalentnízachování momentu hybnosti. To podle druhé impulsové věty znamená, že moment gravitační síly je nulový. Tato nenulová síla tedy musí být buď paralelní nebo antiparalelní vzhledem k průvodiči. Protože je přitažlivá je antiparalelní.

45. * Od Keplera k Newtonovi II • 2. K. z.  gravitační síla je centrální • Pro zjednodušený případ, kružnici, znamená konstantní plošná rychlost i konstantní úhlovou rychlost a tedy nulové úhlové zrychlení, což opět svědčí o nulové výslednici momentu sil a tedy i o tom, že gravitační síla je centrální. • Pohyb po eliptické dráze je podobný jako pohyb na ‘horské dráze’ – těleso může zrychlovat i zpomalovat, ale zachovává se celková mechanickáenergie, tedy součetkinetické a potenciální energie a momenthybnosti.

46. * Od Keplera k Newtonovi III • 3. K. z.  gravitační síla ubývá se čtvercem vzdálenosti. • Důkaz s použitím současného matematického aparátu je relativně snadný, ale z Newtonových zápisků není dodnes jasné, jak na něj přišel s prostředky, které byly známé v jeho době.

47. * Od Keplera k Newtonovi IV • Pro kružnici, jednoduše předpokládejme že platí: po úpravě: Podle 3. K.z. Musí být pravástrana konstantní a nesmí tedy závisetnar. To je splněno jen když je  = 0.

48. Gravitační pole I • Gravitační pole si představujeme jako informaci, kterou o sobě šíří hmotné body do svého okolí • nese údaje o jejich hmotnosti a poloze • šíří se rychlostí světla • na tuto informaci reagují jiné zdroje stejného typu pole = hmotnosti tím, že na ně působí síla

49. Gravitační pole II • Gravitační pole je polevektorové. Mohli bychom ho plně charakterizovat, v každém bodě třemi složkami síly , která působí na nějakou testovací hmotnost m. • Výhodnější je tuto sílu vydělit testovací hmotností, čímž získáme intenzitu , která na ní již nezávisí a je tedy jednoznačnouvlastnostípole.

50. Gravitační pole III • Intenzitu lze také chápat jako sílu, která by v daném bodě působila najednotkovouhmotnost. • Intenzita ale nemá rozměr síly, nýbrž síly dělené hmotností a tedy i jinou jednotku [N/kg].