アルゴリズムとデータ構造

1. アルゴリズムとデータ構造 2011年7月14日 酒居敬一(sakai.keiichi@kochi-tech.ac.jp) http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2011/index.html

2. バックトラック法（３５２ページ） • 組織的かつ論理的なしらみつぶし解法 • 単純に全ての場合を試すのではなく、問題の性質を考慮して無駄な計算を省く • 例：ｎ女王問題 • 盤面に女王を置ける場合の数は　　　とおり • しかし、ひとつの列に女王はひとつしか置けない • 　　とおりまで減らすことができる • さらに、ひとつの行に女王はひとつしか置けない • 　　とおりまで減らすことができる

3. … １ １行目の女王の位置 ２ ３ ｎ … … １ ２ ３ ４ ｎ １ ２ ３ ４ ｎ ２行目の女王の位置 × × × × × … １ ２ ３ ４ ５ ｎ ３行目の女王の位置 × × × × 深さ優先探索により、 すべての場合を調べるのではなく、 解の探索の途中で可能性の無い 枝を刈り払う　→　枝刈り … … … … … … … … 図６.１.３　ｎ女王問題の解の探索（３５４ページ）

4. 各列には１個しか置けないので、ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ［ｘ１］＝ｆａｌｓｅ各列には１個しか置けないので、ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ［ｘ１］＝ｆａｌｓｅ Ｊａｖａ （０, ０） ｘ２ ｘ３ ｘ１ 女王が盤面の （ｘ１, ｙ１）に居るとき、 ａｒｒａｙ［ｘ１］＝ｙ１ （ｘ２, ｙ２）に 女王は置けない ↓ ｙ１－ｘ１＝ｙ２－ｘ２が 成り立たないこと ｍｉｎｏｒ［ｙ１－ｘ１］＝ｆａｌｓｅ ｙ３ ｙ２ （ｘ３, ｙ３）に 女王は置けない ↓ ｘ１＋ｙ１＝ｘ３＋ｙ３が 成り立たないこと ｍａｊｏｒ［ｘ１＋ｙ１］＝ｆａｌｓｅ ｙ１

5. public class BackTrack { private final boolean[] horizontal; private final boolean[] major; private final boolean[] minor; private final int[] array; private final StringBuffer hr = new StringBuffer(); private final StringBuffer queen = new StringBuffer(); public BackTrack(int n){ horizontal = new boolean[n]; major = new boolean[2*n - 1]; minor = new boolean[2*n - 1]; array = new int[n]; Arrays.fill(horizontal, true); Arrays.fill(major, true); Arrays.fill(minor, true); for(int i = 0; i < n; i++) hr.append("+---"); hr.append('+'); for(int j = 0; j < n - 1; j++) queen.append("| "); queen.append("| X "); for(int j = 0; j < n - 1; j++) queen.append("| "); queen.append('|'); } } 盤面そのものを表す データ構造はない！ その列に置けるかどうか 左下がりの対角線上に置けるかどうか 右下がりの対角線上に置けるかどうか 1行に1個に1個しか置けない ようにしたデータ構造

6. private void backtrack(int level){ if(level >= horizontal.length){ for(int x: array){ System.out.println(hr); System.out.append(queen, 4*x, 4*x + 4*array.length + 1); System.out.println(); } System.out.println(hr); } else { int row_a = level; int row_i = level + horizontal.length - 1; for(int i = 0; i < horizontal.length; i++){ if(horizontal[i] && major[row_a + i] && minor[row_i - i]){ horizontal[i] = false; major[row_a + i] = false; minor[row_i - i] = false; array[row_a] = i; backtrack(level + 1); horizontal[i] = true; major[row_a + i] = true; minor[row_i - i] = true; } } } } 解の出力 横４文字・縦２文字で升目１つ すべての場合の盤面を 生成して検査するのでもない （生成後検査法ではない） 枝刈り ｑｕｅｅｎを置いてみる ｑｕｅｅｎを置かなかったことにする （後戻りするのでバックトラック法） 新しいｑｕｅｅｎの位置

7. +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | | | X | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | X | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | X | | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | X | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | X | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | X | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | | X | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | X | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | X | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | X | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | X | | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | | | X | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | X | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | X | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | X | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | | X | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ public static void main(String[] args) { for(String a: args){ int n; try { n = Integer.parseInt(a); }catch(IllegalArgumentException e){ continue; } new BackTrack(n).backtrack(0); } } ｎ＝８の例 ８-ｑｕｅｅｎ問題の解の一部

8. 幅優先探索（３６５ページ） • 深さ優先探索は有用である • 閉路のあるグラフでも深さ優先探索はできる • グラフがメモリ上に存在しないときは深さ優先探索が使えない • 頂点を辿ったという印を付けられない • ８パズルのように探索のためのグラフを動的生成するときは、幅優先探索する

9. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 4 5 6 4 5 6 4 6 4 4 6 6 8 7 8 7 8 7 5 8 7 7 5 5 8 1 2 3 1 2 3 4 5 4 6 8 7 8 6 7 5 1 2 3 4 5 1 2 3 7 8 6 4 8 7 6 5 1 2 3 4 8 5 1 2 3 7 6 • １２手で一巡する閉路が存在する • 各状態から作れる状態の数は２から４ • 全ての状態をメモリに置くには多い • この場合の「多い」とはメモリ容量に対して 4 8 7 6 5 1 2 3 4 8 5 7 6 図６.２.２と図６.２.３　８パズルのグラフの一部

10. 初期状態 Ｓ１ Ｓ２ Ｓ３ • 初期状態から生成できる新しい状態Ｓ１を求める • 次にＳ１から新しい状態Ｓ２を求める • ただし余分の状態は取り除く • 初期状態へ戻るものも取り除く • さらにＳ２からＳ３状態を…　と順に生成を続ける • 解となる状態が生成できたら終了 • このときＳｋ状態を生成するためにＳｋ-１とＳｋ-２状態が必要 • それ以前の状態はメモリにおく必要はない

11. public class PuzzleBoard { private final int[] board; private int hole = -1; private static int size; private final PuzzleBoard parent; public PuzzleBoard(int[] new_board){ if(size == 0){ size = (int)Math.sqrt((double)new_board.length); } // 例外処理は割愛 this.board = new_board; for(int i = 0; i < new_board.length; i++){ if(new_board[i] == 0){ hole = i; } } // 例外処理は割愛 this.parent = null; } private PuzzleBoard(PuzzleBoard current, int new_hole){ this.board = current.board.clone(); this.board[current.hole] = this.board[new_hole]; this.board[new_hole] = 0; this.hole = new_hole; this.parent = current; } } パズルの盤の定義（その１） 初期状態と最終状態の生成用 途中の状態の生成用

12. public boolean equals(Object obj) { PuzzleBoard in = (PuzzleBoard)obj; int[] array = in.board; for(int i = 0; i < this.board.length; i++){ if(array[i] != this.board[i]){ return false; } } // 例外処理は割愛 return true; } public int hashCode() { return board[0] * board[1] + this.hole; // 実行時間に大きく影響する } public PuzzleBoard getParent() { return parent; } public String toString(){ StringBuffer sb = new StringBuffer(); int k = 0; for(int i = 0; i < size; i++){ for(int j = 0; j < size; j++){ sb.append(this.board[k++]).append(' '); } sb.append('\n'); } sb.append('\n'); return sb.toString(); }} パズルの盤の定義（その２） ハッシュテーブルを使うために equals()とhashCode()を実装 結果の表示用

13. public static void generate(Collection<PuzzleBoard> from, Collection<PuzzleBoard> to, Collection<PuzzleBoard> other){ for(PuzzleBoard b: from){ int i = b.hole - size; if(0 <= i){ PuzzleBoard new_board = new PuzzleBoard(b, i); if(!from.contains(new_board)&&!to.contains(new_board)&&!other.contains(new_board)) to.add(new_board); } i = b.hole + size; if(i < b.board.length){ PuzzleBoard new_board = new PuzzleBoard(b, i); if(!from.contains(new_board)&&!to.contains(new_board)&&!other.contains(new_board)) to.add(new_board); } i = b.hole % size; if(i != 0){ PuzzleBoard new_board = new PuzzleBoard(b, b.hole - 1); if(!from.contains(new_board)&&!to.contains(new_board)&&!other.contains(new_board)) to.add(new_board); } if(i != (size - 1)){ PuzzleBoard new_board = new PuzzleBoard(b, b.hole + 1); if(!from.contains(new_board)&&!to.contains(new_board)&&!other.contains(new_board)) to.add(new_board); } } } パズルの盤の定義（その３） スペースを上に動かす スペースを下に動かす スペースを左に動かす スペースを右に動かす

14. public class Puzzle { private static int[] initial_state = {5,3,6, 8,7,1, 2,0,4}; private static int[] final_state = {0,1,2, 3,4,5, 6,7,8}; private static PuzzleBoard initial_board = new PuzzleBoard(initial_state); private static PuzzleBoard final_board = new PuzzleBoard(final_state); public static void main(String[] args) { HashSet<PuzzleBoard> set1 = new HashSet<PuzzleBoard>(); HashSet<PuzzleBoard> set2 = new HashSet<PuzzleBoard>(); HashSet<PuzzleBoard> set3 = new HashSet<PuzzleBoard>(); HashSet<PuzzleBoard>[] aspect = new HashSet[]{set1, set2, set3}; // from, to, other aspect[1].add(initial_board);// 初期状態 int step; for(step = 1; !aspect[1].contains(final_board); step++){ // 最終状態に到達するまで探索 HashSet<PuzzleBoard> tmp = aspect[0]; aspect[0] = aspect[1]; aspect[1] = aspect[2]; aspect[2] = tmp; aspect[1].clear(); PuzzleBoard.generate(aspect[0], aspect[1], aspect[2]); System.out.print(step + ": "); System.out.println(aspect[1].size()); } aspect[2].clear(); // ここから結果の表示 aspect[2].add(final_board); // 最終状態だけからなるコレクション aspect[1].retainAll(aspect[2]); // 最終局面で最終状態だけ残す。 for(PuzzleBoard board: aspect[1]){ for(PuzzleBoard current = board; current != null; current = current.getParent()){ System.out.println("step: " + --step); System.out.print(current.toString()); }}}}

