簡要說明

1. 簡要說明 首先說明四邊形的外角和與內角和之外，由於平行四邊形是四邊形中具有較多特性的一種，所以就其性質詳加說明。 「有兩組對邊分別平行的四邊形」，就是平行四邊形。透過直接觀察平行四邊形的「產生」，再由過程中去體會推論出平行四邊形的性質與判別方法。 其它如：矩形、正方形、菱形，都是平行四邊形的特例，只簡單的介紹它們的定義。再來也要認識「梯形的兩腰中點連線性質」與「鳶形的線對稱性」。

2. 外角和【360°】-(1) G S P 每個內角各有兩個相鄰的外角（互為對頂角，各取其一）。如圖，□ABCD的四個外角和等於360度，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，稱為四邊形的外角和定理。 仿照「三角形外角和」，使用「繞圈圈」方法，可將外角和等於360度的結論很明顯的操作出來。 3 C D 4 A 2 1 B 相同操作模式，可推得「N邊形的一組外角和＝360度」。

3. 內角和【360°】-(2) G S P 除了可仿照三角形「繞圈圈」的操作得到結論之外，常用的方法是將四邊形做適當的分割，再應用已知的「三角形內角和＝180度」求解而得。 同理，可推得「N邊形的內角和＝(N－2) ×180度」。 由（N個平角和－外角和＝內角和）最符合ㄧ般性的解法。

4. 直觀操作-(1) G S P 平行四邊形的定義是：兩組對邊分別平行。 所以，利用「定義」的方法，將兩組平行線交錯疊合，顯然形成平行四邊形。 想想：此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢？

5. 直觀操作-(2) G S P 將一線段的端點沿著直線方向平移（圖形沿相同方向移動相同距離），則其外圍軌跡形成平行四邊形。 想想：此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢？

6. 直觀操作-(3) G S P 將兩全等且重合的三角形，以其中一塊三角形的一邊中點為旋轉中心，旋轉180度，則由「旋轉180度產生重合線段或平行線」的概念，確知對邊是對應邊互相平行，可以拼出平行四邊形。 可直接認為兩全等三角形可以「旋轉拼出」平行四邊形。 想想：此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢？

7. D C A B 性質與判別方法-(1) G S P 平行四邊形的邊、角、對角線彼此之間有什麼固定不變的關係存在呢？這種存在於特定圖形的特定關係，數學上稱為該圖形的性質，是必須透過合理的推論過程加以解釋的。 國中常提到的平行四邊形的性質有：(1) 兩組對邊分別平行。（定義）(2) 兩組對角分別相等。(3) 兩組對邊分別相等。 (4) 對角線將平行四邊形分割成兩全等三角形。 (5) 兩對角線互相平分。

8. 國中常提到的平行四邊形的判別方法有：(1) 兩組對邊分別平行。（定義）(2) 兩組對角分別相等。(3) 一組對邊平行且相等。 (4) 兩組對邊分別相等。 (5) 兩對角線互相平分。即：四邊形合乎上述(1)～(5)任一條件，那就可因此判斷、確定它是平行四邊形。 D C A B 性質與判別方法-(2) G S P 判別方法：是指一個四邊形合乎某些條件之後，就可因此判斷、確定它是平行四邊形。常由「性質」逆向思考、尋找（就如同數學算式的倒推）。判別方法也是必須透過合理的推論過程加以解釋的。

9. 兩組對角分別相等-(性質) G S P 使用『操作-(1)』可以作出任意的平行四邊形，先備經驗：【過直線外一點恰有一條平行線】、【重合（共線） 平移  平行】。 因為「平移」可得「同位角」相等，又兩相交直線，產生「對頂角相等」，進而推得「對角相等」。 結論（性質之2）：平行四邊形的兩組對角分別相等。

10. 則∠A與∠D的外角（∠1）相等，因為有一邊共線，表示∠A可平移至∠1，所以，對邊（對應邊）　　　　 平行。 同理，另一組對邊　　　　 也會平行。 推得四邊形的兩組對邊分別平行，由定義知，此四邊形為平行四邊形。 D C AB 與 DC AD 與 BC A B 兩組對角分別相等-(判別) 反之，若一四邊形有兩組對角分別相等，如圖，由四邊形內角和為360度，可以推算出兩鄰角的和為180度（∠A＋∠D＝180°）， 1 結論（判別之2）：若四邊形的兩組對角分別相等， 則是平行四邊形。

11. 將　　的端點A，貼齊直線L，沿著直線平移至　　處。因為「平移」，所以　　　　 且　　　　 ，又A點沿著直線路徑平移到D點，所以B點也會沿著相同方向（沒有旋轉）　與相同路徑長度平移到C點，所以　　　　 且　　　　 。 AB ＝DC AD ＝BC AD // BC AB // DC DC AB 一組對邊平行且相等-(判別) G S P 使用『操作-(2)』，將線段端點貼齊直線平移，其外圍軌跡形成平行四邊形，且在操作過程確定對邊相等。 L D C A B 結論：由線段平移所作出的平行四邊形，其對邊等長。 結論（判別之3）：若四邊形有一組對邊平行且相等 （線段平移），則是平行四邊形。

12. (1) 先給予平行四邊形PQRS，作直線L＝ 　， 　　　。將　 沿著L平移至S點，設為D點，則P、Q、S分別與A、B、D重合。 (2) 過直線外一點，恰可作出一條平行線。 故平移至S點的　 與 重疊；B點的平移軌跡（線段）與 重疊，可推得C點也與R點重合。（參閱備忘稿） AB QR SR PS AB AB＝PQ 兩組對邊分別相等-(性質) 利用「線段平移」作出的平行四邊形，其對邊等長。 但若先給予平行四邊形，如何說明其對邊等長呢？ 想法：任意給予的平行四邊形都可利用「線段平移」方法把它給作出來，如此就可說「對邊等長」了。 L S R D C P A Q B 結論（性質之3）：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

13. 對角線分割成兩全等三角形-(性質) 好不容易得到的性質要「善加利用」，現在已經推得「平行四邊形的對邊相等」。 則連接平行四邊形對角線所分割的兩個三角形，其三邊分別對應相等（再加上對角線產生的公共邊），之前在相似形與三角形單元（三角形的穩定性）已分別討論，合乎「SSS作圖全等」條件，所以，兩三角形會全等。 結論（性質之4）：對角線將平行四邊形分成兩全等三角形。

14. D C A B 兩組對邊分別相等-(判別) G S P 兩個全等的三角形可旋轉拼出平行四邊形或鏡射拼出鳶形。若四邊形的兩組對邊分別相等，則連接對角線所分割的兩個三角形，合乎「SSS作圖全等」條件，所以會全等。因為對邊是對應邊相等，故知兩全等三角形拼出的不是鳶形，而是旋轉180度拼出的平行四邊形。 結論（判別之4）：若四邊形有兩組對邊分別相等， 則是平行四邊形。

15. 對角線互相平分-(性質) 任意的平行四邊形可被其對角線分割成兩個全等三角形，故可以其中一條對角線的中點為旋轉中心旋轉180°，將兩三角形互相重合。所以，平行四邊形是「點對稱圖形」。再由旋轉操作過程知道另一條對角線端點正好互為對稱點，而旋轉中心是對稱點所連接的線段（對角線）的中點，所以對稱中心是兩對角線的交點，且兩對角線互相平分。 結論（性質之5）：平行四邊形的兩對角線互相平分。

16. 反之，若一四邊形的兩對角線互相平分，如圖，　　　　 互相平分，交點O是「旋轉中心」，則（A與C）、（B與D）互為對稱點，在平移、旋轉、對稱的圖形中，由對稱點所連接的圖形是會全等的。【參閱備忘稿】所以，由（A-B-C-A）所連接的三角形與由其對稱點（C-D-A-C）所連接的三角形會全等。故知此四邊形可由兩全等三角形旋轉180度拼出，是為平行四邊形。 AC 與 BD 對角線互相平分-(判別) D C O A B 結論（判別之5）：若四邊形兩對角線互相平分， 則是平行四邊形。

17. 流程整理 G S P 判別方法 直觀操作 性質推論 對邊平行 對邊平行 兩組交錯的平行線 對角相等 對角相等 線段平移 平行四邊形 一組對邊平行且相等 對邊相等 對邊相等 對角線分成兩全等△ 兩全等△旋轉拼圖 對角線互相平分 對角線互相平分 九年級時記得「體會比較」使用「文字敘述」的推論過程。 下一頁 返回

18. 平行四邊形的特例 矩形：四個角都是直角（90°）的四邊形。合乎「對角相等」，所以矩形也是平行四邊形。特點：對角線互相平分且等長。 菱形：四個邊等長的四邊形。合乎「對邊相等」，所以菱形也是平行四邊形。特點：對角線互相垂直平分。 正方形：四個邊等長與四個角都是直角（90°）的四邊形。合乎「對邊、對角相等」，所以正方形也是平行四邊形， 正方形也是菱形，正方形也是矩形。特點：對角線等長且互相垂直平分。