15. 1: 3 2: 5 3: 10 4: 14 5: 28 6: 42 7: 80 8: 108 9: 202 10: 278 11: 524 12: 726 13: 1348 14: 1804 15: 3283 16: 4193 17: 7322 18: 8596 19: 13930 20: 14713 21: 21721 22: 19827 23: 25132 24: 18197 25: 18978 26: 9929 27: 7359 step: 27 0 1 2 3 4 5 6 7 8 step: 26 1 0 2 3 4 5 6 7 8 step: 25 1 2 0 3 4 5 6 7 8 step: 24 1 2 5 3 4 0 6 7 8 step: 23 1 2 5 3 0 4 6 7 8 step: 22 1 2 5 0 3 4 6 7 8 step: 21 1 2 5 6 3 4 0 7 8 step: 20 1 2 5 6 3 4 7 0 8 step: 19 1 2 5 6 3 4 7 8 0 step: 18 1 2 5 6 3 0 7 8 4 step: 17 1 2 5 6 0 3 7 8 4 step: 16 1 2 5 0 6 3 7 8 4 step: 15 0 2 5 1 6 3 7 8 4 step: 14 2 0 5 1 6 3 7 8 4 step: 13 2 5 0 1 6 3 7 8 4 step: 12 2 5 3 1 6 0 7 8 4 step: 11 2 5 3 1 0 6 7 8 4 step: 10 2 5 3 0 1 6 7 8 4 step: 9 0 5 3 2 1 6 7 8 4 step: 8 5 0 3 2 1 6 7 8 4 step: 7 5 3 0 2 1 6 7 8 4 step: 6 5 3 6 2 1 0 7 8 4 step: 5 5 3 6 2 0 1 7 8 4 step: 4 5 3 6 2 8 1 7 0 4 step: 3 5 3 6 2 8 1 0 7 4 step: 2 5 3 6 0 8 1 2 7 4 step: 1 5 3 6 8 0 1 2 7 4 step: 0 5 3 6 8 7 1 2 0 4 探索は１０秒くらい ５ ３ ６ ８ ７ １ ２ ４ 初期状態 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 最終状態

16. ゲームの木の探索 （３７６ページ） 先手番 +1 後手番 -1 +1 -1 -1 先手番 -1 +1 -1 +1 -1 +1 後手番 +1 +1 +1 図　６.３.１　ゲームの木（の部分木だと考えてください） ミニマックス法では、バックトラック法により木の葉から評価を決めていく。 葉から根まで自分が勝つ道ができれば、完全に解析できたことになる。

17. +1 -1 先手番 • ゲーム終了の状態に＋１・０・－１を与える • ゲームの途中では自分に有利なほうの枝を辿る • ゲームの木の途中の頂点の値を決定できる • 手番が先手・後手に応じて最大・最小を選択 • 全手読みができれば • 先手必勝・引き分け・後手必勝がわかる • 全手読みは時間的にも空間的にも困難 • 全手読みが不可能な場合 • その局面での勝ちやすさ（負けやすさ）を求める • 先手有利を正の数、後手有利を負の数… • その数値を求める関数を評価関数という • 先読みする深さを限定して評価する • 確率的要素が入るゲームは、ここでは扱わない • 完全情報ゲームのみを対象とする +1 0 -1 +1 0 -1 先手勝ち 引き分け 後手勝ち 後手番

18. ４以上 先手番 S ４以下なら打ち切り ４以下 ４ ３ ３以下 後手番 A B ４以上なら打ち切り 調べるだけ無駄 ４ ７以上 ３ 先手番 E F G H 調べるだけ無駄 後手番 2 4 1 3 7 1 2 3 • 数字は大きいほど先手に有利、つまり、小さいほど後手に有利 • 先手はより大きな数値を持つ方向を選ぶ • 後手はより小さな数値を持つ方向を選ぶ • 評価関数の値について • 深さ制限つきのミニマックス法 • 一定の深さまで読んで、最大値もしくは最小値を選ぶ • α-β法 • 一定の深さまで読んで、最大値や最小値に貢献しない枝を刈る