19. 對邊相等的尺規作圖 認識了解「平行四邊形」之後，介紹一個最方便、簡單，可使用「直尺、圓規」工具正確作出平行四邊形的方法。 步驟：先任作兩鄰邊，再作分別相等的對邊。 你知道作圖的理由根據嗎？

20. 面積問題-(1) 兩對角線將平行四邊形分成四個小三角形， 可推算出「面積相等」。（上下全等、左右全等） 又平行四邊形是「點對稱圖形」，通過「對稱中心」的直線都會將它分成「全等」的兩塊，每塊面積是全部的一半。

21. A D P B C 面積問題-(2) G S P 如圖，P 是平行四邊形ABCD 內部任一點， 則 △PAB＋△PCD＝△PBC＋△PAD。 簡單說明如下： 過 P 點分別作各邊的平行線，可產生四個小的平行四邊形，而平行四邊形的對角線會將其分割成兩個全等三角形。

22. 如圖，平行四邊形ABCD，E、F分別是 是中點， 則， 且 。 AD、BC D C A AB//EF//CD AB＝EF＝CD B 平行四邊形對邊中點連線 回想「線段平移」：在相同對應位置所得到的線段與原線段會相等且平行。 E F 矩形、菱形、正方形也是平行四邊形，當然也有此性質。

23. 如圖，連接△ABC兩邊中點的線段（　），會與第三邊平行，且其長度是第三邊長度的一半。如圖，連接△ABC兩邊中點的線段（　），會與第三邊平行，且其長度是第三邊長度的一半。 A B C 將△ADE以E點為旋轉中心，旋轉180度後，可拼成四邊形，再由一組對邊平行且相等知道此四邊形是平行四邊形。所以 　　　且　　　　。 DE DE//BC BC＝2DE 回顧三角形兩邊中點連線性質-(1) G S P E D D’ A’

24. A B C 連接三角形三邊中點-(2) 若是依序連接△ABC三邊中點，則可得三個平行四邊形（不一定全等） 與 四個全等的三角形（都是△ABC的1/2倍縮小圖）。 A D E B C F 換個觀點：分別過△DEF的頂點作對邊的平行線，則同樣可得三個平行四邊形（不一定全等） 與 △ABC（是△DEF的2倍放大圖）。

25. 鳶形（筝形） G S P 鳶形：有兩組鄰邊分別相等的四邊形。 鳶形常提到的性質有：(1) 其中一條對角線被另一條對角線垂直平分。(2) 其中一條對角線將鳶形分成兩個全等的三角形 鳶形是「線對稱圖形」。 兩個「底邊等長」等腰三角形，可以拼出「鳶形」。兩個全等的三角形可以「線對稱」拼出「鳶形」。所以，在「尺規作圖」中，常使用其性質作「垂直線」、「中垂線」、「角平分線」、…。

26. C D D C A B A B 梯形 梯形：有一組對邊平行，但另一組對邊不平行的四邊形。 梯形中，平行的兩對邊稱為「底邊」，另一組不平行的對邊 稱為「腰」，底邊與腰的夾角稱為「底角」。 若兩腰相等，則稱為「等腰梯形」，它是「線對稱圖形」。連接的對角線與對稱軸共點，且會等長。

27. 如圖的梯形ABCD，作兩腰中點的連線 （中線）， 則 且 ＝（ ）/2 。 C D EF EF A AB＋CD AB//EF//CD B 梯形兩腰中點連線-(1) G S P 將四邊形EFCD以F點為旋轉中心，順時針旋轉180度，可拼出平行四邊形（Why？），進而推得上述結論。 C D F E E 梯形面積：（上底＋下底）×高/2＝中線長×高

28. 還可利用平行四邊形兩對邊中點的連線說明：梯形中線 ，則 且 ＝（ ）/2 。 AD＋BC 取兩全等的梯形以 中點「F」為旋轉中心，順時針旋轉180度，因為全等梯形等高，兩底平行，可拼出「點對稱」的平行四邊形。兩梯形中線能連成直線（旋轉180度），得「平行四邊形兩對邊中點的連線」的圖形，，且 2 ＝ 。 D B C A EF EF EF BC AB//EF//CD AB＋CD AB//EF//CD E A D C B 梯形兩腰中點連線-(2) F E

29. 謝謝瀏覽歡迎建議與指教 結束